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1、1 2018 年全国卷文科数学模拟试题（四） 本试题分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 第 I 卷（满分60 分） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，每小题给出的四个选 项中，有且只有一项符合题目要求） 1设全集 I 是实数集R，3Mx x与0) 1)(3(xxxN都是 I 的 子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（） A.13xxB.13xxC.13xxD.13xx 2. 已知2 1 z i i ，则复数z（） A.13iB.13iC.13iD.13i 3在 ABC中，若 Abasin23 ，则B为 A
2、 3 B. 6 C. 3 或 3 2 D. 6 或 6 5 4. 已知0 1 2a， ，1 1 3 5b， ， ，则函数 2 2f xaxbx在区间1 ，上为增函数 的概率是（） A. 5 12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 5. 若椭圆 22 22 1 xy ab 过抛物线 2 8yx的焦点，且与双曲线 22 1xy有相同的焦点，则该椭圆 的方程是（） A 2 2 1 3 y xB 22 1 24 xy C 2 2 1 3 x yD 22 1 42 xy 6. 函数sin()(0,0,0)yAxA在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （） A2sin() 23 x yB2si
3、n(2) 3 yx 2 C 2 2sin(2) 3 yxD2sin(2) 3 yx 7. 某锥体的正视图和侧视图如下图，其体积为 3 32 ，则该锥体的俯视图可以是（） 8. 已知正项等比数列 n a 满足： 567 2aaa ， 若存在两项 m a 、 n a ， 使得 m a n a 2 1 16a， 则 nm 41 的最小值为（） A. 3 4 B.9 C. 2 3 D. 不存在 9. 已 知 周 期 函 数 )(xf 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且 )(xf 的 最 小 正 周 期 为3 ， ,2)1(f mmf则,)2(的取值范围为( ) A. , 2B. 2,2C. 2
4、,D. 2, 10. 重庆市乘坐出租车的收费办法如下： 相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程， y（单位：元）为所收费用，用x 表示不大于 x的最大整数，则图中 处应填（） A. 1 24 2 yxB. 5 2 1 2 xy C.4 2 1 2 xyD.5 2 1 2 xy 不超过3 千米的里程收费10 元; 超过 3 千米的里程按每千米2 元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0 5 千米 则不收费，若其大于或等于05 千米则按1 千米收费）； 当车程超过3 千米时，另收燃油附加费1 元 3 11. 如图， 直三棱柱ABC A1B1C1中，若BAC=90 ， AB
5、=AC=AA 1，则异面直线 BA1与 AC1 所成的角为（） A.60B.90C.120D.150 12. 当曲线 2 4xy 与直线 042kykx 有两个相异的交点时，实数k的取值 范围是（） A. 3 (0,) 4 B. 53 (, 12 4 C. 3 (,1 4 D. 3 (,) 4 第 II 卷（满分90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第1321 题为必考题，第22 23 题为选考题，考生根据要 求从中任选一题作答。 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分） 13. 平面向量(1,2)a，(6,3)b，c mab（ mR），且 c 与 a 的夹角等于 c 与
6、 b 的夹角相 等，则m 14. 若 13 cos(),cos() 55 ，. 则tantan 15. 设圆 22 450xyx的弦AB的中点为 3,1P ，则直线AB的方程为 . 16. 定 义 在 R 上 的 函 数( )f x满 足(1 )1f， 且 对 任 意xR都 有 1 ( ) 2 fx，则不等式 2 21 () 2 x f x的解集为 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列 n a的前n项和 n S满足 3 0S， 5 5S （1）求 n a的通项公式；（ 2）求数列 2121 1 nn aa 的前n项和
7、18. 如图，在四棱锥PABCD中，ABC为正三角形，ABAD, ACCD, PAAC, PA平面ABCD. （）若E为棱PC的中点，求证：PD平面ABE; 4 （）若3AB, 求点B到平面PCD的距离 . 19 人的体重是人的身体素质的重要指标之一某校抽取了高二的部分学生，测出他们的体重 （公斤）， 体重在 40公斤至 65公斤之间，按体重进行如下分组：第 1组40,45)， 第 2组45,50)， 第 3组 50,55)， 第 4 组55,60 ) ，第 5 组60,65，并制成如图所示的频率分布直方图，已知第1 组与第 3 组的频率 之比为 1:3 ，第 3 组的频数为90 （）求该校抽
8、取的学生总数以及第2 组的频率； （）学校为进一步了解学生的身体素质，在第1 组、第 2 组、第 3 组中 用分层抽样的方法抽取6 人进行测试若从这6 人中随机选取2 人去共同 完成某项任务，求这2 人来自于同一组的概率 20. 已知抛物线C: 2 2(0)ypx p的焦点为F，直线 y=4 与 y 轴的交点为P，与 C的交点为Q ，且 5 4 QFPQ. (1) 求抛物线C的方程； (2) 过 F 的直线 l 与 C相交于 A,B 两点，若AB的垂直平分线l与 C相交于 M,N两点，且A,M,B,N 四 点在同一个圆上，求直线l 的方程 . 21.已知函数 2 1 ln, 2 fxxaxx
9、aR （1）当0a时，求函数fx在1,1f 处的切线方程； （2）令1g xfxax，求函数g x的极值； 5 请考生在第22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. 选修 44：坐标系与参数方程. 已知曲线C的参数方程为 sin51 cos53 y x （为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴 为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C的极坐标方程； （2）若直线的极坐标方程为 1 sincos，求直线被曲线C截得的弦长 . 23、（本小题满分10 分）已知|1| 1,|2| 1xy （1）求y的取值范围； （2）若对任意的实数, ,|221|3x y xya恒成
10、立，求实数a的值。 6 数学（文）答案 一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.C 9.D 10.B 11.A 12.C 二、填空题 13.3 14.0.5 15. 40xy . 16. （- 1，1） 三、解答题 17. （1）设 n a 的公差为d，则1 (1) 2 n n n Snad 由已知可得 1 1 330, 5105, ad ad 解得 1 1, 1, a d ，故 n a的通项公式为2 n an （2）由（ 1）知 2121 11111 () (32 )(12 )2 2321 nn aannnn ， 从而数列 2121 1 nn aa 的前n项和
11、为 1111111 () 21113232112 n nnn 18. （）因为PA平面ABCD，CD平面ABCD, 所以PACD. ACCD，PAACA，所以CD平面PAC. 而AE平面PAC, CDAE. ACPA,E是PC的中点，AEPC. 又PCCDC，所以AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，平面PAD平面ABCD，又ABAD， 面面垂直的性质定理可得BA平面PAD，ABPD. 又 ABAEA， PD平面 ABE. （）因为PA平面ABCD，所以PAAC, 所以 3 2PC . 由（）的证明知，CD平面PAC，所以CDPC. 因 为A BA D,ABC为 正
12、 三 角 形 ， 所 以30CAD， 因 为ACCD， 所 以 t a n 3 03C DA C .7 分 设点B到平面PCD的距 离为d，则 116 3 23 322 BPCD Vdd . 在BCD中，150BCD，所以 1113 33sin150333 2224 BCD S. 7 所以 133 333 344 PBCD V. 因为 BPCDPBCD VV ，所以 63 3 24 d ，解得 3 2 4 d ， 即点B到平面PCD的距离为 3 2 4 . 19. （）设该校抽查的学生总人数为n，第 2 组、第 3 组的频率分别为， 则，所以，由，解得 ，所以该校抽查的学生总人数为240 人，
13、从左到右第2 组的频率为0.25 （）前 3 组的频率之比是1 : 2 : 3 ，则按照分层抽样，这 6 人的构成是第1 组 1 人（不妨设为A）， 第 2 组 2 人（不妨设为），第3 组 3 人（不妨设为）， 从这6 人中任选两人有 ，共 15 个结果，而这2 人来自 同一组的情况有，共 4 个结果， 所以这 2 人来自同一组的概率 20. （ 1）设 Q （ x0， 4），代入由 2 2(0)ypx p中得 x0= 8 p ， 所以 0 88 , 22 pp PQQFx pp ，由题设得 858 24 p pp ，解得 p=2（舍去）或p=2. 所以 C的方程为 2 4yx. （2）依题
14、意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1xmy， （m 0）代入 2 4yx中 得 2 440ymy， 设 A （x1,y1）,B(x2,y2), 则 y1+y2=4m ，y1y2=4， 故 AB的中点为D（2m 2+1,2m），22 12 14(1)ABmyym， 有直线l的斜率为 m ，所以直线l的方程为 2 1 23xym m ，将上式代入 2 4yx中，并整理 8 得 224 4(23)0yym m . 设 M(x3,y3),N(x4,y4), 则 2 3434 4 ,4(23)yyy ym m . 故 MN 的中点为E（ 22 2 34222 2214(1) 21 23,
15、),1 mm mMNyy mmmm ）. 由 于MN 垂 直 平 分AB， 故A,M,B,N四 点 在 同 一 个 圆 上 等 价 于 1 2 AEBEMN, 从 而 222 11 44 ABDEMN , 即 222 2222 24 224(1) (21) 4(1)(2)(2) mm mm mmm ，化简得 m 2-1=0 ，解得 m=1或 m= 1， 所以所求直线l 的方程为x-y-1=0或 x+y-1=0. 21. （ 1）当0a时，lnfxxx，则11f，所以切点为1,1， 又 1 1fx x ，则切线斜率12kf， 故切线方程为121yx，即2 10xy （2） 2 1 1ln11 2
16、 g xfxaxxaxa x， 则 2 11 1 1 axa x gxaxa xx ， 当0a时，0x，0gx g x在0,上是递增函数，函数g x无极值点当0a时， 2 1 1 11 a xx axa x a gx xx ，令0gx得 1 x a ， 当 1 0,x a 时，0gx；当 1 ,x a 时，0gx， 因此g x在 1 0, a 上是增函数，在 1 , a 上是减函数， 1 x a 时，g x有极大值 2 11111 ln11ln 22 a gaa aaaaa ， 综上，当0a时，函数 g x 无极值； 9 22. 1曲线C的参数方程为 sin51 cos53 y x （为参数） 曲线C的普通方程为 5) 1()3( 22 yx曲线C表示以 3,1为圆心， 5为半径的圆。 将 sin cos y x 代入并化简：05sin2cos6 2 即曲线C的极坐标方程为 05sin2cos6 2 . 23. （ 1）由|2|1y，得121y，所以13y 所以实数 y 的取值范围是|13yy （2） |221| |12424 | |1|2 |2| 2 |2| 122 |2 |xyaxyaxyaa 3 2 |2| 3a ，即| 2 | 0a 2a