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1、第 1 页 共 11 页 圆锥曲线离心率的求法专题复习 椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e 一、直接求出a、c，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式 a c e来解决。 例 1：已知双曲线1 2 2 2 y a x （0a）的一条准线与抛物线 xy6 2 的准线重合，则该双曲 线的离心率为（） A. 2 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 3 32 解： 抛物线xy6 2 的准线是 2 3 x，即双曲线的右准线 2 31 22 c c c a x，则 0232 2 cc ，解得2c， 3a ， 3 32 a c e ，故选 D 变式练习1：若
2、椭圆经过原点，且焦点为0, 1 1 F、0 , 3 2 F，则其离心率为（） A. 4 3 B. 3 2 C. 2 1 D. 4 1 解： 由0, 1 1 F、0, 3 2 F知132c，1c，又椭圆过原点，1ca，3ca， 2a，1c，所以离心率 2 1 a c e.故选 C. 变式练习 2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为 6，那么双曲线的离心率为（） A. 2 3 B. 2 6 C. 2 3 D 2 解： 由题设2a，62c，则3c， 2 3 a c e，因此选C 变式练习3： 点 P （-3， 1） 在椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0ba） 的左准线上， 过点P且方向为 5
3、, 2a 的光线，经直线 2y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A 3 3 B 3 1 C 2 2 D 2 1 解： 由题意知，入射光线为3 2 5 1xy，关于2y的反射光线（对称关系）为 第 2 页 共 11 页 0525yx，则 055 3 2 c c a 解得 3a ，1c，则 3 3 a c e，故选 A 二、构造a、c的齐次式，解出e 根据题设条件，借助 a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到 关于e的一元方程，从而解得离心率e。 例 2：已知 1 F、 2 F是双曲线1 2 2 2 2 b y a x （0,0 ba）的两焦点，以线段
4、 21F F为边作正三角 形 21F MF ，若边1 MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（） A. 324 B. 13 C. 2 13 D. 13 解： 如图，设 1 MF的中点为P，则P的横坐标为 2 c ，由焦半径公式 aexPF p1 ， 即 a c a c c 2 ，得 022 2 a c a c ，解得 31 a c e（ 31 舍去），故选D 变式练习1：设双曲线1 2 2 2 2 b y a x （ba0）的半焦距为c，直线L过0, a，b,0两点 . 已知原点到直线的距离为c 4 3 ，则双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C. 2D. 3 32 解：由已知， 直线
5、L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得 c ba ab 4 3 22 ， 又 222 bac, 2 34cab,两边平方，得 4222 316caca，整理得 016163 24 ee， 得4 2 e或 3 4 2 e， 又ba0，21 2 2 2 22 2 2 2 a b a ba a c e，4 2 e，2e， 故选 A 第 3 页 共 11 页 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为 1 F、 2 F， 0 21 120MFF，则双曲线 的离心率为（） A 3B 2 6 C 3 6 D 3 3 解： 如图所示，不妨设bM,0，0, 1 cF，0, 2 cF，则 22
6、 21 bcMFMF，又cFF2 21 ， 在 21MF F中，由余弦定理，得 21 2 21 2 2 2 1 21 2 cos MFMF FFMFMF MFF, 即 22 22222 2 4 2 1 bc cbcbc ， 2 1 22 22 cb cb ， 222 acb， 2 1 2 22 2 ac a ， 22 23ca， 2 3 2 e， 2 6 e，故选 B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 例 3：设椭圆的两个焦点分别为 1 F、 2 F，过 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 21PF F为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。 解：12 12 1 222 22 2 2
7、 21cc c PFPF c a c a c e 变式练习1已知长方形ABCD ，AB 4， BC3，则以 A、 B 为焦点，且过C、D 两点的椭圆 的离心率为. 1 2 变式练习2已知 F1、F2是双曲线)0,0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点，以线段F1F2为边作正三 角形 MF1F2，若边 MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 . 13 变式练习3如图， 1 F和 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两个 第 4 页 共 11 页 焦点，A和B是以O为圆心，以 1 FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等 边三角形
8、，则双曲线的离心率为. 31 四、根据圆锥曲线的统一定义求解 例4：设椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0,0 ba）的右焦点为 1 F，右准线为 1 l，若过 1 F 且垂直于x轴的弦的长等于点 1 F到 1 l的距离，则椭圆的离心率是. 解：如图所示，AB是过 1 F且垂直于x轴的弦， 1 lAD于D，AD为 1 F到 准线 1 l的距离，根据椭圆的第二定义， 2 1 2 1 1 AD AB AD AF e 变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ，焦点到相应准线的距离为1， 则该椭圆的离心率为（） A 2 B 2 2 C 2 1 D 4 2 解： 2 2 1 2
9、22 AD AF e 变式练习2： 已知双曲线 22 22 10,0 xy Cab ab ：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线 交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率为. 6 5 变式练习3：已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点F 且斜率为k（k0） 的直线于C 相交于 A、B 两点，若3AFFB，则 k = . 2 五、构建关于e的不等式，求e的取值范围 ：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围， 通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设 椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式 （一）基本问题