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1、人教版七年级数学上册 第一章有理数 知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同 时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是 运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 1. 有理数： (1) 凡能写成)0pq,p( p q 为整数且形式的数，都是有理数，和统称有理数 . 注意： 0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；（是不是）有理数； (2) 有理数的分类 : 负分数 负整数 负有理数 零 正分数 正整数 正有理数 有理数 负分数 正
2、分数 分数 负整数 零 正整数 整数 有理数 (3) 注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个 区域的数也有自己的特性； (4) 自然数 0 和正整数； a0 a 是正数； a0 a 是负数； a0 a 是正数或 0 a 是非负数； a 0 a 是负数或0 a 是非正数 . 2数轴： 数轴是规定了（数轴的三要素）的一条直线 . 3相反数： (1) 只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是0； (2) 注意： a-b+c的相反数是； a-b的相反数是； a+b 的相反数 是； (3) 相反数的和为 a+
3、b=0 a 、b 互为相反数 . (4) 相反数的商为. （5）相反数的绝对值相等w w w .x k b 1.c o m 4. 绝对值： (1) 正数的绝对值 等于它，0 的绝对值是，负数的绝对值等于； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为： )0a(a )0a(0 )0a(a a 或 )0( )0( aa aa a ； (3) 0a1 a a ；0a1 a a ； (4) |a|是重要的非负数，即|a| 0, 非负性 ； 5. 有理数比大小： （1）正数永远比0 大，负数永远比0 小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小
4、； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （5）-1 ，-2 ，+1，+4，-0.5 ，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。 6. 倒数： 乘积为 1 的两个数互为倒数； 注意：没有倒数；若 ab=1 a 、 b 互为；若 ab=-1 a 、b 互为. 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数： 倒数等于本身的数： 绝对值等于本身的数： 平方等于本身的数： 立方等于本身的数： 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0 相加，仍得这个数. 8
5、有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ； （2）加法的结合律： （a+b）+c=a+（b+c）. 9有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数与零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 奇数个负数为负，偶数个负数为正。 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba； （2）乘法的结合律： （ab）c=a（bc） ； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac . （简便运算） 12有理数除法法则：除以一个
6、数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即 0 a . 13有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 14乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数 ，相同因式的个数叫做指数 ，乘方的结果叫做幂 ； （3）a 2 是重要的非负数，即a 20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0 ； （4）正数的任何次幂都是正数，0 的任何次幂都是0；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 （5）据规律 10010 11 01.01.0 2 2 2 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 15
7、科学记数法：把一个大于10 的数记成a10 n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数即1a0 B.a0或 a=0 D.a” 、 “ =”或“ ”). 17. 根据生活经验，对代数式 ab作出解释： ； 18. 某城市按以下规定收取每月的煤气费：用气不超过60 立方米，按每立方米0.8 元收费；如果超过60 立方米，超过 部分每立方米按1.2 元收费 .已知某户用煤气x立方米（ x60） ，则该户应交煤气费元. 20. 观察下列单项式：0，3x 2，8x3，15x4， 24x5， ，按此规律写出第 13 个单项式是 _。 三、解答题（共60 分） 21. (12 分)化简 : （1） 1 4
8、4 mnmn；（ 2） 22 37(43)2xxxx ； （3）(2)()xyyyyx； 22(8 分)化简求值 （1）)522(2)624( 22 aaaa其中1a. （2）) 3 1 2 3 () 2 1 (2 2 122 babaa其中 3 2 ,2 ba. 23(6 分)已知123 2 aaA，235 2 aaB，求BA32. 24(6 分)如图所示，一扇窗户的上部是由4 个扇形组成的半圆形，下部是边长相同的4 个小正方形，请计算这扇窗户 的面积和窗框的总长. 26. (6分)某商店有两个进价不同的计算器都卖了a元,其中一个盈利60%,另一个亏本 20%,在这次买卖中,这家商店是赚了,
9、 还是赔了 ?赚了或赔了多少? a 27. (7 分)试至少写两个只含有字母x、 y 的多项式 , 且满足下列条件: (1)六次三项式 ; (2)每一项的系数均为1 或-1; (3)不 含常数项 ; (4)每一项必须同时含字母x、 y , 但不能含有其他字母. 28. (9 分)某农户 2007 年承包荒山若干亩，投资7800?元改造后，种果树2000 棵.今年水果总产量为18000 千克，此水 果在市场上每千克售a 元，在果园每千克售b 元（ ba）.该农户将水果拉到市场出售平均每天出售1000 千克，需8? 人帮忙，每人每天付工资25 元，农用车运费及其他各项税费平均每天100 元. （1
10、）分别用 a，b 表示两种方式出售水果的收入？ （2）若 a1.3 元， b1.1 元，且两种出售水果方式都在相同的时间内售完全部水果，请你通过计算说明选择哪 种出售方式较好. （3）该农户加强果园管理，力争到明年纯收入达到15000 元，那么纯收入增长率是多少（纯收入总收入总支 出） ，该农户采用了（2）中较好的出售方式出售）？ 第三章一元一次方程 1等式： 用“ =”号连接而成的式子叫等式. 2 等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 3方程： 含未知数的等式，叫方程（方程是含有
11、未知数的等式，但等式不一定是方程）. 4方程的解： 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入” 。 5移项： 把等式一边的某项变号后移到另一边叫移项. 移项的依据是等式性质1（移项变号 ）. 6一元一次方程：只含有 一个未知数 ，并且 未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次 方程 . 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0 （x 是未知数， a、 b 是已知数，且a0）. 8一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程 -分数基本性质 去 分 母-同乘（不漏乘）最简公分母 去 括 号-注意符号变化 移项-变号（留下靠前） 合并同类项 -合并后符号
12、w w w .x k b 1.c o m 系数化为1-除前面 10列一元一次方程解应用题： （1）读题分析法 : 多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配 套-” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式， 得到方程 . （2）画图分析法 : 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具 有特定的含义， 通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（
13、可 把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础. 11列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题：路程 =速度时间 时间 路程 速度 速度 路程 时间； （2）工程问题：工作量=工作效率工作时间 工时 工作量 工效 工效 工作量 工时； 工程问题常用等量关系：先做的 +后做的 =完成量 w w w .x k b 1.c o m （3）顺水逆水问题： 顺流速度 =静水速度 +水流速度，逆流速度=静水速度 - 水流速度； 顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程 =逆水路程 （4）商品利润问题：售价 =定价 10 几折 ，%100 成本 成本售价 利润率； 利润问题常用等量关系：售价 -
14、进价 =利润 （5）配套问题： （6）分配问题 填空题 1、在有理数 -7 ， 3 4 ，-（-1.43 ） ， 1 2 3 ，0， 10 5 ，-1.7321中，是整数的有_是负分数的有 _。 2、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的_边，与原点的距离是_个单位长度；表示数 -a 的点在原点的_边，与原点的距离是_个单位长度。 3、如果一个数是6 位整数，用科学记数法表示它时，10 的指数是 _；用科学记数法表示一个n 位整数，其中 10 的指数是 _. 4、实数 a、b、c 在数轴上的位置如图：化简|a b|+|b c|-|ca|. 5、绝对值大于1 而小于 4 的整数
15、有 _ ，其和为 _. 6、若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则（a+b） 3-3 （cd）4=_. 7、1-2+3-4+5- 6+2001-2002 的值是 _. 8、若（ a-1 ） 2+|b+2|=0 ，那么 a+b=_. 9、平方等于它本身的有理数是_, 立方等于它本身的有理数是_. 10、用四舍五入法把3.1415926精确到千分位是，用科学记数法表示302400，应记 为, 近似数 3.0 精确到位。 11、正数 a 的绝对值为 _；负数 b的绝对值为 _ 12、甲乙两数的和为-23.4 ，乙数为 -8.1 ，甲比乙大 13、在数轴上表示两个数，的数总比的大。 （用“左边”
16、 “右边”填空） 14、数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18 厘米处的点表示的有理数是 _。 15、温度由下降后，结果可记为 16、 1/3 的相反数是 _，绝对值是 _, 倒数是 _. 三、强化训练 1、计算： 1+2+3+ +2002+2003=_. 2、已知： ,. 15 4 4 15 4 4, 8 3 3 8 3 3 , 3 2 2 3 2 2 222 若b a b a 2 1010 （a,b 均为整数）则a+b= 3、观察下列等式，你会发现什么规律： 2 2131 ， 2 3142 ， 2 4153 ， 。 。 。请将你发现的规律用只含 一个字母 n（
17、n 为正整数）的等式表示出来 4、已知 0 | | b b a a ，则ba ba| _ 5、已知 a是整数，523 2 aa 是一个偶数，则a 是（奇，偶） 6、已知 1+2+3+ +31+32+33=17 33，求1-3+2-6+3-9+4-12+31-93+32-96+33-99的值。 7、在数 1， 2，3， 50 前添“ +”或“”，并求它们的和，所得结果的最小非负数是多少？请列出算式解答。 8、如果规定符号“ *”的意义是a*b=ab/ （a+b） ，求 2*（-3 ） *4 的值。 9、已知 |x+1|=4 ， （y+2） 2=4，求 x+y 的值。 10、投资股票是一种很重要的
18、投资方式，但股市的风云变化又牵动了股民的心。 例：某股民在上星期五买进某种股票500 股，每股60 元，下表是本周每日该股票的涨跌情况（单位：元）： 星期一二三四五 每股涨跌+4 +4.5 -1 -2.5 -6 （ 1）（ 1）星期三收盘时，每股是多少元？ （ 2）（ 2）本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ （ 3）已知买进股票是付了1.5 的手续费，卖出时需付成交额1.5 的手续费和1的交易费，如果在星期 五收盘前将全部股票一次性地卖出，他的收益情况如何？ （ 4）以买进的股价为0 点，用折线统计图表示本周该股的股价情况。 【典型例题】 一、一元一次方程的有关概念 例 1. 一个一元
19、一次方程的解为2，请写出这个一元一次方程 . 二、一元一次方程的解 例 2. 若关于x的一元一次方程 23 1 32 xkxk 的解是1x, 则k的值是（） A 2 7 B 1 C 13 11 D0 三、一元一次方程的解法 例 3. 如果2005200.520.05x,那么x等于（） (A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45 例 4. 2 3 3 2 1 2(x-1)-3-3=3 四、一元一次方程的实际应用 例 5. 某高校共有5 个大餐厅和2 个小餐厅 经过测试： 同时开放1 个大餐厅、 2个小餐厅， 可供 1680 名学生就餐； 同时开放2 个
20、大餐厅、 1 个小餐厅，可供2280 名学生就餐 （1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的5300 名学生就餐？请说明理由 例 6. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45 元；按标价的八五折销售该工艺品8 件与将标价降低35 元销售该工艺品12 件所获利润相等. 该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？ 例 7. 八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话： 李小波：阿姨，您好！ 售货员：同学，你好，想买点什么？ 李小波：我只有100 元，请帮我安排买10 支钢笔和15
21、 本笔记本 . 售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2 元，退你5 元，请清点好，再见. 根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？ 第四章图形初步认识 （一）多姿多彩的图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆、多边形等. 主视图 -从正面看 2、几何体的三视图左视图 -从左边看 俯视图 -从上面看 （1）会判断简单物体（棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型. 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的. （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根
22、据展开图判断和制作立体模型. 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 体：几何体也简称体. （2）点动成线，线动成面，面动成体. （二）直线、射线、线段 1、基本概念 名称直线射线线段 图形 端点个数无一个两个 表示法 直线 a 直线 AB （BA） 射线 a 射线 AB 线段 a 线段 AB （BA ） 作法叙述 作直线 a 作直线 AB ； 作射线 a 作射线 AB 作线段 a； 作线段 AB ； 连接 AB 延长向两端无限延长向一端无限延长不可延长 2
23、、直线的性质 经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单地：两点确定一条直线. 3、画一条线段等于已知线段 （1）度量法 （2）用尺规作图法 4、线段的长短比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 （3）圆规截取法 5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点. 图形： A M B 符号：若点M是线段 AB的中点，则AM=BM= 2 1 AB ，AB=2AM=2BM. 6、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短. 简单地： 两点之间，线段最短. 7、两点的距离 连接两点的 线段的长度 叫做两点的距离（距离是线段的长度，而不是线段本身）. 8、点与直线
24、的位置关系 （1）点在直线上（或者直线经过点）（2）点在直线外（或者直线不经过点）. （三）角 A B a A B a A B a 1、角： 有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 2、角的表示法（四种） ： 表示方法 图例 记法 适用范围 用三个大写字母表示 AOB或BOA 任何情况下都适应。 表示 端 点的字母必须写在中间。 用一个大写字母表示 A 以这个点为顶点的角只有 一个。 用数字表示 1 任何情况下都适用。 但必须 在靠近顶点处加上弧线表 示角的范围， 并注上数字或 希腊字母。 用希腊字母表示 3、角的度量单位及换算（度”、分”、秒”） 60 进制 1 =60 =3600 ， 1
25、=60 ； 1=( 60 1 ) ， 1=( 60 1 ) =( 3600 1 ) 4、角的分类 锐角直角钝角平角周角 范围0 90=9090180=180=360 5、角的比较方法 （1）度量法 （2）叠合法 6、角的四则运算 角的和、差、倍、分及其近似值 7、画一个角等于已知角 （1）借助三角尺能画出15的倍数的角，在0180之间共能画出11 个角 . （2）借助量角器能画出给定度数的角. （3）用尺规作图法. 8、角的平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线（若OB 是AOC的平分线，则 AOB= BOC= 2 1 AOC, AOC=2 AOB =2
26、 BOC ）. 9、互余、互补 （1）若 1+2=90，则 1 与 2 互为余角 . 其中 1 是 2 的余角， 2 是 1 的余角 . （2）若 1+2=180，则 1 与 2 互为补角 . 其中 1 是 2 的补角， 2 是 1 的补角 . （3） 1 的余角可以用90- 1 表示； 1 的补角可以用180- 1 表示 . （4）余角的性质：同角( 等角 ) 的余角相等； 补角的性质：同角( 等角 ) 的补角相等 . 10、方向角 （1）正方向 （2）南或北写在前面，东或西写在后面 ( 北偏东、北偏西、南偏东、南偏西) A O B A 1 东西 北 南 东北 西北 东南 北偏东北偏西 南偏西南偏西 西南