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1、高数 第 1 页 共 2 页 高等数学 A(下册)期末考试试题 大题一二三四五六七 小题1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共 5小题，每小题 4 分，满分20 分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量 a、b满足0ab ，2a，2b，则a b 2、设ln()zxxy，则 3 2 z x y 3、曲面 22 9xyz在点(1,2, 4)处的切平面方程为 4、设( )f x是周期为2的周期函数，它在,)上的表达式为( )f xx，则( )f x的傅里叶级数 在3x处收敛于，在x处收敛于 5、设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则() L xy ds 以下各题在答题纸上作答，
2、答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名 、学号、班级 二、解下列各题：（本题共 5 小题，每小题7 分，满分35 分） 1、求曲线 222 222 239 3 xyz zxy 在点 0 M(1, 1,2)处的切线及法平面方程 2、求由曲面 22 22zxy及 22 6zxy所围成的立体体积 3、判定级数 1 1 ( 1) ln n n n n 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x zf xyy y ，其中f具有二阶连续偏导数，求 2 , zz xx y 5、计算曲面积分, dS z 其中是球面 2222 xyza被平面(0)zhha截出的顶部
3、 三、（本题满分 9 分） 抛物面 22 zxy被平面1xyz截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值 高数 第 2 页 共 2 页 （本题满分 10 分） 计算曲线积分(sin)(cos) xx L eym dxeymx dy， 其中m为常数，L为由点( ,0)A a至原点(0,0)O的上半圆周 22 (0)xyaxa 四、（本题满分 10 分） 求幂级数 13 n n n x n 的收敛域及和函数 五、（本题满分 10 分） 计算曲面积分 332 223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy， 其中为曲面 22 1(0)zxyz的上侧 六、（本题满分 6 分） 设( )
4、fx为连续函数，(0)fa， 222 ( )() t F tzf xyzdv，其中 t 是由曲面 22 zxy 与 222 ztxy所围成的闭区域，求 3 0 ( ) lim t F t t - 备注：考试时间为2 小时； 考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。 高等数学 A(下册 )期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准2009 年 6 月 高数 第 3 页 共 2 页 一、填空题【每小题4 分，共 20 分】1、4； 2、 2 1 y ；3、2414xyz； 4、3，0； 5、2. 二、试解下列各题【每小题 7 分，共 35 分】 1、解：方程两
5、边对x求导，得 32 3 dydz yzx dxdx dydz yzx dxdx ， 从而 5 4 dyx dxy ， 7 4 dzx dxz 【4】 该曲线在1, 1,2处的切向量为 5 71 (1, ,)(8,10,7). 4 88 T 【 5】 故所求的切线方程为 112 8107 xyz 【6】 法平面方程为81101720xyz即810712xyz【7】 、解： 22 22 22 6 zxy zxy 22 2xy，该立体在xOy面上的投影区域为 22 :2 xy Dxy 【2】 故所求的体积为Vdv 2 2 2262 2 0020 2(63)6dddzd 【7】 、解：由 11 li
6、mlimln(1)limln(1)10 n n nnn n un nn ，知级数 1 n n u 发散 【3】 又 1 11 | ln(1)ln(1)| 1 nn uu nn , 1 lim | limln(1)0 n nn u n .故所给级数收敛且条件收敛【7】 、解： 1212 11 ()0 z fyfyff xyy ，【 3】 2 1111222122222 11 ()() zxx fy fxfffxf x yyyyy 111222 23 1 . x fxyfff yy 【7】 、解：的方程为 222 zaxy，在xOy面上的投影区域为 2222 ( , ) | xy Dx yxyah
7、 又 22222 1 xy zzaaxy， 【】 故 22 2 22222 00 xy ah D dSadxdyd ad zaxya 22 22 0 1 2ln()2ln 2 ah a aaa h 【7】 高数 第 4 页 共 2 页 三、 【9 分】解：设( , , )M x y z为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为 222 dxyz 【1】 令 22222 ( , , )()(1)L x y zxyzzxyxyz， 则由 22 220 220 20 1 x y z Lxx Lyy Lz zxy xyz ，解得 13 2 xy，23z于是得到两个可能极值点 12 13131313 (,
8、23),(,23). 2222 MM【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 故 max2min1 |95 3,|95 3.dOMdOM 【9】 四、【10 分】解：记L与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得 2 2 (sin)(cos) 8 xx DLOA Ieym dxeymx dymdma 【5】 而 1 0 (sin)(cos) a xx OA Ieym dxeymx dymdxma 【8】 2 21 (sin)(cos). 8 xx L eym dxeymx dyIImama【10】 五、 【10 分】解： 1 1 31
9、limlim3 1 33 n n n nn n an R an ，收敛区间为( 3,3) 【2】 又当3x时，级数成为 1 1 nn ，发散；当3x时，级数成为 1 1 n n n ，收敛 【4】 故该幂级数的收敛域为3,3 【5】 令 13 n n n x s x n （33x） ，则 1 1 11 1111 ( )() 33331/33 n n n nn xx s x xx , (|3x) 【 8】 于是 000 ( )( )ln 3ln3ln 3 3 xxx dx s xs x dxxx x ， （33x） .【 10】 高数 第 5 页 共 2 页 六、【10 分】解：取 1为 22
10、0(1)zxy的下侧，记与 1所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式， 有 1 33222 2 22316Ix dydzy dzdxzdxdyxyz dv. 【5】 2 211 2 000 62ddzdz. 【7】 而 22 11 3322 1 1 22313133 xy Ix dydzy dzdxzdxdyzdxdydxdy . 【9】 21 23.III. 【10】 七、 【6 分】解： 2 22 4 000 sincos t F tddrfrr dr . 【2】 322 44 0000 2sincossin tt dr drdfrr dr 4 22 0 22 8 t t r frdr . 【4】 故 3 22 2 32 000 22() 22222 limlimlim(). 333 ttt t t f t F t f ta tt 【6】