《2012年高考数学分类汇编(人教A必修二)：第二章点直线平面之间的位置关系全解全析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年高考数学分类汇编(人教A必修二)：第二章点直线平面之间的位置关系全解全析版.pdf（40页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1 页 2012 年高考数学按章节分类汇编（人教A 必修二） 第二章点直线平面之间的位置关系 一、选择题 1 （ 2012 年高考（浙江文） ）设l是直线 ,a, 是两个不同的平面（） A若la,l, 则 aB若l a,l, 则 a C若 a,la, 则lD若 a, la, 则l 2 （ 2012 年高考（四川文） ）下列命题正确的是（） A若两条直线和同一个平面所成的角相等, 则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面, 则这两个平面平行 3 （ 2
2、012 年高考（浙江理） ）已知矩形ABCD,AB=1,BC=2. 将ABD沿矩形的对角线BD所在的 直线进行翻着, 在翻着过程中 ,（） A存在某个位置, 使得直线AC与直线BD垂直 B存在某个位置, 使得直线AB与直线CD垂直 C存在某个位置, 使得直线AD与直线BC垂直 D对任意位置 , 三直线“AC与BD”, “AB与CD”, “AD与BC”均不垂直 4 （ 2012 年高考（四川理） ）下列命题正确的是（） A若两条直线和同一个平面所成的角相等, 则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等, 则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面, 则这条直线与这两个平
3、面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面, 则这两个平面平行 5 （ 2012 年高考（上海春）已知空间三条直线.lmn、若l与 m 异面 , 且l与 n 异面 , 则 答（） A m 与 n 异面 . B m 与 n 相交 . C m 与 n 平行 . D m 与 n异面、相交、平行均有可能. 二、填空题 6 （ 2012 年高考（四川文） ）如图 , 在正方体 1111 ABC DA B C D中,M、N分别是 C D、 1 C C 的中点 , 则异面直线 1 A M与D N所成的角的大小是_. 7 （ 2012 年高考（大纲文） ）已知正方形 1111 ABC DA B C D中,E
4、 F分别为 1 BB, 1 C C的中点 , 那么异面直线AE与 1 D F所成角的余弦值为_. 8 （ 2012 年高考（四川理） ）如图 , 在正方体 1111 ABC DA B C D中,M、N分别是 N M B1 A1 C1 D1 B D C A 第 2 页 C D、 1 C C的中点 , 则异面直线 1 A M与D N所成角的大小是_. 9 （ 2012年 高 考 （ 大 纲 理 ） ）三 棱 柱 111 ABCA B C中 , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等, 11 60BAAC AA, 则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值为_. 三、解答题 10 （ 201
5、2 年高考（重庆文） ）( 本小题满分12 分,( ) 小问 4 分,( ) 小问 8 分) 已知直三棱柱 111 ABCA B C中 ,4AB, 3ACBC,D为AB的中点 .( ) 求异面直线 1 C C和 AB的距离 ;( ) 若 11 ABA C, 求二面角 11 ACDB的平面角的余弦值. 11 （ 2012 年高考（浙江文） ）如图 , 在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B1C1D1中,ADBC,AD AB,AB=2 .AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1的中点 ,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1的交点 . (1) 证明 :(i)EFA1D1; (ii)BA
6、1平面 B1C1EF; (2) 求 BC1与平面 B1C1EF所成的角的正弦值. 12 （ 2012年 高 考 （ 天 津 文 ）如 图 , 在 四 棱 锥PABC D中 , 底 面A B C D是 矩 形,1,23ADPDBCPC,2PDC D. (I) 求异面直线PA与BC所成角的正切值; (II)证明平面PD C平面A BCD; (III)求直线PB与平面ABC D所成角的正弦值. 第 3 页 13 （2012年高考（四川文） ）如图,在三棱锥PABC 中 ,90APB,60PAB,ABBCC A, 点P在平面ABC内的射影O在AB 上. ( ) 求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
7、( ) 求二面角BAPC的大小 . 14 （ 2012 年高考（上海文） ）如图 , 在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是 PC的中点 . 已知BAC= 2 ,AB=2,AC=23, PA=2. 求: (1) 三棱锥P-ABC的体积 ; (2) 异面直线BC与AD所成的角的大小( 结果用反三 角函数值表示). 15 （ 2012 年高考（陕西文） ）直三棱柱ABC- A1B1C1中,AB=A A1 ,C AB= 2 ( ) 证明 11 BACB; ( ) 已知 AB=2,BC=5, 求三棱锥 11 CAAB的体积 . A B C P P A B C D 第 4 页 16 （ 2012年
8、高 考 （ 山 东 文 ） ）如 图 , 几 何 体EABC D是 四 棱 锥 , ABD为 正 三 角 形,C BCDECBD. ( ) 求证 :BEDE; ( ) 若120BC D,M为线段AE的中点 , 求证 :D M平面BEC. 17 （ 2012 年高考（辽宁文） ）如图 , 直三棱柱 / ABCA B C,90BAC , 2 ,ABACAA =1, 点M,N分别为 / A B 和 / B C的中点 . ( ) 证明 :M N平面 / A ACC; ( ) 求三棱锥 / AMNC的体积 . ( 椎体体积公式V= 1 3 Sh, 其中 S为地面面积 ,h 为高 ) 18（2012 年高
9、考（课标文） ）如图 , 三棱柱 111 ABCA B C中, 侧棱垂直底面 , ACB=90 ,AC=BC= 1 2 AA1,D 是棱 AA1的中点 . (I) 证明 : 平面 1 BD C平面 1 BD C ( ) 平面 1 BD C分此棱柱为两部分, 求这两部分体积的比. 第 5 页 19（ 2012 年高考（江西文） ）如图 , 在梯形 ABCD 中,ABCD,E,F 是线段 AB上的两点 , 且 DE AB,CF AB,AB=12,AD=5,BC=42 ,DE=4. 现将 ADE,CFB分别沿 DE,CF折起 , 使 A,B两点重合与 点 G,得到多面体CDEFG. (1) 求证 :
10、 平面 DEG 平面 CFG; (2) 求多面体CDEFG 的体积 . 20 （ 2012 年高考（湖南文） ）如图 6, 在四棱锥P-ABCD中,PA平面 ABCD, 底面 ABCD是等腰梯 形,ADBC,ACBD. ( ) 证明 :BD PC; ( ) 若 AD=4,BC=2,直线 PD与平面 PAC所成的角为30, 求四棱锥P-ABCD的体积 . 21 （ 2012 年高考 （湖北文） ）某个实心零部件的形状是如 图 所 示 的 几 何 体 , 其 下 部 是 底 面 均 是 正 方 形 , 侧 面 是 全 等 的 等 腰 梯 形 的 四 棱 台 1111 A B C DABC D ,
11、上不是一个底面与四棱台的上底面重合, 侧面是全等的矩形的四棱柱 2222 ABC DA B C D. (1) 证明 : 直线 11 B D平面 22 AC C A; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 1121 10,20,30,13ABABAAAA( 单位 : 厘米 ), 每平方厘米的加工处理 费为0.20元, 需加工处理费多少元? P AD C B 第 6 页 22 （ 2012 年高考（广东文） ）( 立体几何 ) 如图5 所示 , 在四棱锥PABC D中 ,AB平面 PAD,ABC D,PDAD,E是PB的中点 ,F是D C上的点且 1 2 D FAB,PH为PAD中AD边
12、上的高 . ( ) 证明 :PH平面ABC D; ( ) 若1PH,2AD,1FC, 求三棱锥EBC F的体积 ; ( ) 证明 :EF平面PAB. 23 （ 2012 年高考（福建文） ）如图 , 在长方体 1111 ABC DA B C D中, 1 1,2,ABADAAM 为棱 1 DD上的一点 . (1) 求三棱锥 1 AM C C的体积 ; (2) 当 1 A MM C取得最小值时, 求证 : 1 B M平面 M AC. 24 （ 2012 年高考（大纲文） ）如图 , 四棱锥PA B C D中, 底面A BC D为菱形 ,PA底面 A B C D,22AC,2PA,E是PC上的一点
13、,2PEEC. ( ) 证明 :PC平面BED; ( ) 设二面角APBC为 90, 求PD与平面PBC所成角的大小. D A B P C E 第 7 页 25 （ 2012 年高考（北京文） ）如图 1, 在 Rt ABC中, C=90,D,E 分别是 AC,AB上的中点 , 点 F为线段 CD上的一点 . 将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置 , 使 A1FCD,如图 2. (1) 求证 :DE平面 A1CB; (2) 求证 :A1FBE; (3) 线段 A1B 上是否存在点Q,使 A1C平面 DEQ? 说明理由 . 26 （ 2012 年高考（安徽文） ）如图 , 长方体 1111
14、DCBAABCD中, 底面 1111 DCBA是正方形 , O是BD的中点 ,E是棱 1 AA 上任意一点 . ( ) 证明 :BD 1 EC ; ( ) 如果AB=2,AE=2 , 1 ECOE, 求 1 AA的长 . 27（ 2012 年高考（天津理） ）如图 , 在四棱锥 PABC D中, PA丄平面 ABC D,AC丄A D, AB 丄BC, 0 = 45ABC,= 2PAAD, =1AC. ( ) 证明PC丄AD; ( ) 求二面角 APCD 的正弦值 ; ( ) 设 E 为棱PA上的点 , 满足异面直线BE与 CD所成的角为 0 30, 求 AE的长 . D C B A P 28
15、（ 2012 年高考（新课标理）如图 , 直三棱柱 111 ABCA B C中, 1 1 2 ACBCAA,D是棱 1 AA 的中点 , BDDC 1 (1) 证明 :BCDC 1 (2) 求二面角 11 CBDA的大小 . 29 （ 2012年高 考（ 浙江 理）如图 , 在四棱锥PABCD中 , 底面是边长为23的菱形 , 且 BAD=120, 且PA平面ABCD,PA=26,M,N分别为PB,PD的中点 . ( ) 证明 :MN平面ABCD; ( ) 过点A作AQPC, 垂足为点Q, 求二面角AMN Q的平面角的余弦值. 30 （ 2012 年高考（重庆理） ）( 本小题满分12 分(
16、) 小问 4 分( ) 小问 8 分) 如图 , 在直三棱柱 111 CBAABC中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB的中点 ( ) 求点 C到平面 11 A ABB的距离 ; ( ) 若 11 ABA C, 求二面角 11 ACDC的平面角的余弦值. 第 9 页 31 （2012年高考（四川理） ）如图,在三棱锥PABC 中,90APB,60PAB,ABBCC A, 平面PAB平面ABC. ( ) 求直线PC与平面ABC所成角的大小 ; ( ) 求二面角BAPC的大小 . 32 （ 2012 年高考（上海理） ）如图 , 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是矩形 ,PA底面ABCD
17、,E是 PC的中点 . 已知AB=2, AD=22,PA=2. 求: (1) 三角形PCD的面积 ; (2) 异面直线BC与AE所成的角的大小. 33 （ 2012 年高考（上海春） ）如图 , 正四棱柱 1111 A B C DA B C D的底面边长为1, 高为2,M 为线段A B的中点 . 求: (1) 三棱锥 1 CM B C的体积 ; (2) 异面直线C D与 1 M C 所成角的大小 ( 结果用反三角函数值表示) 34 （ 2012 年高考（陕西理） ）(1) 如图 , 证明命题“a 是平面内的一条直线 ,b是外的一条 直线 (b不垂直于), c 是直线b在上的投影 , 若ab,
18、则ac”为真 . (2) 写出上述命题的逆命题, 并判断其真假 ( 不需要证明 ) A B C P A B C D P E AB CD A1 B1 C1D1 M 第 10 页 35 （ 2012 年高考（山东理） ）在如图所示的几何体中, 四边形 ABC D是等腰梯形,ABC D, 60 ,D ABFC 平面,ABCDAEBDCBCDCF. ( ) 求证 :BD平面AED; ( ) 求二面角FBDC的余弦值 . 36 （ 2012年 高 考 （ 辽 宁 理 ）如 图 , 直 三 棱 柱 / ABCA B C , 90BAC , / ,ABACAA点M,N分别为 / A B 和 / B C的中点
19、 . ( ) 证明 :M N平面 / A ACC; ( ) 若二面角 / AMNC为直二面角 , 求的值 . 37 （ 2012 年高考（江西理） ）在三棱柱 111 ABCA B C中, 已知 1 5,4ABACAABC, 在 1 A在底面 ABC的投影是线段BC的中点O。 第 11 页 (1) 证明在侧棱 1 AA上存在一点E, 使得O E平面 11 BB C C, 并求出AE的长 ; (2) 求平面 11 A B C与平面 11 BB C C夹角的余弦值。 38（ 2012 年高考（江苏）如图, 在直三棱柱 111 ABCA B C中, 1111 A BA C,DE，分别是棱 1 BCC
20、C， 上的点( 点D不同于点C), 且ADDEF，为 11 B C的中点 . 求证 :(1) 平面AD E平面 11 BCCB; (2) 直线 1 /A F平面ADE. 39 （ 2012年 高 考 （ 湖 南 理 ）如 图5, 在 四 棱 锥P-ABCD 中 ,PA 平 面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5, DAB= ABC=90 ,E是 CD的中点 . ( ) 证明:CD平面PAE; ( ) 若直线PB与平面 PAE所成的角和PB与平面 ABCD 所成的角相等 , 求四棱锥P-ABCD的 体积 . 40 （ 2012 年高考（湖北理） ）如图 1,45ACB,3BC, 过动 点A作
21、 A DB C, 垂足 D在线段BC上且异于点B, 连接AB, A B C D P E 图 5 第 12 页 沿AD将ABD折起 , 使90BDC( 如图 2 所示 ). ( ) 当BD的长为多少时 , 三棱锥ABC D的体积最大 ; ( ) 当三棱锥ABC D的体积最大时 , 设点E,M分别为棱BC,AC的中点 , 试在 棱CD上确定一点N, 使得ENBM, 并求E N与平面BM N所成角的大小. 41 （ 2012 年高考（广东理） ）如图 5 所示 , 在四棱锥PABC D中 , 底面ABC D为矩形 ,PA平 面ABC D, 点E在线段PC上,PC平面BD E. ( ) 证明 :BD平
22、面PAC; ( ) 若1PA,2AD, 求二面角BPCA的正切值 . 42 （ 2012 年高考（福建理） ）如图 , 在长方体 1111 ABC DA B C D中 1,ABADE为 C D中点 . ( ) 求证 : 11 B EAD ( ) 在棱 1 AA上是否存在一点P, 使得/ /D P平面 1 B AE?若存在 , 求AP的长 ; 若不存在 , 说明理由 . ( ) 若二面角 11 AB EA的大小为 30, 求A B的长 . 43 （ 2012 年高考（大纲理） ）( 注意 : 在试题卷上作答无效 ) 如图 , D A B C A C D B 图 2 图 1 M E . 第 13
23、页 四棱锥PABC D中 ,底面ABC D为菱形 ,PA底面ABC D,22AC,2,PAE 是PC上的一点 ,2PEEC. (1) 证明 :PC平面BED; (2) 设二面角APBC为90, 求PD与平面PBC所成角的大小. 44 （ 2012 年高考（北京理）如图 1, 在 RtABC中, C=90 ,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB上的点 , 且 DE BC,DE=2, 将ADE 沿 DE折起到A1DE的位置 , 使 A1CCD,如图 (1) 求证 :A1C平面 BCDE; (2) 若 M是 A1D 的中点 ,求 CM与平面 A1BE所成角的大小; (3) 线段 BC上是否
24、存在点P,使平面 A1DP与平面 A1BE垂直 ?说明理由 . 45 （ 2012年 高 考 （ 安 徽 理 ） ）平 面 图 形 111 A B B A C C如 图4 所 示 , 其 中 11 BB C C是 矩 形, 1 2,4BCBB,2ABAC, 1111 5A BA C. 现将该平面图形分别沿BC和 11 B C折叠 , 使ABC与 111 A B C所在平 面都 与平面 11 BB C C垂直 , 再分别连接 111 ,AABAC A,得到如图2 所示的空间图形,对此空间图 形解答 下列问题 ( ) 证明 : 1 AABC; () 求 1 AA的长 ; ( ) 求二面角 1 AB
25、CA的余弦值 . E C BD A P 第 14 页 参考答案 一、选择题 1. 【答案】 B 【命题意图】 本题考查的是平面几何的基本知识, 具体为线面平行、线面垂直、 面面平行、 面面垂直的判定和性质. 【解析】利用排除法可得选项B 是正确的 ,l a,l ,则 a . 如选项A:la,l 时, a或 a; 选项 C:若 a ,la,l或l; 选项 D:若若 a, la,l 或l. 2. 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等, 这两条直线可能平行, 也可能为异面直线, 也 可能相交 , 所以 A错; 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等, 则这两个 平面平行 , 故
26、 B错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行, 也可以垂直 ; 故 D错; 故选 项 C正确 . 点评 本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质, 需要熟练掌握课本 基础知识的定义、定理及公式. 3. 【答案 】B 【解析 】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着, 观察在翻着过程, 即可知 选项 B 是正确的 . 4. 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等, 这两条直线可能平行, 也可能为异面直线, 也 可能相交 , 所以 A错; 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等, 则这两个 平面平行 , 故 B错; 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平
27、行, 也可以垂直 ; 故 D错; 故选 项 C正确 . 点评 本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质, 需要熟练掌握课本 基础知识的定义、定理及公式. 5. D 二、填空题 6. 答案 90 o 解析 方法一 : 连接 D1M,易得 DN A1D1 ,DN D1M, 所以 ,DN平面 A1MD 1, 又 A1M平面 A1MD1, 所以 ,DNA1D1, 故夹角为90o 方法二 : 以 D为原点 ,分别以 DA, DC, DD1为 x, y, z轴, 建立空间直角坐标系Dxyz. 设正 方体边长为2, 则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)
28、故,），（），（2,121,2,0 1 MADN 所以 ,cos |MA|DN| 1 1 1 MADN MADN ， = 0,故 DN D1M,所以夹角为90o 点评 异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一 , 把两条异面直线平移到同一平 面中借助三角形处理; 第二 , 建立空间直角坐标系, 利用向量夹角公式解决. 7. 【解析】正确的是 第 15 页 四面体ABCD每个面是全等三角形, 面积相等 从四面体ABC D每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180 连接四面体ABC D每组对棱中点构成菱形, 线段互垂直平分 从四面体ABC D每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 8
29、. 解析 方法一 : 连接 D1M,易得 DN A 1D1,DND1M, 所以,DN平面A1MD1, 又 A1M平面 A1MD1, 所以,DNA1D1, 故夹角为90o 方法二 : 以 D为原点 ,分别以 DA, DC, DD1为 x, y, z轴, 建立空间直角坐标系Dxyz. 设正 方体边长为2, 则 D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, ），（），（2,121,2,0 1 MADN 所以 ,cos |MA|DN| 1 1 1 MADN MADN ， = 0,故 DN D 1M,所以夹角为90o 9. 答案 6 6 【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异
30、面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可. 【解析】设该三棱柱的边长为1, 依题意有 1111 ,ABABAABCACAAAB , 则 22 22 1111 |()222 cos 603ABABAAABABAAAA 222 22 11111 |()2222BCACAAABACAAABACAAACABAAAB 而 1111 () ()ABBCABAAACAAAB 11111 1111 111 2222 ABACABAAABABAAACAAAAAAAB 11 11 11 16 cos, 6|23 ABBC ABBC ABBC 三、解答题 10. 【答案】 :( )( ) 1 3 【解析】:( )
31、如答 (20) 图 1, 因 AC=BC, D为 AB的中点 , 故 CD AB.又直三棱柱中, 1 C C 面ABC , 故 1 C DC C ,所以异面直线 1 C C和 AB的距离为 22 CD=5BCBD ( ): 由 1 CD, CD,ABBB故C D面 11 A ABB ,从而 1 C DD A , 1 C DD B 故 11 A DB为所求的二面角 11 ACDB的平面角 . 第 16 页 因 1 A D是 1 A C在面 11 A ABB上的射影, 又已知 11C, ABA由三垂线定理的逆定理得 11D, ABA从 而 11 A AB, 1 A D A都 与 1 BA B互 余
32、 , 因 此 111 A A BA D A, 所 以 1 R tA A D 11 RtB A A, 因此 111 1 AAA B ADAA 得 2 111 8AAADA B 从而 22 1111 =23,23A DAAADB DA D 所以在 11 A D B中, 由余弦定理得 222 1111 11 11 1 cos 23 A DD BA B A D B A DD B 11. 【命题意图】 本题主要以四棱锥为载体考查线线平行, 线面垂直和线面角的计算, 注重与平 面几何的综合, 同时考查空间想象能力和推理论证能力. (1)(i)因为 1111 / /C BA D, 11 C B平面 ADD
33、1 A1,所以 11/ / C B平面 ADD 1 A1. 又因为平面 11 B C EF平面 ADD 1 A1=EF, 所以 11 / /C BEF. 所以 11 / /A DEF. (ii) 因为 11111 BBA B C D, 所以 111 BBB C, 又因为 111 BBB A, 所以 1111 B CABBA, 在矩形 11 ABBA中,F是AA的中点,即 111 2 tantan 2 A B FAA B . 即 111 A B FAA B, 故 11 BAB F. 所以 1 BA平面 11 B C EF. (2) 设 1 BA与 1 B F交点为 H,连结 1 C H. 由 (
34、1) 知 11 B C EF, 所 以 1 B C H是 1 BC与 平 面 11 B C EF所 成 的 角 . 在 矩 形 11 ABBA 中,2AB, 1 2AA,得 4 6 BH, 在直角 1 BH C中, 1 23BC, 4 6 BH, 得 1 1 30 sin 15 BH BC H BC , 所以 BC与平面 11 B C EF所成角的正弦值是 30 15 . 第 17 页 12. 解:(1) 如图 , 在四棱锥PABC D中, 因为底面 ABC D是矩形 , 所以A DB C,且/ /ADBC, 又因为 A DP D, 故PAD 或其补角是异面 直线PA与BC所成的角 . 在Rt
35、PD A中 ,tan2 PD PAD AD , 所以异 面直线PA与BC所成角的正切值为2. (2)证 明 : 由 于 底 面A B C D是 矩 形 , 故 ADCD, 又由于A DPD,C DPDD, 因此AD平面P D C, 而AD平面 A B C D, 所以平面PD C平面ABC D. (3) 在平面PD C内 , 过点P作PEC D交直线C D于点E, 连接EB. 由于平面PD C 平面ABC D, 由此得PBE为直线PB与平面ABC D所成的角 . 在PD C中,2,23PDC DPC, 可得30PC D 在RtPEC中,sin 303PEPC 由/ /,ADBCAD平面PD C,
36、 得BC平面PD C, 因此BCPC 在RtPC B中, 22 13PBPCBC,在RtPEB中, 39 sin 13 PE PBE PB 所以直线PB与平面ABC D所成角的正弦值为 39 13 . 13. 解析 (1) 连接 OC. 由已知 ,ABCPCOCP与平面为直线所成的角 设 AB的中点为D,连接 PD 、CD. 因为 AB=BC=CA, 所以 CDAB. 因为为，所以，PADPABAPB6090等边三角形 , 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP=3, AB=4. 所以 CD=23,OC=13121 22 CDOD. 在 Rt中，OCPtan 13 39 13 3 OC OP O
37、PC (2) 过 D 作 DEAP于 E,连接 CE. 由已知可得 ,CD平面 PAB. 据三垂线定理可知,CEPA, 所以 ,的平面角为二面角CAPBCED. 由(1) 知,DE=3 第 18 页 在 RtCDE中,tan2 3 32 DE CD CED 故2arctan的大小为二面角CAPB 点评 本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念, 重点考查思维能力和空间想象 能力 , 进一步深化对二面角的平面角的求解. 求解二面角平面角的常规步骤: 一找 ( 寻找现 成的二面角的平面角) 、二作 ( 若没有找到现成的, 需要引出辅助线作出二面角的平面角) 、 三求 ( 有了二面角的平面角后,
38、在三角形中求出该角相应的三角函数值). 14. 解(1)32322 2 1 ABC S, 三棱锥P-ABC的体积为 3 34 3 1 3 1 232PASV ABC (2) 取PB的中点E, 连接DE、AE, 则 EDBC, 所以ADE( 或其补角 ) 是异面直线 BC与AD所成的角 在三角形ADE中,DE=2,AE=2,AD=2, 4 3 222 222 22 cosADE, 所以ADE= 4 3 arccos. 因此 , 异面直线BC与AD所成的角的大小是 4 3 arccos 15. 1111 111111 1, ,. AB ABC AAC 解 ： （ ） 如 图 ， 连 接， 由 直
39、三 棱 柱 可 知CAB=90 ，AC平 面 ABB A ， ACBA 又AABAABABBBA 111 111 11111 2251 112 ,21. 333 CABAABA ABA AACA C A CABAVSA C （）， BC=， 又平 面 16. 证明 :(I)设BD中点为O, 连接OC,OE, 则由BCC D知COBD, 又已知 CEBD , 所以BD平面OCE. 所以 BDO E, 即OE是BD的垂直平分线 , 所以BEDE . (II)取AB中点N, 连接 ,MND N ,M是AE的中点 , M NBE, ABD是等边三角形, D N AB . 由BCD=120知 , CBD
40、=30, 所以ABC=60+30=90,即BCAB, 所以NDBC, 所以平面MND平面BEC, 又DM平面MND,故DM平面BEC. 另 证 : 延 长BCAD ,相 交 于 点F, 连 接EF. 因 为 CB=CD, 0 90ABC . 因为ABD为正三角形,所以 00 90,60ABCBAD, 则 0 30AFB, P A B C D E 第 19 页 所以AFAB 2 1 , 又ADAB, 所以 D 是线段 AF的中点 , 连接 DM, 又由点 M是线段 AE的中点知EFDM/, 而DM平面BEC, EF平面BEC, 故DM平面BEC. 17. 【答案与解析】 (1) 证明 : 取A
41、B中点P,连结MP,NP,而 M,N 分别是AB与 BC的中点 , 所以 , MP AA,PNAC, 所 以 ,MP 平面AACC,PN 平 面 AACC, 又MPNPp, 因此平面MPN 平面AACC, 而 MN平面 MPN, 所以 ,MN平面AACC, ( ) （ 解法一 ）连结BN，由题 意A NB C, 面A B C面 B BC C=B C, A N面 NBC ，A N= 1 2 B C=1, 111 226 AMN CNA M CNA B CANB C VVVV. ( 解法 2) 111 226 AM N CANB CMNB CAN BC VVVV 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查
42、空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算, 考查 空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力, 难度适中 . 第一小题可以通过线线平行来 证明线面平行, 也可通过面面平行来证明; 第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关 键, 也可以采用割补发来球体积. 18. 【命题意图】 本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算, 考查空间想象能力、逻辑推理能力, 是简单题 . 【解析】 ( ) 由题设知BC 1 C C,BCAC, 1 CCACC, BC面 11 AC C A, 又 1 DC面 11 AC C A, 1 D CBC, 由题设知 0 11 45A D CAD C, 1
43、 C D C= 0 90, 即 1 D CD C, 又D CBCC, 1 DC面 BD C, 1 DC面 1 BD C, 面BD C面 1 BD C; ( ) 设棱锥 1 BD AC C的体积为 1 V,AC=1, 由题意得 , 1 V= 112 11 32 = 1 2 , 由三棱柱 111 ABCA B C的体积V=1, 11 () :VVV=1:1, 平面 1 BD C分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 法二 :(I)证明 : 设 aBCAC , 则aAA2 1 , 第 20 页 因侧棱垂直底面, 即ABCDA平面, 所以ACDA, 又 D是棱 AA1的中点 , 所以aAADA 1 2 1
44、 在DACRt中 , 由勾股定理得 :aDC2 ; 同理aDC2 1 , 又aAACC2 11 , 所以 : 2 1 2 1 2 CCDCDC, 即有)1( 1 CDDC 因AA1平面ABC, 所以BCAA1, 又 0 90ACB, 所以 BCAC, 所以BC侧面 11A ACC, 而DC1 平面 11A ACC, 所以 :)2( 1D CBC; 由(1) 和(2) 得:DC1 平面BCD, 又DC1平面DBC 1 , 所以平面 1 BDC平面BDC (II) 平面 BDC 1分此棱柱的下半部分可看作底面为直角梯形 DACC 1 ,高为BC的一个四 棱锥 , 其体积为 : 3 2 1 2 2
45、3 1 3 1 11 aaa aa BCSVV DACCDACCB下 , 该四棱柱的总体积为 3 1 2 2 1 aaaaAASV ABC , 所以 , 平面 BDC 1分此棱柱的上半部的体积为 3 2 1 -aVVV 下上 所以 , 所求两部分体积之比为1:1 19. 【解析】(1) 由已知可得AE=3,BF=4, 则 折叠完后EG=3,GF=4,又因 为 EF=5, 所以可得 E GG F 又因为CFEGF底 面, 可得C FEG, 即EGCFG面所以平面DEG 平面 CFG. (2) 过G 作GO 垂 直 于EF,GO 即 为 四 棱 锥G-EFCD 的 高 , 所 以 所 求 体 积
46、为 1112 5520 335 D E C F SG O 正 方 形 20. 【解析】 ( ) 因为,.PAABCDBDABCDPABD平 面平 面所 以 又,ACBDPAAC是平面 PAC内的两条相较直线, 所以 BD平面 PAC, 而PC平面 PAC,所以BDPC. ( ) 设 AC和 BD相交于点O,连接 PO,由 () 知,BD平面 PAC, 所以D PO是直线 PD和平面 PAC所成的角 , 从而D PO30. 第 21 页 由 BD平面 PAC,PO平面 PAC,知BDPO. 在R tPO D中, 由D PO30, 得 PD=2OD. 因为四边形ABCD为等腰梯形 ,ACBD, 所
47、以,AODBOC均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD的高为 111 (42)3, 222 ADBC于是梯形ABCD面积 1 (42)39. 2 S 在等腰三角形AOD中, 2 ,22, 2 O DAD 所以 22 242,4.PDODPAPDAD 故四棱锥PABCD的体积为 11 9412 33 VSPA. P E AD C B 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明, 考查空间角的应用, 及几何体体积计算. 第一 问只要证明BD平面 PAC即可 , 第二问由 ( )知 ,BD平面 PAC,所以D PO是直线PD 和平面 PAC所成的角 , 然后算出梯形的面积和棱锥的高, 由 1 3 VSP
48、A算得体积 . 21. 【解析】 (1) 因为四棱柱 2222 ABC DA B C D的侧面是全等的矩形, 所以 22 ,AAABAAAD 又因为ABADA, 所以 2 AA平面ABC D 第 22 页 连接BD, 因为BD平面ABC D, 所以 2 AABD 因为底面ABCD是正方形 , 所以ACBD.根据棱台的定义可知,BD与 11 B D共面 . 又已知平面/ /ABC D平面 1111 A B C D, 且平面 11 BB D D平面ABC DBD 平面 11 BB D D 111111 A B C DB D, 所以 11 / /B DBD, 于是 由 211 ,/ /AABDACBDB DBD, 可得 211