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1、1 第 2 课时角度和物理问题 知能目标解读 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题. 2. 学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题. 3. 用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实 际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的 目的 . 重点难点点拨 重点：构建数学模型探求角度测量方法. 难点：将实际问题抽象成数学模型. 学习方法指导 要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用 正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角
2、. 在计算面积和航海问题中，也都与求角的问题相 联系 . 要清楚问题中的角的含义，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根据已知线段和角以及要求的角， 选择有充分条件的三角形求解. 知能自主梳理 1. 测量角度就是在三角形内利用和求角的正弦值或余弦值，再根据需 要求出所求的角. 2. 坡面和水平面的夹角叫做. 3. 坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的 L H ） ，叫做. 答案1. 正弦定理 2. 3. 思路方法技巧 命题方向测量角度问题 例 1在南海伏季渔中，我渔政船甲在A处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60的方向，相 距a海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么
3、方向前进才能追上渔 2 解析如图所示，设乙船沿B点向北行驶的速度大小为v, 则甲船行驶的速度大小为3v, 两船相 遇的时间为t, 则BC=vt,AC=3vt， 在ABC中，ABC=120,AB=a, 由余弦定理，得 AC 2=AB2+BC2-2 ABBCcos120 , 即 3v 2t2=a2+v2t2+vat , 2v 2t2- vat-a 2=0, 解得 t1= v a ,t2=- v a 2 ( 舍去 ). BC=a, CAB=30. 即甲船应沿北偏东30的方向去追赶乙船，在乙船行驶a海里处相遇 . 说明解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意 画出
4、正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦 定理求解 变式应用1 在地面上某处， 测得塔顶的仰角为，由此处向塔走30 米，测得塔顶仰角为2，再向塔走 103米， 测得塔顶仰角为4，试求角 的度数 . 分析如图所示，求角，必须把角 、2 、4和边长 30、 103尽量集中在一个三角形中， 利用方程求解. 解析解法一：PAB=，PBC=2 BPA=，BP=AB=30 又PBC=2，PCD=4 BPC=2，CP=BC=10 3， 在BPC中，根据正弦定理得： 4sin2sin PBPC 即 2sin 310 = 4sin 30 310 30 2sin 2
5、cos2sin2 由于 sin2 0, cos2= 2 3 0OB, ABO=25.49 或ABO=154.51 , 当ABO=25.49 时，AOB=136.51 ， AB= 18sin sinAOBOB 4.77 10 8（ km）. 当ABO=154.51 时，AOB=7.49 ， AB= 18sin sinAOBOB 9.03 10 7（ km）. 答：此时地球与金星之间的距离约为4.77 10 8km或 9.03 107km. 名师辨误做答 例 4海岸A处，发现北偏东45方向，距A处（3-1 ）n mile的B处有一艘走私船，在A处 北偏西 75的方向，距离A处 2n mile的 C
6、处的缉私船奉命以103n mile/h的速度追截走私船. 此时， 走私船正以10n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？ 误解缉私船用t小时，在D处追上走私船， 在ABC中，由余弦定理， 得BC 2=AB2+AC2-2 ABAC cos CAB=(3-1) 2 +2 2-2 （ 3-1） 2cos120 6 BC=6. 在BCD中，BD=10t,CD=103t, 由余弦定理，得CD 2=BC2+BD2-2 BCBD cosCBD, (103t) 2 =6+(10t) 2 -2 610t （ - 2 1 ） ， 整理，得100t 2-5 6t-3=0
7、, 7 解得t= 10 6 . BD=6, 又BC=6, CBD=120 . BCD=BDC=30. 故缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船. 述解法错误的原因在于默认为CBD=120，而没有给出证明，并且多余的求出时间t. 缉私船用t小时在D处追上走私船.在ABC, 由余弦定理，得 BC 2=AB2+AC2-2 ABACcosCAB=(3-1) 2+22-2 （ 3-1 ） 2cos120 6 BC=6. 在BCD sin ABC= BC AC sin BAC= 2 2 , ABC=45，BC与正北方向垂直. CBD=120. 在BCD中，由正弦定理，得 BCD BD CBD CD si
8、nsin , BCD t sin 10 120sin 310 , sin BCD= 2 1 ,BCD=30. 故缉私船沿东偏北30的方向能最快追上走私船. 课堂巩固训练 1. 在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的（） A.北偏西 3427B.北偏东 5533 C.北偏西 5532D.南偏西 5533 答案A 2. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为 4 3 ，设 为坡角，那么cos等于（ A. 5 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 3 4 B 由题意，得tan = 4 3 , 4 3 cos sin , 16 9 cos sin 2 2 , 即 16 9 cos cos1 2 2
9、 , 8 cos= 5 4 . 3. 一船以 226km/h 的速度向正北航行, 在A处看灯塔S在船的北偏东45,1 小时 30 分后航行到B处, 在B处看灯塔S在船的南偏东15, 则灯塔S与B之间的距离为 ( ) A.66 km B.132 km C.96 km D.33 km 答案A 解析如图，ASB=180-15 -45 =120 AB=226633 2 3 由正弦定理，得 45sin120sin 633SB SB=66km. 4. 一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h， 该船实际航程为. 答案6 km 解析如图，水流速和
10、船速的合速度为v 在OAB中：OB 2=OA2+AB -2OAABcos60 OB=v=23km/h. 即船的实际速度为23km/h，则经过3h，其路程为233=6 km. 5. 一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105爬行 20cm ，又向右转135，这样继续爬行可回到出 发点处，那么x= . 答案 3 620 cm 解析如图ABC中，A=45 15 60， 9 B=45+30=75, ACB=45, 由正弦定理知 AACB x sin 20 sin , x= 3 620 . 课后强化作业 1. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C
11、 的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的（） A.北偏东 10B.北偏西 10 C.南偏东 10D.南偏西 10 答案B 解析 ACB=180-40 -60 80 AC=BC, ABC=50, =60-50 =10 . 2. 甲船在B岛的正南A处，AB=10km，甲船以 4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以 6km/h 的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 ( ) A. 7 150 min B. 7 15 h C.21.5min D.2.15h 答案A 解析如图，设经过x小时时距离为s，则在BPQ PQ 2=BP2+BQ2-2 BPBQcos120
12、， 即s 2=(10-4 x) 2 +(6x) 2 -2(10-4x) 6x(- 2 1 ) 10 =28x 2-20 x+100. 当x=- 14 5 2a b 时，s 2 最小，此时x= 14 5 h= 7 150 min. 3. 如图所示，B、C 、D三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A点的仰角分别为、（) ， 则A点离地面的高AB等于（ A. sin sinsina B. cos sinsina C. sin cossina D. cos coscosa 答案A 解析由 tan = CBa AB ,tan = CB AB ，联立解得AB sin sinsina . 4.
13、一质点受到平面上的三个力 1 F、 2 F、 3 F（单位： 牛顿） 的作用而处于平衡状态， 1 F、 2 F成 60 角，且 1 F、 2 F的大小分别为2和 4，则 3 F的大小为 ( ) A.6 B.2 C.25D.27 答案D 解析由题意，得 1 F+ 2 F+ 3 F0 1 F 2 F、 3 F- 3 F, ( 1 F+ 2 F) 2= 3 F 2, 2 1 F+ 2 F 2+2 1 F 2 F3 F 2 4+16+224cos60 3F 2 3F 228， | 3 F|=27. 故选 D. 5. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半
14、小时后， 11 看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时 （ A.5 海里B.53 C.10 海里D.103 答案C 解析如图，依题意有BAC=60, BAD=75 CAD=CDA=15，从而CD=CA=10 在 RtABC中，求得AB=5 这艘船的速度是 5.0 5 =10(海里 / 小时 ). 6. 江岸边有一炮台高30 米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 30，而且两条船与炮台 底部连线成30角，则两条船相距（ A.103米B.1003 C.203米D.30 米 答案D 解析设炮台顶部为A，两条船分别为B,C, 炮台底部为D，
15、可知BAD=45，CAD= 60，BDC=30，AD=30. 分别在 RtADB,Rt ADC中，求得BD=30,DC=303. 在DBC中，由余弦定理 得BC 2=DB2+DC2-2 DBDCcos30，解得BC=30. 7. 如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，底部的俯角为45，那么这座塔吊的高 是（ A.20 （1+ 3 3 ）m B.20（1+3） m C.10（26）m D.20（26）m 答案B 解析 DAE=60，EAC 45， 又EC20m, BC=AE=20m, 在AED中，DE=AEtan60 203m. 12 塔吊的高度是20（1+3） m. 8. 如
16、下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔 68 海里的M处，下 午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为（） A. 2 617 海里 / 小时 B.346海里 / C. 2 217 海里 / 小时 D.342海里 / 小时 答案 A 解析由题意知PM=68，MPN=120，N=45, 由正弦定理知 120sin45sin MNPM MN=68 2 3 2=346, 速度为 2 617 4 634 （海里 / 小时） . 9. 一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知DAC=50，CBE=70，AC=90，BC=150，则 DE=
17、 . 答案210 解析由题意知ACB=120 在ACB中，由余弦定理，得 AB 2=AC2+BC2-2 ACBCcosACB =90 2+1502-2 90150（ - 2 1 ） 44100. AB=210,DE=210. 10. 在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂 直 的 航 线 到 达 对 岸 ， 那 么 船 前 进 的 方 向 指 向 河 流 的 上 游 并 与 河 岸 垂 直 的 方 向 所 成 的 角 为. 答案30 解析水流速度与船速的合速度为v, 方向指向河岸，如图由题意可知sin = 2 1 40 20 船 水
18、v v =30. 13 11. 有一长为100 米的斜坡，它的倾斜角为45，现在要把倾斜角改成30，则坡底要伸 米. 答案50（26） 解析 在ABC中，C=90， ABC=45 AB=100, AC=502. 又在ACD中，ADC=30 DAB=45 -30 15. sin15 =sin(45 -30 )= 4 26 . 在ABD中，由正弦定理，得 ADB AB DAB BD sinsin , BD= 2 1 4 26 100 30sin 15sin100 =50(26) （米） . 12. 在灯塔上面相距50 米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45和 60，试计算该渔船离 灯塔
19、的距离. 25（3+1） （米） 设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45和 60 可知CBD=30，BAC=45+90=135, 14 ACB=180-135 -30 =15, 又AB=50, 在ABC中，由正弦定理，得 30sin15sin ACAB , AC= 4 26 2 1 50 15sin 30sinAB 25（26） （米） . 出事渔船离灯塔的距离CD= 1325 2 22625 2 2 AC ( 米). 13. 甲船在A处遇险， 在甲船西南10 海里B处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15 的方向，以每小时9 海里的速度向某岛靠近. 如果乙船要在
20、40 分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向 何方向航行？（注：sin21 47= 14 33 分析解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向. 解析设乙船速度为v海里 / 在ABC BC 2=AC2+AB2-2 ACABcosCAB, 120cos109 3 2 2109 3 2 3 22 22 v, v=21 海里 / 时. 又由正弦定理可知： B AC BAC BC sinsin , sinB= 14 33 120sin 21 3 2 9 3 2 sin BC BACAC , B2147, 即乙船应按北偏东45 2147 23 13的方向航行 . 14.A、B
21、是海平面上的两个点，相距800 m，在 A点测得山顶C的仰角为45，BAD= 120，又在B点测得ABD=45，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD. 15 解析如图，由于CD平面ABD，CAD=45, 所以CD=AD. 因此，只需在ABD中求出AD即可 . 在ABD中，BDA=180 -45-120 =15, 由13800 4 26 2 2 800 15sin 45sin 45sin15sin AB AD， ADAB 得（m ）. CD平面ABD，CAD=45 CD=AD=800（3+1） 2 186 （m ）. 答：山高CD为 2 186 m. 15. 如图所示，海中一小岛周围3.8 n
22、 mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75东 . 船行 8 n mile后，望见此岛在北60东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险. 解析在ABC中，AC=8，ACB=90+60=150, CAB=90-75 =15 , ABC=15 . ABC为等腰三角形，BC=AC=8，在BCD中，BCD=30,BC=8, BD=BCsin30 =43.8. 故该船没有触礁危险. 16. 如图所示，A、B两个小岛相距21n mile,B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9n mile/h的 速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开B岛向南偏东60方向行驶，问行驶多少时间后， 两船相距最近，并求出两船的最近距离. 解析行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile 到达C处，乙船行驶了6tn mile 到达D处. 当 9t321. 当t 3 7 时，BC=9t-21, 则CD 2=(9 t-21) 2 +(6t) 2 -2 （ 9t-21 ） 6tcos60 63t 2- 252t+441=63(t- 2) 2 +189189. 综上可知，t=2 时，CD取最小值321，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.