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1、1 3 第 1 课时距离和高度问题 知能目标解读 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离. 2. 学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题. 3. 深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问 题的能力 . 重点难点点拨 重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法. 难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题. 学习方法指导 1. （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称. 理清 量与量之间的关系. (2) 将三角形的解还原为实际问题，注
2、意实际问题中的单位、近似计算要求. 2. 正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等. 3. （1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条 边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法. （2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长 的问题 . 然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理 解决 . 知能自主梳理 实际问题中的 1. 方位角：从指北方向 时针转到目标方向的水平角 . 如图
3、 (1) 所示 . 2 2. 方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角. 北偏东 ，即由指北方向旋转 到达目标方向，如图（2）. 北偏西 ，即是由指北方向旋转 到达目标方向. 3. 基 线 ： 在 测 量 上 ， 我 们 根 据 测 量 的 需 要 适 当 确 定 的 线 段 叫 做 基 线 . 一 般 来 说 ， 基 线 越，测量的精确度越高. 4. 测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法 解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的 . 5. 仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线 时
4、，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图. 答案1. 2. 顺时针 3. 4. 正弦定理 5. 上方 思路方法技巧 命题方向测量高度问题 例 1如图，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔AB的仰角分别是AMB= 30，ANB=45APB=60，且MN=PN=500m ，求塔高 . 3 分析解题的关键是读懂立体图形. 解析设AB高为x. AB ABM, ABN, ABP均为直角三角形， BM=x cot30 3x,BN=xcot45 x, BP=xcot60 = 3 3 x. 在MNB中, BM 2=MN2+BN2-2 MNBNcosMNB, 在PNB BP 2=NP2+BN2-2 NPBNc
5、osPNB, 又BNM与PNB互补，MN=NP=500 3x 2=250000+x2-2 500xcos MNB， 3 1 x 2=250000+x2-2500xcos PNB， +，得 3 10 x 2=500000+2x2, x=250 6. 答：塔高2506m. 说明在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般 把解出答案还原到实际问题中. 还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想. 变式应用1 如图，在塔底B处测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB=20m， 求山高DC（精确到0.1m）. 4 分析如图，DC在
6、 RtBCD中，DBC=60，只需求出边BC的长，即可求出DC，而BC又在斜 三角形ABC中，依据条件由正弦定理可求出BC. 解析由已知条件，得DBC=60, ECA=45, 则在ABC中，ABC=90- 60=30,ACB=60-45 =15, CAB=180- （ABC+ACB）=135. 在ABC中， 15sin135sin ABBC . BC= 1320 26 4 1 2 2 20 15sin 135sinAB . 在 RtCDB中，CD=BCsin CBD=20(3+1) 2 3 47.3. 答：山高约为47.3m. 命题方向测量距离问题 例 2要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸
7、边选取相距1003米的C 、D两点，并测得 ACB=75, BCD=45 , ADC=30, ADB=45（A、B、C 、D在同一平面内） ，求A、B两地的距离 . 分析此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依 次解哪几个三角形才较为简便. 解析如图所示，在ACD中，CAD=180- （120+30） =30, AC=CD=1003. 在BCD中，CBD=180- （ 45+75） =60. 由正弦定理 , 得 BC=75sin200 60sin 75sin3100 . 在ABC中，由余弦定理, 5 AB 2=（100 3） 2+（200sin75 ) 2
8、 -21003200sin75 cos75 =100 2(3+4 150sin32 2 150cos1 )=100 25, AB=1005. 答：A、B两地间的距离为1005米. 说明（1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解， 如本题选择的是BCD和ABC. （2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理， 其中AB可视为基线 . （3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD. 在测量过程中，要根据实 际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. 一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
9、变式应用2 如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转 角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A的方位角是65. 问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？ 分析根据所给图形可以看出，在ABC中，已知BC是半小时路程， 只要根据所给的方位角数据， 求出ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的长 . 解析在ABC中，BC=40 2 1 =20, ABC=140-110 =30, ACB=(180 -140)+65 =105, A=180-(30 +105)=45, 由正弦定理，
10、得AC= A ABCBC sin sin =210 45sin 30sin20 (km). 答：货轮到达C点时与灯塔A的距离是102 km. 探索延拓创新 命题方向综合应用问题 例 3如下图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线 航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20 海里 . 当甲船航行 6 20 分钟到达A2处时， 乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 2海里， 问乙船每小 分析甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可 . 连结 A1B2，转化为在A1B1
11、B2中已知两边及夹角求对边的问题. 解析如上图，连结A1B2 A2B2=102 A1A2= 60 20 302=102. A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=105-60 =45. 在A1B2B1中，由余弦定理得 B1B2 2=A 1B1 2+A 1B2 2-2 A1B1A1B2cos45 =20 2+(10 2) 2-2 2010 2 2 2 =200, 则B1B2=102. 因此乙船的速度的大小为 20 210 60=302. 即乙船每小时航行302海里 . 说明仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题 纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键. 变
12、式应用3 海中有小岛A，已知A岛四周 8 海里内有暗礁 . 今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75， 航行 202海里后见此岛在北偏东30. 如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？ 7 如图所示，要判断有无触焦危险，只要看AD的长与 8 的大小，若AD8，则无触礁危险， 否则有触礁危险. 解析如图所示，作ADBC的延长线于D 由已知NBA=75, ACD=60,BC=202. 由正弦定理，得 12015180sin 220 15sin AC AC=10(6- 2), AD=ACsin60 =152-568. 无触礁危险. 说明本题中理解方位角是解题的关键. 北偏东 75是指以正北方
13、向为始边，顺时针方向转75. 名师辨误做答 例 4某观测站C在城A的南偏西 20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在 C处测得公路上B处有一人，距C为 31 千米，正沿公路向A城走去，走了20 千米后到达D处，此时CD间 的距离为21 千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？ 误解本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城 ， 即 求 AD 在ACD中，已知CD=21 CAD=60，只需再求出一个量即可. 如图，设ACD=, CDB=, 在CBD中，由余弦定理，得 cos= 7 1 21202 312120 2 222222 CDBD CBCDBD ， sin =
14、 7 34 . 在ACD中， AC 2 3 21 60sin 21 180sin AC= .24 7 34 3 221 CD 2=AC2 +AD 2-2 ACADcos60 即 21 2242+AD2-2 24 2 1 AD 整理，得AD 2-24 AD+135=0, 解得AD=15 或AD=9 答：这个人再走15 千米或 9 千米就可到达A城. 辨析本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解. 8 正解如图，令ACD=, CDB=, 在CBD中，由余弦定理得 cos= CDBD CBCDBD 2 222 7 1 21202 312120 222 sin = 7 34
15、 . 又 sin =sin( -60 ) sin cos60-sin60 cos = 7 34 2 1 + 2 3 7 1 14 35 在ACD中， sin60sin 21AD , AD= 60sin sin21 =15( 千米 ). 答：这个人再走15 千米就可以到达A城. 课堂巩固训练 1. 如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ( ) A.a和cB.c和b C.c和D.b和 答案D 解析在ABC中，能够测量到的边和角分别为b和. 2. 如图所示，D 、C、B在地平面同一直线上，DC10m ，从D 、C两地测得A点的仰角分别为30和 45， 则A点离地面的高A
16、B等于 ( ) 9 A.10m B.53m C.5(3-1)m D.5（3+1）m 答案D 解析在ABC AD=1310 15sin 135sin10 在 RtABC中，AB=ADsin30 =5(3+1)(m). 3.(2012 福州高二质检) 如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 ( ) A.,a,bB.,a C.a,b,D.,b 答案C 解析根据实际情况，、都是不易测量的数据，而a,b可以测得，角 也可以测得，根据余弦定 理AB 2=a2+b2-2 abcos 能直接求出AB的长，故选C. 4.(2011上海理， 6) 在相距 2 千米的A、B两点处测量
17、目标点C，若CAB=75, CBA= 60，则A 、C两点之间的距离为千米 . 答案6 解析本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正 弦定理求其它两边. CAB=75 , CBA=60, C=180-75 -60=45, 由正弦定理： C AB CBA AC sinsin , 45sin 2 60sin AC , AC=6. 5. 某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的 塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C 的仰角分别为60和 45，又知AB的长为 40 米，斜坡与水平面成 30角，则该转播塔的高度是米
18、. 10 答案 3 340 解析如图所示， 由题意，得ABC=45-30 15, DAC=60-30 =30. BAC=150, ACB=15, AC=AB=40 米，ADC=120, ACD=30 , 在ACD CD= ADC ACD sin sin AC 120sin 30sin 40 3 340 . 6. 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB= 45, CBA=75,AB=120 米，求河的宽度. 解析如图， 在ABC中，CAB=45，CBA=75 ACB=60 . 由正弦定理，得 AC= 60sin 75sin120 sin sin ACB CB
19、AAB 11 20（362）. 设C到AB的距离为CD 则CD=ACsin CAB= 2 2 AC=20（3+3）. 答：河的宽度为20（3+3）米 . 课后强化作业 1. 学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为 4m,A=30, 则其跨度AB的长为（） A.12m B.8m C.33m D.43m 答案D 解析在ABC中，已知可得 BC=AC=4, C=180-30 2120 所以由余弦定理得 AB 2=AC2+BC2-2 ACBCcos120 =4 2+42-2 4 4（ - 2 1 )=48 AB=43 (m). 2. 从塔顶处望地面A处的俯角为30, 则从A处望塔顶
20、的仰角是 ( ) A.-60 B.30 C.60D.150 答案B 3. 海上有A、B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成 60的视角，从B岛望C岛和A岛成 75 的视角，则B、C间的距离是 ( ) A.10 3海里 B.10 6 C.52海里D.56海里 答案D 解析如图，由正弦定理得 45sin 10 60sin BC BC=56. 4. 某人向正东方向走xkm后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好3km，那么 12 x的值为（ A. 3B.23 C.23或3D.3 答案C 解析由题意画出三角形如下图. 则ABC=30, 由余弦定理得，cos30= x x
21、6 39 2 , x=23或3. 5. 甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km ，甲船以 8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以 12km/h 的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15 分钟时，两船的距离是 （ A. 7 km B. 13km C. 19km D.3310 km 答案B 解 析 由 题 意 知AM=83 60 15 122 60 15 ，BN，MB=AB-AM=3-2=1 ， 所 以 由 余 弦 定 理 得 MN 2=MB2+BN2-2 MBBNcos120=1+9-2 1 3(- 2 1 )=13，所以MN=13km. 6. 在 200 米高的山顶上，测得山下
22、一塔顶与塔底的俯角分别为30、 60，则塔高为（） A. 3 400 米B. 3 3400 米 C.2003米D.200 米 答案A 解析如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB=200，ADM=30, ACB=60, BC=200cot60 = 3 3200 ,AM=DMtan30 =BCtan30 = 3 200 . CD=AB-AM= 3 400 . 13 7. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距 20 海里，随后货轮按北偏西30 的方向航行30 分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A.20（2+6）海里 / 时B.20 （6-2）海里 / C.
23、20（6+3）海里 / 时D.20 （6-3）海里 / 时 答案 解析题意可知NMS=45，MNS=105 则MSN=180-105 -45 30. 而MS=20, 在MNS中，由正弦定理得 105sin30sin MSMN ， MN= 4560sin 10 105sin 30sin20 30sin60cos30cos60sin 10 =2610 4 26 10 =10(6-2). 货轮的速度为10(6-2) 2 1 =20(6-2)( 海里 / 时 ). 8. 如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB=45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 米到达S 点，又测得山顶仰角DSB=75，
24、则山高BC为（） A.5002m B.200m C.10002m D.1000m 答案D 解析SAB=45-30 =15, SBA=ABC- SBC=45- （90-75 )=30 , 在ABS中，AB= 30sin 135sinAB = 2 1 2 2 1000 =1 0002, 14 BC=ABsin45 =1 0002 2 2 =1 000 （m ）. 9. 一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上， 15 min 后到 点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是 km.（精确到0.1 km 答案4.2 解析作出示意图
25、如图. 由题意知， AB=24 60 15 =6 ASB=45, 由正弦定理得， 45sin 6 = 30sin BS 可得BS 2 2 2 1 6 =324.2 （km）. 10. 从观测点A看湖泊两岸的建筑物B 、C的视角为60,AB=100m,AC=200m,则B、C相距. 答案1003m 解析在ABC中，由余弦定理得 BC 2=AB2+AC2-2 ABACcosA =100 2+2002-2 100200 2 1 =30000 所以BC 1003m. 11. 甲、乙两楼相距20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、 乙两楼的高分别是. 答案203米，
26、3 340 米 解析如图，依题意有甲楼的高度AB=20tan60 =20 3 ( 米) ，又CM=DB =20 米， 15 CAM=60，所以AM=CMcot60 = 3 320 故乙楼的高度为CD=20 3- 3 320 = 3 340 （米） . 12. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C处向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东 南 15的方向上，行驶15km后到达B处，测得此山顶在东偏南30的方向上，仰角为15，则此山的高 度CD等于km. 答案5（2- 3 解析在ABC中，A=15, C=30-15 =15,得BC=5 15sin 15sin5 sin sin C AAB
27、 . 又CD=BCtan DBC=5tan15 =5tan(45 -30 )= 5(2-3). 13. （ 2012厦门高二检测）海面上相距10 海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45方向上，两船同 时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了80 分钟后两船同时到达C岛，经测 算，A船行驶了107海里，求B船的速度 . 解析如图所示，在ABC中，AB10，AC=107, ABC=120由余弦定理，得 AC 2=BA2+BC2-2 BABCcos120 即 700100BC 2+10BC , BC=20, 设B船速度为v, 则有v= 3 4 20 =15(海里 / 小时 ).
28、 即B船的速度为15 海里 / 小时 . 14. 在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45，前进 200 米到达B处，测得此时的仰角为60，小明身高1.8 米，试计算红灯笼的高度（精确到1m ）. 解析由题意画出示意图（AA表示小明的身高）. 16 AB=200, CAB=45, CBD=60, 在ABC中， 45sinsin CB BCA BA BC= 15sin 45sinBA =13200 4 26 2 2 200 . 在 RtCDB中， CD =BC sin60 =100(3+3), CD=1.8+100(3+3) 475( 米). 答：红灯笼
29、高约475 米. 15. 山上有一纪念塔，不能到达底部，你有哪些方法测量塔的高度PO? 解析如图 (1) ，在地面上引一条基线AB，使其延长线通过塔底点O，测出A、B分别对塔顶P的仰角 、及AB的长度就可以求出塔高PO. 计算方法：在PAB中，由正弦定理得 PA sin AB sin , 在 RtPAO中，PO=PAsin PO= sin sinsinAB . 16. 在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业， “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号” 20 海里的B处. 现在“白云号”以每小时10 海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8 海 里的速度由A处向南偏西60方
30、向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近. 解析如右图，设经过t 小时， “蓝天号”渔轮行驶到C处， “白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天 号”和“白云号”两船的距离为CD. 则根据题意，知在ABC中，AC=8t ，AD=20-10t,CAD=60. 由余弦 定理，知 17 CD 2=AC2+AD2-2 ACADcos60 （ 8t ） 2+(20-10t) 2-2 8t （ 20-10t ） cos60 244t 2-560t+400=244(t- 61 70 ) 2+400-244 （ 61 70 ） 2 当t= 61 70 时，CD 2 取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.