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1、- 2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 一、选择题：本大题共12 小题。每小题5 分 . 2 （ 1）已知集合A 1， 2， 3， B x | x 9 ，则 A B （ A） 2， 1， 0，1， 2， 3 （ B） 2， 1， 0， 1， 2 （ C） 1 ， 2， 3 （ D）1 ， 2 （2）设复数z 满足z i 3 i ，则 z = （A ）1 2i （B ）1 2i （ C）3 2i （ D ）3 2i (3) 函数 y =Asin( x ) 的部分图像如图所示，则 （A ）y 2sin(2x ) （B）y 2sin(2x ) 6 3 （C）y 2sin(2 x+) （
2、 D）y 2sin(2 x+ ) 6 3 (4) 体积为8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12 （ B） 32 3 （C）（ D） 2 (5) 设 F 为抛物线C：y =4x 的焦点，曲线y= k x （ k0 ）与 C 交于点P，PF x 轴，则k= （A ） 1 2 （ B） 1 （ C） 3 2 （ D） 2 (6) 圆 x 2 +y 2- 2x- 8y+13=0 的圆心到直线ax+ y- 1=0 的距离为1，则a= （A ） - 4 3 （B） - 3 4 （C）3 （ D） 2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （
3、A ） 20（ B ）24 （C） 28（ D ）32 (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40 秒， 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15 秒才出现绿灯的概率为 （A ） 7 10 （ B ） 5 8 （C） 3 8 （D） 3 10 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图 执行该程序框图，若x=2, n=2, 输入的a 为 2， 2， 5，则输出的s= （A ） 7 （ B） 12 （ C） 17 （D）34 - lgx 的定义域和值域相同的是(10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10 x （ D）y 1
4、 （A ） y=x （B ） y=lg x （ C） y=2 x (11) 函数 f (x) cos 2x 6cos( x) 的最大值为 2 （A ） 4 （B ）5 （ C） 6 （ D） 7 2 (12) 已知函数f(x（) xR）满足 f(x)= f(2-x) ，若函数y=|x -2x-3| 与 y= f(x) 图像的交点 为 （ x1,y1） ， m (x2,y2)，?，（xm,ym），则x i = i 1 (A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m 二填空题：共 4 小题，每小题5 分. (13) 已知向量a=( m,4)， b=(3,-2) ，且 ab，则 m=_. x y
5、1 0 x y 3 0 ，则 z=x-2y 的最小值为 _ (14) 若 x， y 满足约束条 件 x 3 0 （15） ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a，b， c，若 cos 4 A ， 5 5 cos C， a=1， 13 则 b=_ . （16）有三张卡片，分别写有1 和 2，1 和 3， 2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“ 我与乙的卡片上相同的数字不是2” ，乙看了丙的卡片后说：“ 我与丙 的卡片上相同的数字不是1” ，丙说：“ 我的卡片上的数字之和不是5” ，则甲的卡片上的数字 是_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
6、（17） (本小题满分12 分) 等差数列 a 中，a3 a 4 4, a5 a 7 6 n （ I ）求 a 的通项公式； n (II)设bn = a n ，求数列 b n 的前 10 项和，其中x表示不超过x 的最大整数，如 0.9=0,2.6=2 - （18） (本小题满分12 分) 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度 的保费与其上年度出险次数的关联如下： 随机调查了该险种的200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： （ I ）记 A 为事件： “一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A) 的估计值； (II) 记 B 为事件
7、： “一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 ”. 求 P(B)的估计值； （III ）求续保人本年度的平均保费估计值. （19）（本小题满分12 分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与 BD 交于点O，点 E、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ， EF 交 BD 于点H，将DEF 沿 EF 折到D EF 的位置 . （ I ）证明：AC HD ； (II) 若 5 AB 5, AC 6, AE ,OD 2 2 , 4 求五棱锥D ABCEF 体积. （20）（本小题满分12 分） 已知函数f (x) ( x 1)ln x a( x 1). （ I ）当a 4时，
8、求曲线y f (x) 在1, f (1) 处的切线方程； (II) 若当x 1,时，f ( x)0 ，求a 的取值范围. - （21）（本小题满分12 分） 已知 A 是椭圆E： 2 2 x y 4 3 1的左顶点，斜率为k k0 的直线交E 于 A ，M 两点，点N 在 E 上，MA NA. （ I ）当AM AN 时，求AMN 的面积 (II) 当 2 AM AN 时，证明：3 k 2 . 请考生在第2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲 如图， 在正方形ABCD 中， E，G 分别在边DA，DC 上（不与端点
9、重合），且 DE =DG ， 过 D 点作DF CE，垂足为F. （）证明：B， C，G，F 四点共圆； （）若AB=1 ， E 为 DA 的中点，求四边形BCGF 的面积 . （23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为 2 2 (x + 6) + y = 25 . （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （）直线l 的参数方程是 x = t cos , ? ? （ t 为参数），l 与 C 交于A， B 两点，AB = 10 , ? = y t sin , ? 求 l 的斜率 . （24）（本小题满
10、分10 分）选修4-5 ：不等式选讲 已知函数 1 1 f (x) = x -+ x + ， M 为不等式f (x) 2 的解集 . 2 2 （）求M； （）证明：当a，b? M 时，a + b 1+ ab . - 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案 第卷 一. 选择题 （ 1）【答案】 D （ 2）【答案】 C (3) 【答案】A (4) 【答案】A (5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8) 【答案】B (9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B (12) 【答案】B 二填空题 (13)【答案】6 (14)【答案】5 （15）【答案
11、】 21 13 （ 16）【答案】1 和 3 三、解答题 （17） (本小题满分12 分) 【答案】（ ） 2n 3 a ；（） 24. n 5 【解析】 试题分析：( ) 根据等差数列的性质求a1 ，d ，从而求得an ；（）根据已知条件求bn ， 再求数列bn 的前10 项和. 试 题 解 析 ： ( ) 设 数 列 a的 公 差 为d ， 由 题 意 有2a1 5d 4, a1 5d 3 ， 解 得 n - 2 a 1,d ， 1 5 所以 a 的通项公式为 n 2n 3 a . n 5 （）由 ( ) 知 2n 3 b ， n 5 当 n=1,2,3 时， 2n 3 1 2,b 1；
12、n 5 当 n=4,5 时， 2n 3 2 3,b 2 ； n 5 当 n=6,7,8 时， 2n 3 3 4,b 3； n 5 当 n=9,10 时， 2n 3 4 5,b 4 ， n 5 所以数列 b的前10 项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24. n 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】 （18） (本小题满分12 分) 【答案】（ ）由 60 50 200 求 P(A) 的估计值；（ ）由 30 30 200 求 P(B) 的估计值；（ III ）根据 平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析： 试题解析：( ) 事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知
13、，一年内险次数 小于 2 的频率为 60 50 200 0.55 ， 故 P(A) 的估计值为0.55. （）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1 且小于4. 由是给数据知，一年内出险次 数大于1 且小于4 的频率为 30 30 200 0.3 ， 故 P(B) 的估计值为0.3. ( ) 由题所求分布列为： 保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 * - 调查 200 名续保人的平均保费为 - 0.56a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.1
14、0 1.1925a ， 因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】 （19）（本小题满分12 分） 【答案】（ ）详见解析；（） 69 4 . 【解析】 试题分析：（）证AC / / EF.再证AC / /HD （. ）证明OD OH .再证OD 平面ABC. 最后呢五棱锥D ABCEF 体积 . 试题解析：（ I）由已知得，AC BD, AD CD. 又由AE CF 得 AE CF AD CD ，故AC / /EF. 由此得EF HD , EF HD ，所以AC / /HD （II ）由EF / / AC 得 OH AE DO AD 1 4
15、 . 由AB 5, AC 6得 2 2 4. DO BO AB AO 所以OH 1,D H DH 3. 于是 2 2 (2 2) 2 1 2 9 2 , OD OH D H 故OD OH. 由（ I）知AC HD ，又AC BD, BD HD H ， 所以AC 平面BHD , 于是AC OD . 又由OD OH, AC OH O ，所以，OD 平面ABC. 又由 EF DH AC DO 得 EF 9 2 . 五边形ABCFE 的面积 S 1 1 9 69 6 8 3 . 2 2 2 4 所以五棱锥D ABCEF 体积V 1 69 23 2 2 2 . 3 4 2 考点：空间中的线面关系判断，几
16、何体的体积. 【结束】 - （20）（本小题满分12 分） 【答案】（）2x y 2 0.；（）,2 . . 【解析】 试题分析： （）先求定义域，再求f (x) ，f (1) ，f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线 y f (x) 在(1, f (1) 处 的 切 线 方 程 为2x y 2 0. （） 构 造 新 函 数 g( x) ln x a(x 1) x 1 ，对实数a 分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（ I）f ( x) 的定义域为 (0, ) .当a 4时， 1 f ( x) (x1)ln x 4( x 1), f (x) ln x 3 x ，f (1) 2, f (1)
17、0.曲线y f (x) 在(1, f (1) 处的切线方程为2x y 2 0. （II ）当x (1, )时，f (x) 0 等价于 a(x1) ln x 0. x 1 令g( x) ln x a(x 1) x 1 ，则 2 1 2a x 2(1 a)x 1 g (x) ,g (1) 0 2 2 x (x 1) x(x 1) ， （ i ）当a 2，x (1, ) 时， 2 2(1 ) 1 2 2 1 0 x a x x x ，故g (x) 0, g (x) 在 x (1, ) 上单调递增，因此g(x) 0 ； （ii ）当a 2 时，令g ( x) 0得 2 2 x1 a 1 (a 1) 1
18、, x2 a 1 (a 1) 1 ， 由 x2 1和x1x2 1得x1 1，故当x (1,x2) 时，g (x) 0 ，g(x) 在x (1, x2 ) 单调递 减， 因此g(x) 0 . 综上，a 的取值范围是,2 . 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】 （21）（本小题满分12 分） - 【答案】（ ） 144 49 ；（） 3 2, 2 . 【解析】 试题分析：（ ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（ ） 设 Mx1, y1 ，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示x1，从而表 示| AM | ，同理用k 表示| AN |
19、 ，再由2 AM AN 求k . 试题解析：（ ）设 M ( x , y ) ，则由题意知y1 0 . 1 1 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为 ， 4 又A( 2,0) ，因此直线AM 的方程为y x 2 . 将x y 2代入 2 2 x y 4 3 1 得 2 7 y12 y 0， 解得y 0或 12 y ，所以 7 12 y . 1 7 因此AMN 的面积 1 12 12 144 S 2 . AMN 2 7 7 49 （2）将直线AM 的方程y k(x 2)( k0) 代入 2 2 x y 4 3 1 得 2 2 2 2 (3 4k )x 16k x 16k 12 0 . 由
20、 2 16k 12 x ( 2) 1 2 3 4k 得 2 2(3 4k ) x 1 2 3 4k ，故 2 12 1 k 2 | AM | 1 k | x 2 | 1 2 3 4k . 1 y (x2) k ，故同理可得 | AN | 12k 1 k 2 4 3k 2 由题设，直线AN 的方程为 . 由2 | AM | | AN |得 2 k 2 2 3 4k 4 3k ，即 3 2 4k 6k 3k 8 0 . 设 3 2 f (t) 4t 6t 3t 8 ，则k 是f (t) 的零点， 2 2 f (t ) 12t 12t 3 3(2 t1) 0 ， 所以f (t) 在(0, )单调递增
21、，又f ( 3) 15 3 26 0, f (2) 6 0 ， 因此f (t) 在(0, )有唯一的零点，且零点k 在( 3, 2) 内，所以3 k 2 . * - 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】 - 请考生在22、 23、 24 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 做答时请写清 题号 （22）（本小题满分10 分） 选修4-1 ：几何证明选讲 【答案】（ ）详见解析；（） 1 2 . 【解析】 试 题 分 析 ：（ ） 证DGF CBF , 再 证B, C, G, F四 点 共 圆 ；（ ） 证 明 Rt BCG Rt BFG , 四边形BCGF 的面
22、积S 是GCB 面积S GCB 的 2 倍 . 试题解析：（ I）因为DF EC ,所以DEF CDF , DF DE DG 则有GDF DEF FCB, , CF CD CB 所以DGF CBF , 由此可得DGF CBF , 由此 0 CGF CBF 180 , 所以B,C,G,F四点共圆. （II ）由B,C,G, F 四点共圆，CG CB 知FG FB ，连结GB ， 由G 为Rt DFC 斜边CD 的中点，知GF GC ,故Rt BCG Rt BFG , 因此四边形BCGF 的面积S 是GCB 面积S GCB 的 2 倍，即 1 1 1 S 2S 2 1 . GCB 2 2 2 考点
23、：三角形相似、全等，四点共圆 【结束】 （23）（本小题满分10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 - 【答案】（ ） 2 12 cos 11 0；（） 15 3 . 【解析】 试题分析：（ I）利用 2x 2 y 2 ， x cos 可得C 的极坐标方程；（II ）先将直线l 的 参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率 试题解析：（ I）由x cos , y sin 可得C 的极坐标方程 212 cos 11 0. （II ）在（ I）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为( R) 由A,B 所对应的极径分别为 1, 2 , 将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程 得 2
24、 12 cos 11 0. 于是 1 2 12cos , 1 2 11, 2 2 | AB| | | ( ) 4 144cos 44, 1 2 1 2 1 2 由| AB | 10 得 2 3 15 cos , tan 8 3 ， 所以l 的斜率为15 3 或 15 3 . 考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】 （24）（本小题满分10 分） 选修 4 5：不等式选讲 【答案】（ ）M x | 1 x 1；（）详见解析. 【解析】 试题分析：（ I）先去掉绝对值，再分 1 x ， 2 1 1 x 和 2 2 1 x 三种情况解不等式，即 2 可得；
25、 （ II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b 时，a b 1 ab - 1 2x, x , 2 试题解析：（ I） 1 1 f (x) 1, x , 2 2 1 2x, x . 2 当 1 x 时，由f ( x) 2 得2x 2,解得x 1 ； 2 当 11 x 时，f (x) 2 ； 2 2 当 1 x 时，由f (x) 2 得2x 2,解得x 1. 2 所以f (x) 2 的解集M x | 1 x 1. （II ）由（ I）知，当a, b M 时，1 a 1, 1 b 1，从而 2 2 2 2 2 2 2 2 (a b) (1 ab) a b a b 1 (a1)(1 b ) 0 ， 因此|ab | |1 ab |. 考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】