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1、2017-2018 学年北京市昌平区八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共8 小题，共16.0 分） 1.若分式 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A. B. C. D. 2.的相反数是（） A. B. C. D. 3.如图，已知 ACD=60 ， B=20 ，那么 A 的度数是（） A. B. C. D. 4.下列卡通动物简笔画图案中，属于轴对称图形的是（） A. B. C. D. 5.用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x-5=0，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又 进一步进行练习：首先画出数轴
2、，设原点为点O，在数轴上的2 个单位长度的位置找一个点A， 然后过点 A作 AB OA， 且 AB=3 以 点 O 为圆心， OB 为半径作弧，设与数轴右侧交点为点P，则点 P 的位置在数轴上（） A. 1 和 2 之间B. 2 和 3 之间C. 3 和 4 之间D. 4 和 5之间 7.如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个正方形圈出 3 3个位置相邻的9个数 （如 6， 7，8，13，14， 15，20，21，22）如果圈出的9 个数中，最小数x 与最大数的积为 192， 那么根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 8.已知：在Rt ABC 中， C=90 ，BC=1，A
3、C=，点 D 是斜边 AB的中点，点E 是边 AC 上一点，则DE+BE 的最小值为（） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8 小题，共16.0分） 9.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_ 10.若分式的值为 0，则 x 的值为 _ 11.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识 却很淡薄右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开 横平竖直的路的拐角 ABC，而走“捷径AC”，于是在草坪内走 出了一条不该有的“路AC”已知AB=40 米， BC=30 米，他们 踩坏了 _米的草坪，只为少走_米的路 12.计算+|-|=_ 13.在ABC 中，分别
4、以点A 和点 B 为圆心， 大 于 AB的长为半径画弧， 两弧相交于M， N， 作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD如 果 BC=5，CD=2，那么 AD=_ 14.小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线架等，发现了一个现象：一切需要稳固 的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考，数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏 用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为_ 15.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示， AB 为 RtABC 的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE 均为正方形， 四边形 RFHN 是长方形，若BC=3，AC=4，
5、则图中空白部分的面积 是_ 16.阅读下面计算+的过程，然后填空 解： = （ - ）， = （ - ）， = （ - ）， + = （ - ） + （ - ）+ （ - ）+ （ -） = （ - + - + - + -） = （ -） = 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1）+=_； （2）当 + +x= 时，最后一项x=_ 三、计算题（本大题共2 小题，共11.0分） 17.解方程：- =1 18.已知：关于x 的一元二次方程x 2-（2m+3）x+m2+3m+2=0 （1）已知 x=2 是方程的一个根，求m 的值； （2）以这个方程的两个实数根作为 ABC 中 AB、AC
6、（ABAC）的边长， 当 BC= 时，ABC 是等腰三角形，求此时m 的值 四、解答题（本大题共10 小题，共57.0 分） 19.计算： 2 20.如图，已知 ABC （1）画出 ABC 的高 AD； （2） 尺规作出 ABC 的角平分线BE （要求保留作图痕迹， 不用证明） 21.计算：- 22.解方程： x 2-4x=1 23.已知：如图，点A，F，C，D 在同一条直线上，点B 和点 E 在直线 AD 的两侧，且AF=DC， BC FE， A= D 求证： AB=DE 24.先化简，再求值：-，其中 x= 25.列方程解应用题 为促进学生健康成长，切实提高学生健康水平，某校为各班用400
7、 元购进若干体育用品，接着 又用 450 元购进第二批体育用品，已知第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5 倍，且每件体育用品的进价比第一批的进价少5 元，求第一批体育用品每件的进价是多少？ 26.如图， ABC 中， AB=BC， ABC=90 ，F 为 AB延长线上一点，点E 在 BC 上，且 AE=CF （1）求证： ABE CBF； （2）若 CAE=25 ，求 ACF 的度数 27.已知：关于x的方程 mx 2-3（m+1）x+2m+3=0 （ m0 ） （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；
8、（3）若 m 为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？ 28.在等腰 ABC 中， AB=AC， BAC=45 ，CD 是 ABC 的高， P是线段 AC（不包括端点A，C） 上一动点， 以 DP 为一腰， D 为直角顶点 （ D、P、E三点逆时针） 作等腰直角 DPE，连接 AE （1）如图 1，点 P 在运动过程中， EAD=_，写出 PC 和 AE 的数量关系； （2）如图 2，连接 BE如果 AB=4，CP= ，求出此时BE 的长 答案和解析 1.【答案】 C 【解析】 解：由 题意，得 x+30 ， 解得 x -3， 故选： C 根据分式的分母不等于零，可得答案 本题考查了分是有
9、意 义的条件，利用分母不等于零得出不等式是解题关键 2.【答案】 B 【解析】 解：的相反数是 -， 故选： B 根据相反数的意 义，可得答案 本题考查了实数的性 质，在一个数的前面加上 负号就是 这个数的相反数 3.【答案】 A 【解析】 解： ACD=60 ， B=20 ， A= ACD- B=60 -20 =40 ， 故选： A 根据三角形的外角性 质解答即可 此题考查三角形的外角性 质，关键是根据三角形外角性质解答 4.【答案】 D 【解析】 解： A、不是轴对称图形，故本选项错误 ； B、不是轴对称图形，故本选项错误 ； C、不是轴对称图形，故本选项错误 ； D、是轴对称图形，故本选
10、项正确 故选： D 根据轴对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解 本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关 键是寻找对称轴， 图形两部分折叠后 可重合 5.【答案】 D 【解析】 解： x2 -2x-5=0， x 2-2x=5， 则 x 2-2x+1=5+1，即（ x-1）2=6， 故选： D 常数项移到方程的左 边，两 边都加上 1 配成完全平方式即可得出答案 本题主要考 查配方法解一元二次方程的能力，解 题的关键是熟练掌握用配方法解一元 二次方程的步 骤 6.【答案】 C 【解析】 解：由勾股定理得， OB=， 91316， 34， 该点位置大致在数 轴上3和4之间 故选： C 利用勾股
11、定理列式求出OB，再根据无理数的大小判断即可 本题考查了勾股定理，估算无理数的大小，熟记定理并求出 OB 的长是解题的关键 7.【答案】 B 【解析】 解：根据 图表可以得出，圈出的 9 个数，最大数与最小数的差 为 16， 设最小数 为 x， 则最 大数为 x+16， 根据题意得出： x（ x+16） =192， 故选： B 根据日 历上数字 规律得出，圈出的 9 个数，最大数与最小数的差 为 16，以及利用最大数 与最小数的 积为 192，列出方程即可 此题主要考 查了由实际问题 抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差 为16是解题关键 8.【答案】 C 【解析】 解：作B 关
12、于 AC 的对称点 B， 连接 BD ， ACB=90 ， BAC=30 ， ABC=60 ， AB=AB ， ABB 为等边三角形， BE+DE=DE+EB 为 B与直线 AB 之间的连接线段， 最小值为 B到 AB 的距离 =AC=， 故选： C 作 B 关于 AC 的对称点 B， 连接 BD ，易求 ABB=60， 则 AB=AB ，且 ABB为等边三 角形，BE+DE=DE+EB 为 B与直线 AB 之间的连接线段，其最小值为 B到 AB 的距离 =AC=，所以最小值为 本题考查的是最短 线路问题及等边三角形的性 质，熟知两点之间线段最短的知 识是解 答此题的关键 9.【答案】 x3
13、【解析】 解：由 题意得，3-x0 ， 解得 x3 故答案为： x3 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解 本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 10.【答案】 2 【解析】 解：由分式的值为零的条件得， 由 2x-4=0，得x=2， 由 x+10 ，得x -1 综上，得x=2，即x 的值为 2 故答案 为： 2 根据分式的 值为零的条件可以得到，从而求出 x 的值 本题考查了分式的值为零的条件若分式的值为零，需同时具备两个条件：（ 1）分子为0； （ 2）分母不 为 0 这两个条件缺一不可 11.【答案】 50 20 【解析】 解：在Rt ABC 中， AB=40 米， BC=3
14、0 米， AC= =50， 30+40-50=20， 他们踩坏了 50米的草坪，只为少走 20米的路 故答案 为 50， 20 根据勾股定理求出AC 即可解决 问题 本题考查勾股定理，解题的关键是理解 题意，属于中考基础题 12.【答案】 3 【解析】 解：原式 =2+=3， 故答案 为： 3 原式利用二次根式性 质，以及绝对值的代数意义计算即可求出值 此题考查了实数的性 质，熟 练掌握各自的性 质是解本 题的关键 13.【答案】 3 【解析】 解：由作 图步骤可得： MN 垂直平分 AB， 则 AD=BD ， BC=5， CD=2， BD=AD=BC-DC=5-2=3 故答案为： 3 直接利
15、用基本作 图方法得出 MN 垂直平分 AB， 进而得出答案 此题主要考 查了基本作 图，正确得出 MN 垂直平分 AB 是解题关键 14.【答案】 三角形具有稳定性 【解析】 解：用三角形稳固它们是因为三角形具有 稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 直接利用三角形具有 稳定性得出答案 此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有 稳定性是解题关键 15.【答案】 60 【解析】 解：如 图，在Rt ABC 中， BC=3， AC=4， 则根据勾股定理得到AB= =5 延长 CB 交 FH 于 O， 四边形 ABGM ， APQC， BCDE 均为正方形， BG=AB=GM， ACB=AB
16、G=F=H=MGB=90 ，BC DE， BOG= F=90 ， CAB+ ABC=90 ， ABC+ GBO=180 -90 =90 ， CAB= GBO， 在 ACB 和 BOG 中， ， ACB BOG（ AAS）， AC=OB=4， OG=BC=3， 同理可证 MHG GOB， MH=OG=3， HG=OB=4， FR=4+3+4=11， FH=3+3+4=10， S 空白=S 长方形 HFRN-S正方形BCDE-S正方形ACQP-S正方形ABGM =11 10-3 3-4 4-5 5=60， 故答案 为： 60 根据勾股定理求出AB，求出 ACB BOG GHM，求出AC=OB=HG
17、=4， BC=OG=MH=3 ，分 别求出长方形 FHNR，正方形BCDE，正方形 ACQP，正方形ABGM 的面积，即可求出答案 本题考查了正方形性 质，全等三角形的性 质和判定，勾股定理的 应用，关键是求出 长方 形 HFRN 的边长 16.【答案】 【解析】 解：（ 1） + = （ - ） + （ -） = （ -+-） = （ -） = =， 故答案 为： ； （ 2） 设 x= ， 则+=， （ 1-+-+-+- ） = ， （ 1-） =， 1-=， = ， 则 2n+1=13， 解得： n=6， x= ， 故答案为： （ 1）由+= （ -） + （ -） = （ -+-） 计
18、算可得； （ 2） 设 x= ，得+=，裂 项求和得 出 n的值，从而得出答案 本题主要考 查数字的 变化规律、解一元一次方程，解题的关键是掌握裂 项求和的能力 和解一元一次方程的技能 17.【答案】 解：去分母得：x 2-2x+2=x2 -x， 解得： x=2， 检验：当 x=2 时，方程左右两边相等， 所以 x=2 是原方程的解 【解析】 分式方程去分母 转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值， 经检验 即可得到分式 方程的解 此题考查了解分式方程，利用了 转化的思想，解分式方程注意要 检验 18.【答案】 解：（ 1） x=2 是方程的一个根， 4-2（2m+3）+m 2+3m+2
19、=0， m=0 或 m=1； （2） =（2m+3） 2-4（m2+3m+2）=1， =1； x= x1=m+2，x2=m+1， AB、AC（ABAC）的长是这个方程的两个实数根， AC=m+2，AB=m+1 BC=，ABC 是等腰三角形， 当 AB=BC 时，有 m+1=， m= -1； 当 AC=BC 时，有 m+2= ， m=-2， 综上所述，当m=-1 或 m=-2 时， ABC 是等腰三角形 【解析】 （ 1）把x=2代入方程 x2-（ 2m+3） x+m2+3m+2=0得到关于 m的一元二次方程，然后解关于 m 的方程即可； （ 2）先 计算出判 别式，再利用求根公式得到 x1=m
20、+2， x2=m+1， 则 AC=m+2， AB=m+1然 后讨论：当AB=BC 时，有m+1=；当AC=BC 时，有m+2=，再分别解关于 m的一 次方程即可 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的 值是一元 二次方程的解也考 查了等腰三角形的判定 19.【答案】 解：原式 =4 3 =8 3 =24 【解析】 直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案 此题主要考 查了二次根式的乘除运算，正确化 简二次根式是解 题关键 20.【答案】 解：（ 1）如图， AD 即为 ABC 的高 （ 2）如图， BE即为 ABC 的角平分线 【解析】 （ 1）根据过直线外一点作已
21、知直 线的垂线的尺规作图可得； （ 2）根据角平分线的尺规作图可得 本题主要考 查作图-复杂作图，解 题的关键是掌握 过直线外一点作已知直 线的垂线及角 平分线的尺规作图 21.【答案】 解：原式 =- =- = = = 【解析】 先通分变成同分母的分式，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可 本题考查了分式的加减法，能灵活运用法 则进行计算是解此 题的关键，注意： 结果化成 最简分式或整式 22.【答案】 解：配方得x 2-4x+4=1+4， 即（ x-2） 2=5， 开方得 x-2= ， x 1=2+ ， x 2=2- 【解析】 配方法解一元二次方程，解 题时要注意解 题步骤的准确 应
22、用，把左边配成完全平方式， 右边化为常数 此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤： （ 1）形如x2+px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右 边；第二步配方，左右两边加上一 次项系数一半的平方；第三步左 边写成完全平方式；第四步，直接开方即可 （ 2）形如ax2+bx+c=0 型，方程两边同时除以二次 项系数，即化成 x2+px+q=0，然后配方 23.【答案】 证明： BC FE， BCA= DFE AF=DC， AF+FC=DC+CF AC=DF 在 ABC 和DEF 中， ， ABC DEF（ASA） AB=DE 【解析】 根据已知条件得出 ABC DEF，即
23、可得出 AB=DE 本题考查了平行 线的性质，全等三角形的性 质和判定的 应用，关键是根据平行 线的性 质和全等三角形的判定解答 24.【答案】 解：原式 = ?- = ? - =- =- = 当 x= 时， 原式 = 【解析】 根据分式的运算法 则即可求出答案 本题考查分式的运算法 则，解 题的关键是熟练运用分式的运算法 则，本 题属于基础题 型 25.【答案】 解：设第一批体育用品每件的进价是x 元 根据题意，得1.5 =， 解之，得x=20 经检验， x=20 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义 答：第一批体育用品每件的进价是20 元 【解析】 设第一批体育用品每件的 进价是 x 元
24、， 则第一批进的数量是：件，第二批进的数量 是：件，再根据等量关系：第二批进的数量 =第一批 进的数量 1.5可得方程 本题考查了分式方程的 应用 关键是根据等量关系：第二批 进的数量 =第一批 进的数量 1.5列方程 26.【答案】 证明：（ 1）在 Rt ABE 与 Rt CBF 中， ， ABE CBF（HL） （ 2） ABE CBF， BAE= BCF=20 ； AB=BC， ABC=90 ， ACB=45 ， ACF=65 【解析】 （ 1）运用HL 定理直接 证明 ABE CBF，即可解决问题 （ 2） 证明 BAE= BCF=25 ；求出 ACB=45 ，即可解决问题 该题主要
25、考 查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等 或全等关系是解 题的关键 27.【答案】 解：（ 1） 方程有两个相等的实数根， =-3（m+1） 2-4m（2m+3）=0， （m+3） 2=0， m1=m2=-3 （2） mx2-3（m+1）x+2m+3=0，即 mx-（2m+3）（x-1） =0， 解得： x1=1，x2= （3） x1=1、x2= =2+均为正整数，且 m 为整数， =1、-1 或 3 当=1 时， m=3， 当 =-1 时， m=-3， 当 =3 时， m=1 当 m取1、3或-3时，方程的两个根均为正整数 【解析】 （ 1）根据方程的系数结合根的
26、判 别式 =0，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可 得出 m的值； （ 2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出 结论； （ 3）根据（ 2）的结论结合方程的两个根均 为正整数，即可得出 的值，解之即可得出 m 的值 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解分式方程，解 题的关键是： （ 1）牢 记“ 当=0 时，方程有两个相等的 实数根” ；（2）利用因式分解法解方程；（ 3）根据（ 2） 的结论结 合方程的解 为正整数，找出关于 m的分式方程 28.【答案】 45 【解析】 解：（1） PC=AE， EDP= ADC=90 ， ADE+ ADP= ADP+ CDP=9
27、0 ， ADE= CDP， 在 ADE 与 CDP 中， ADE CDP（ SAS）， EAD= PCD=45 ， PC=AE； 故答案 为： 45 ； （ 2）如 图 2， CD AB， ADC=90 BAC=45 ， AD=DC DEP 是等腰直角三角形， EDP=90 ， DEP=DPE=45 ，DE=DP EDP= ADC=90 ， EDP- ADP= ADC- ADP EDA= PDC EDA PDC（ SAS）， AE=PC= EAD= ACD=45 ， 过点 E 作 EF AB 于 F 在 Rt AEF 中，利用勾股定理，可得 EF=AF=1， AB=4， BF=AB-AF=3 BE= = （ 1）根据全等三角形的性质即可得到 结论； （ 2）根据等腰直角三角形的性 质得到 DEP= DPE=45 ， DE=DP根据全等三角形的性 质得到 AE=PC= EAD= ACD=45 ， 过点 E 作 EF AB 于 F根据勾股定理即可得到 结论 本题考查了等腰直角三角形的性 质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等 腰直角三角形的性 质是解题的关键