2019年高考真题——数学(江苏卷)附答案.pdf

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题 )。本卷满分为160 分，考试时 间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答 题卡的规定位置。 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置 作答一律无效。 5如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，

2、线条、符号等须加黑、加粗。 参考公式： 样本数据 12 , n x xx的方差 2 2 1 1 n i i sxx n ，其中 1 1 n i i xx n 柱体的体积 VSh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高 锥体的体积 1 3 VSh，其中 S是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合 1,0,1,6A，|0,Bx xxR，则AB. 2已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是. 3下图是一个算法流程图，则输出的S的值是. 4函数 2 76yxx的定义域是. 5已知一组

3、数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是. 6从 3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有1 名 女同学的概率是. 7在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 经过点（ 3，4)，则该双曲线的渐近线 方程是. 8已知数列 * () n anN是等差数列， n S是其前n 项和 .若 2589 0,27a aaS，则 8 S的值是 . 9如图，长方体 1111 ABCDA B C D的体积是120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是 . 10在平面直角坐标系xOy中， P是曲线 4 (0)yxx

4、x 上的一个动点，则点P到直线 x+y=0 的 距离的最小值是. 11在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是. 12如图，在ABC中， D 是 BC 的中点， E 在边AB 上， BE=2EA，AD 与 CE 交于点O.若 6AB ACAO EC，则 AB AC 的值是. 13已知 tan2 3 tan 4 ，则 sin2 4 的值是. 14设( ), ( )f x g x是定义在R上的两个周期函数，( )f x的周期为 4，( )g x的周期为2，且( )f x是 奇函数 .当2(0

5、,x时， 2 ( )1(1)f xx， (2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x ，其中 k0.若在区 间(0，9上，关于x 的方程( )( )f xg x有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是. 二、解答题：本大题共6小题，共计 90分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15（本小题满分14 分） 在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c （1）若 a=3c，b=2，cosB= 2 3 ，求 c 的值； （2）若 sincos 2 AB ab ，求sin() 2 B的值 16（本小题满分14 分） 如图，在直三棱柱ABCA1

6、B1C1中， D，E分别为 BC，AC的中点， AB=BC 求证：（ 1）A1B1平面 DEC 1； （2）BEC1E 17（本小题满分14 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为F1（ 1、0）， F2（1，0）过 F2作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方， l 与圆 F2: 222 (1)4xya交于点 A，与 椭圆 C交于点 D.连结 AF1并延长交圆F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C于点 E，连结 DF1 已知 DF1= 5 2 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求点 E的坐标 18（本小题满分16 分） 如图，一个湖

7、的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（ AB是圆 O 的直径）规划在公路l 上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA规划要求 :线段 PB、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半径已知点A、B 到直线 l 的距离分别为 AC和 BD（C、D 为垂足），测得AB=10， AC=6，BD=12（单位 :百米） （1）若道路PB与桥 AB垂直，求道路PB的长； （2）在规划要求下，P和 Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）对规划要求下，若道路PB和 QA 的长度均为d（单位：百米）.求当 d 最小时， P、Q 两 点间的距离 19（本小题

8、满分16 分） 设函数( )()()(), ,Rf xxa xbxca b c、( )f x 为 f（x）的导函数 （1）若 a=b=c，f（ 4）=8，求 a 的值； （2）若 ab，b=c，且 f（x）和( )f x 的零点均在集合3,1,3中，求 f（x）的极小值； （3）若0,01,1abc,，且 f（x）的极大值为M，求证 :M 4 27 20（本小满分16 分） 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“M数列” . （1）已知等比数列an * ()nN满足： 245324 ,440a aaaaa，求证 :数列 an为“ M 数列”； （2）已知数列 bn满足 : 1 1 122 1

9、, nnn b Sbb ，其中 Sn为数列 bn的前 n 项和 求数列 bn的通项公式； 设 m 为正整数，若存在“M数列” cn * ()nN，对任意正整数k，当 km 时，都有 1kkk cbc 剟成立，求m 的最大值 数学 ( 附加题 ) 21 【选做题】本题包括A、B、 C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若多 做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 已知矩阵 31 22 A （1）求 A2； （2）求矩阵 A的特征值 . B.选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分） 在极坐标

10、系中，已知两点3,2, 42 AB ，直线 l的方程为sin3 4 . （1）求 A，B两点间的距离；（2）求点 B到直线 l的距离 . C.选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10分） 设 xR ，解不等式| |+|2 1|2xx. 【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分）设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN.已知 2 324 2aa a. （1）求 n的值；（ 2）设(13)3 n ab，其中 * ,a bN ，求 22 3ab 的值

11、. 23.（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xOy中，设点集(0,0),(1,0),(2,0),(,0) n An ， (0,1),( ,1),(0,2),(1 ,2),(2,2),( ,2),. nn BnCnnN 令 nnnn MABC.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离. （1）当 n=1时，求 X的概率分布； 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学答案 一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题 5分，共计 70分. 1.1,62.2 3.5 4.1,75. 5 3 6. 7 10 7.2yx 8.16 9.10 1

12、0.4 11.(e, 1)12.313. 2 10 14. 12 , 34 二、解答题 15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求 解能力 .满分 14分 . 解： （1）因为 2 3 ,2,cos 3 ac bB， 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ，得 222 2(3 )(2) 323 cc cc ，即 21 3 c. 所以 3 3 c. （2）因为 sincos 2 AB ab ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，得 cossin 2 BB bb ，所以cos 2sinBB. 从而 22 cos(2sin)BB，即 2

13、2 cos4 1cosBB，故 24 cos 5 B. 因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而 2 5 cos 5 B. 因此 2 5 sincos 25 BB. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象 能力和推理论证能力.满分 14 分. 证明：（1）因为 D，E分别为 BC，AC的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为 ED? 平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC ， E为 AC的中点，所以BE AC. 因

14、为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC 1平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C1C? 平面 A1ACC 1，AC? 平面 A1ACC1 ，C 1CAC=C， 所以 BE 平面 A1ACC1. 因为 C1E? 平面 A1ACC 1，所以 BEC1E. 17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关 系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分 14 分. 解： （1）设椭圆C的焦距为2c. 因为 F1(1，0)，F2(1，0)，所以 F1F2=2，c=1. 又因为 DF1= 5 2 ，AF

15、2x 轴，所以DF2= 2222 112 53 ()2 22 DFF F， 因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2. 由 b 2=a2-c2，得 b2=3. 因此，椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy . （2）解法一： 由（ 1）知，椭圆 C： 22 1 43 xy ，a=2， 因为 AF2x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将 x=1 代入圆 F2的方程 (x-1) 2 +y 2=16，解得 y=4. 因为点 A 在 x 轴上方，所以A(1，4). 又 F 1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2. 由 22 () 22 116 yx xy ，得 2 56110xx， 解得1x

16、或 11 5 x. 将 11 5 x代入 22yx ，得 12 5 y， 因此 1112 (,) 55 B.又 F2(1，0)，所以直线BF2： 3 (1) 4 yx. 由 22 1 43 3 (1) 4 x yx y ，得 2 76130xx，解得1x或 13 7 x. 又因为 E是线段 BF2与椭圆的交点，所以 1x . 将 1x 代入 3 (1) 4 yx，得 3 2 y.因此 3 ( 1,) 2 E. 解法二： 由（ 1）知，椭圆C： 22 1 43 xy .如图，连结EF1. 因为 BF 2=2a，EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB ， 从而 BF1E =B. 因为 F2A=F

17、2B，所以 A=B， 所以 A=BF1E，从而 EF1F2A. 因为 AF2x 轴，所以EF1 x 轴. 因为 F1(-1，0)，由 22 1 43 1x xy ，得 3 2 y. 又因为 E是线段 BF2与椭圆的交点，所以 3 2 y. 因此 3 ( 1,) 2 E. 18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及 运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16分 . 解：解法一： （1）过 A作AEBD，垂足为 E. 由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6,8DEBEACAECD. 因为 PBAB， 所以 84 cossin 105 PBDAB

18、E. 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD . 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，由（ 1）可得 E在圆上，则线段BE上的点（除 B，E）到点 O的距离均小于圆O 的半径，所以P选在 D处不满足规划要求. 若 Q在D处，连结 AD，由（ 1）知 22 10ADAEED， 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB ，所以 BAD为锐角 . 所以线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 . 因此， Q选在 D处也不满足规划要求. 综上， P和Q均不能选在 D处. （3）先讨论点 P的位置 . 当 OBP 90 时，在 1 P

19、PB中， 1 15PBPB. 由上可知， d15. 再讨论点 Q的位置 . 由（ 2）知，要使得QA15 ，点 Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当 QA=15时， 2222 1563 21CQQAAC.此时，线段 QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的 半径 . 综上，当PB AB，点 Q位于点 C右侧，且CQ=3 21时， d最小，此时P， Q两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3 21. 因此， d最小时， P， Q两点间的距离为17+3 21（百米） . 解法二： （1）如图，过 O作 OHl，垂足为 H. 以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系. 因为 BD

20、=12，AC=6，所以 OH=9，直线 l的方程为 y=9，点 A，B的纵坐标分别为3， - 3. 因为 AB为圆 O的直径， AB=10，所以圆 O的方程为 x2+y2=25. 从而 A（4，3）， B（- 4，- 3），直线 AB的斜率为 3 4 . 因为 PBAB，所以直线 PB 的斜率为 4 3 ， 直线 PB的方程为 425 33 yx. 所以 P（- 13，9）， 22 ( 134)(93)15PB. 因此道路 PB的长为 15（百米） . （2）若 P在D处，取线段 BD上一点 E（-4，0），则 EO=490 时，在 1 PPB中， 1 15PBPB. 由上可知， d15. 再

21、讨论点 Q的位置 . 由（ 2）知，要使得 QA 15，点 Q只有位于点 C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设 Q（a， 9），由 22 (4)(93)15(4)AQaa，得 a=43 21，所以 Q（43 21，9）， 此时，线段 QA上所有点到点 O的距离均不小于圆O的半径 . 综上，当 P（- 13，9）， Q（43 21，9）时， d最小，此时 P，Q两点间的距离 43 21( 13)173 21PQ. 因此， d最小时， P， Q两点间的距离为173 21（百米） . 19本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及 逻辑推理能力满分16

22、分 解：（ 1）因为abc，所以 3 ( )()()()()f xxaxbxcxa 因为(4)8f，所以 3 (4)8a，解得2a （2）因为bc， 所以 2322 ( )()()(2 )(2)f xxaxbxab xbab xab， 从而 2 ( )3() 3 ab f xxbx 令( )0f x，得xb或 2 3 ab x 因为 2 , , 3 ab a b ，都在集合 3,1,3中，且ab， 所以 2 1,3,3 3 ab ab 此时 2 ( )(3)(3)f xxx，( )3(3)(1)f xxx 令( )0f x，得3x或1x列表如下： x(, 3) 3 ( 3,1)1 (1,) (

23、 )f x+ 0 0 + ( )f x极大值极小值 所以( )f x的极小值为 2 (1)(13)(13)32f （3）因为0,1ac，所以 32 ( )()(1)(1)f xx xbxxbxbx， 2 ( )32(1)f xxbxb 因为01b，所以 22 4(1)12(21)30bbb， 则( )f x有2个不同的零点，设为 1212 ,x xxx 由( )0f x，得 22 12 1111 , 33 bbbbbb xx 列表如下： x 1 (,)x 1 x 12,x x2 x 2 (,)x ( )f x+ 0 0 + ( )f x极大值极小值 所以( )f x的极大值 1 Mfx 解法一

24、： 32 1111 (1)Mfxxbxbx 2 21 111 21 1(1) 32(1) 3999 bb xbb b xbxbx 2 3 2 21 (1) (1)2 1 27927 bbb b b bb 2 3(1)2(1) (1)2 (1)1) 272727 b bbb b b (1)24 272727 b b 因此 4 27 M 解法二： 因为01b，所以 1 (0,1)x 当(0,1)x时， 2 ( )()(1)(1)fxx xbxx x 令 2 ( )(1) ,(0,1)g xx xx，则 1 ( )3(1) 3 g xxx 令( )0g x，得 1 3 x列表如下： x 1 (0,)

25、 3 1 3 1 (,1) 3 ( )g x+ 0 ( )g x 极大值 所以当 1 3 x时，( )g x取得极大值，且是最大值，故 max 14 ( ) 327 g xg 所以当(0,1)x时， 4 ( )( ) 27 f xg x，因此 4 27 M 20本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与 化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分16分 解：（ 1）设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0. 由 245 321 440 a aa aaa ，得 244 11 2 111 440 a qa q a qa qa ，解得 1 1 2 a

26、 q 因此数列 n a 为“ M数列” . （2）因为 1 122 nnn Sbb ，所以0 n b 由 111 1,bSb得 2 122 11b ，则 2 2b. 由 1 122 nnn Sbb ，得 1 1 2() nn n nn b b S bb ， 当2n时，由 1nnn bSS，得 11 11 22 nnnn n nnnn b bbb b bbbb ， 整理得 11 2 nnn bbb 所以数列 bn是首项和公差均为 1的等差数列 . 因此，数列 bn的通项公式为 bn=n * nN. 由知， bk=k， * kN. 因为数列 cn为“M 数列 ” ，设公比为 q，所以 c1=1，q

27、0. 因为 ck bk ck+1，所以 1kk qkq，其中 k=1，2，3， m. 当k=1时，有 q1； 当k=2，3， m时，有 lnln ln 1 kk q kk 设f（ x）= ln (1) x x x ，则 2 1ln ( ) x f x x 令 ( )0f x ，得 x=e.列表如下： x (1,e) e (e，+) ( )f x + 0 f（x） 极大值 因为 ln2ln8ln9ln 3 2663 ，所以 max ln 3 ( )(3) 3 f kf 取 3 3q，当 k=1，2，3， 4，5时， ln ln k q k ,，即 k kq， 经检验知 1k qk也成立 因此所求

28、 m的最大值不小于5 若m6 ，分别取 k=3， 6，得 3 q 3，且 q56 ，从而 q15 243 ，且 q15 216 ， 所以 q不存在 .因此所求 m的最大值小于6. 综上，所求 m的最大值为 5 数学 ( 附加题 )参考答案 21【选做题】 A选修 42：矩阵与变换 本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解：（ 1）因为 31 22 A ， 所以 2 3131 2222 A = 3 3 1 23 1 1 2 232 22 12 2 = 115 106 （2）矩阵 A的特征多项式为 2 31 ( )54 22 f. 令 ( )0f ，解得 A的特征

29、值 12 1,4. B选修 44：坐标系与参数方程 本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分10分 解：（ 1）设极点为 O.在 OAB中， A（3， 4 ）， B（ 2 ， 2 ）， 由余弦定理，得AB= 22 3(2)232cos()5 24 . （2）因为直线 l的方程为sin()3 4 ， 则直线 l过点(3 2,) 2 ，倾斜角为 3 4 又( 2,) 2 B，所以点 B到直线 l的距离为 3 (3 22)sin()2 42 . C 选修 4 5：不等式选讲 本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力满分10分 解：当 x2，即 x 1 2 时

30、，原不等式可化为x+2x 12，解得 x1. 综上，原不等式的解集为 1 |1 3 x xx或. 22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能 力，满分 10分 解：（ 1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn nn aa， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2(1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn ， 解得5n （2）由（ 1）知，5n 5 (13)(13

31、) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一： 因为 * ,a bN，所以 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab ， 从而 2222 3763 4432ab 解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为 * ,a bN，所以 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab 23【必做题】本小题主要考

32、查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查 逻辑思维能力和推理论证能力满分10分 解：（1）当1n时，X的所有可能取值是1225， ， X的概率分布为22 66 7744 (1),(2) C15C15 P XP X ， 22 66 2222 (2),(5) C15C15 P XP X （2）设()A a b，和()B cd，是从 n M中取出的两个点 因为 ()1()P XnP Xn ，所以仅需考虑Xn的情况 若b d，则ABn，不存在Xn的取法； 若01bd，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此 时0acn，或0anc，有 2 种取法； 若02bd，则 22 ()44ABacn ，因为当3n时， 2 (1)4nn ， 所以Xn当且仅当 2 4ABn ，此时0acn，或0anc，有 2 种取法； 若 12bd， ，则 22 ()11ABacn ，所以Xn当且仅当 2 1ABn ，此 时0acn，或0anc，有 2 种取法 综上，当Xn时， X 的所有可能取值是 2 1n 和 2 4n ，且 22 22 2424 42 (1),(4) CC nn P XnP Xn 因此， 22 2 24 6 ()1(1)(4)1 C n P XnP XnP Xn