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1、1 专题三数列 第二讲数列求和及综合应用 2转化法 有些数列， 既不是等差数列， 也不是等比数列， 若将数列通项拆 开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和， 然后再合并 3错位相减法 这是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法 主要用于求数列 anbn的前 n项和，其中 an，bn分别是等差数列 和等比数列 4倒序相加法 这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一 2 个数列倒过来排列 (反序)，把它与原数列相加，若有公式可提，并且 剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和 5裂项相消法 利用通项变形， 将通项分裂成两项或几项的差，通过
2、相加过程中 的相互抵消，最后只剩下有限项的和 1应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉 及面广，因此要解好应用题， 首先应当提高阅读理解能力，将普通语 言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题， 然后再用 数学运算、数学推理予以解决 2数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉 及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决此类 题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公 式或前 n 项和公式求解 3解应用问题的基本步骤 3 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果数列 an为等比数列，且公比不等于1，则其前 n
3、项和 Sn a1an1 1q .() (2)当 n2 时， 1 n 21 1 2 1 n1 1 n1 .() (3)求 Sna2a 23a3, nan之和时只要把上式等号两边 同时乘以 a 即可根据错位相减法求得() (4)数列 1 2n2n1 的前 n项和为 n 2 1 2n.() (5)若数列 a1，a2a1，, ， anan1是首项为 1，公比为 3 的等 比数列，则数列 an的通项公式是 an 3n1 2 .() (6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可 求 得sin 21 sin22 sin23 , sin 288 sin289 44.5.() 1(2015 福建卷
4、 )若 a，b是函数 f(x)x2pxq(p0，q0)的两 个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也 可适当排序后成等比数列，则pq的值等于 (D) 4 A6B7 C8D9 解析： 不妨设 ab，由题意得 abp0， abq0， a0，b0， 则 a，2，b 成等比数列， a，b，2 成等差数列， ab（ 2） 2， a22b， a4， b1， p5，q4， pq9. 2(2015 新课标 卷)设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若 a1 a3a53，则 S5(A) A5 B7 C9 D11 解析： 解法一 a1a52a3， a1a3a53a33， a3 1， S5
5、 5（a1a5） 2 5a35，故选 A. 解法二 a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3， a12d1， S55a1 54 2 d5(a12d)5，故选 A. 3在数列 an中，an n（n1） 2 ，则： (1)数列an的前 n项和 Sn_ ； (2)数列Sn的前 n 项和 Tn_ 5 解析：(1)ann（n1） 2 n（n1）（n2）（ n1） 6 1 6 n（n1）（n2）（ n1）n（n1） Sn 1 6(123012)(234123)(345 2 3 4) ,n(n 1)(n2) (n 1)n (n 1) n（n1）（n2） 6 . (2)Snn（n1）（n2） 6
6、n（n1）（n2）（n3）（ n1） 24 1 24n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2) Tn 1 24(12340123)(2345123 4),n(n1)(n2)6(n3)(n1)n(n1)(n 2) n（n1）（n2）（n3） 24 . 答案： (1)n（n1）（n2） 6 (2)n（n1）（n2）（n3） 24 4(2015 江苏卷 )设数列 an满足a11，且an1ann 1(nN * )，则数列 1 an前 10 项的和为 _ 解析：由题意有 a2a12，a3a23，, ，anan1n(n2) 以上各式相加，得 6 ana123, n（n1）（2n） 2 n2n2
7、2 . 又 a11， ann 2n 2 (n2) 当 n1 时也满足此式，an n2n 2 (nN *) 1 an 2 n 2n2(1 n 1 n1) S102(1 1 1 2 1 2 1 3, 1 10 1 11 ) 2(1 1 11 )20 11. 答案： 20 11 7 一、选择题 1已知等差数列 an前 n 项和为 Sn，若 a1a2 0121，a2 013 1 006，则使 Sn取最值时 n 的值为 (D) A1 005 B1 006 C1 007 D1 006或 1 007 2设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a111，a3a76， 则当 Sn取最小值时， n(D) A9
8、 B8 C7 D6 3等比数列 an前 n 项的积为 Tn， 若 a3a6a18是一个确定的常数， 那么数列 T10，T13，T17，T25中也是常数的项是 (C) AT10BT13CT17DT25 解析： a3a6a18a1q 2a 1q 5a 1q 17(a 1q 8)3(a 9) 3 为定值 T17a1a2, a17(a1q8)17(a9)17也是定值 4已知等比数列 an满足 an0，n1，2，, ，且a5a2n5 22n(n3)，则当 n1 时，log2a1log2a3, log2a2n1(C) An(2n1) B(n1) 2 Cn 2 D(n1) 2 解析：由 a5 a2n522n
9、(n3)得 a2 n2 2n，a n0，则 an2 n，log 2a1 log2a3,log2a2n113, (2n1)n2.故选 C. 8 5公差不为零的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a4是 a3与 a7的等比中项，S832，则 S10(C) A18 B24 C60 D90 解析： 由 a2 4a3a7，得(a13d) 2(a 12d)(a16d)，得 2a13d 0，再由 S88a156 2 d32，得 2a17d8，则 d2，a13， 所以 S1010a1 90 2 d60.故选 C. 6已知函数 f(x) 2x1，x0， f（x1）1，x0， 把函数 g(x)f(x)x 的
10、零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 (B) Aan n（n1） 2 Bann1 Cann(n1) Dan2n2 解析： 若 00 时，由 (1)知， a121，a222； 当 n2 时，有(22)anS2Sn， (22)an1S2Sn1. 两式相减得 (12)an(22)an1. 所以 an2an1(n2) 所以 ana1( 2) n1( 21)( 2)n1. 令 bnlg 10a1 an ，则 bn1lg( 2)n 11 2lg 100 2n 1. 又 b11，bnbn11 2 lg 100 2n 1lg 100 2 n2 1 2lg 2， 所以数列 bn是以 1 为首
11、项， 1 2lg 2为公差，且单调递减的等差 数列 则 b1b2,b7lg 10 8 lg 10. 12 当 n8 时，bnb8 1 2lg 100 128 1 2lg 10. 所以， n7 时， Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T77（b 1b7） 2 7 21 2 lg 2. 10(2015 北京卷 )已知数列 an满足： a1N * ，a136，且 an1 2an，an18， 2an36，an18(n1，2，, )记集合 Ma n|nN * (1)若 a16，写出集合 M 的所有元素； (2)若集合 M 存在一个元素是3 的倍数，证明： M 的所有元素都 是 3 的倍数； (3)求集合
12、 M 的元素个数的最大值 解析： (1)6，12，24. (2)证明：因为集合 M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak 是 3 的倍数 由 an1 2an，an18， 2an36，an18， 可归纳证明对任意nk， an是 3 的 倍数 如果 k1，则 M 的所有元素都是3 的倍数 如果 k1，因为 ak2ak1或 ak2ak136，所以 2ak1是 3 的 倍数，于是 ak1是 3 的倍数类似可得， ak2，,，a1都是 3 的倍数 从而对任意 n1，an是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是3 的 倍数 综上，若集合 M 存在一个元素是3 的倍数，则 M 的所有元素都 13 是 3
13、 的倍数 (3)由 a136，an 2an1，an118， 2an136，an118， 可归纳证明 an36(n 2，3，,) 因为 a1是正整数，a2 2a1，a118， 2a136，a118， 所以 a2是 2 的倍数 从而当 n3 时，an是 2 的倍数 如果 a1是 3 的倍数，由 (2)知对所有正整数n，an是 3 的倍数 因此当 n3 时，an12，24，36，这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1不是 3 的倍数，由 (2)知对所有正整数n，an不是 3 的倍 数 因此当 n3 时，an4，8，16，20，28，32，这时 M 的元素 个数不超过 8. 当 a11 时，M1，2，4，8，16，20，28，32有 8 个元素 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.