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1、上海市 2017 年中考数学压轴题专项训练 1. （本题满分12 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分4 分，第（ 3）小题满分5 分） 如图，已知抛物线 2 yxbxc经过01A，、43B，两点 . （1）求抛物线的解析式； （2 求tanABO的值； （3）过点B 作 BCx轴，垂足为点C，点 M 是抛物线上一点， 直线 MN 平行于y轴交直线 AB于点 N，如果 M、N、B、C为顶点 的四边形是平行四边形，求点N 的坐标 . 1.解： （1）将 A（0，-1） 、B（4，-3）分别代入 2 yxbxc 得 1, 1643 c bc ， （1 分） 解，得 9 ,1 2 bc
2、(1 分) 所以抛物线的解析式为 2 9 1 2 yxx （1 分） （2）过点 B 作 BCx轴，垂足为C，过点 A 作 AHOB，垂足为点H （ 1 分） 在Rt AOH中，OA=1， 4 sinsin, 5 AOHOBC（1 分） 4 sin 5 AHOAAOH， 322 , 55 OHBHOBOH， （1 分） 在Rt ABH中， 4222 tan 5511 AH ABO BH （1 分） (3)直线 AB 的解析式为 1 1 2 yx，（1 分） 设点 M 的坐标为 29 (,1) 2 m mm，点 N 坐标为 1 (,1) 2 mm 那么 MN= 22 91 (1)(1)4 22
3、mmmmm；（1 分） M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=3 解方程 2 4mm=3 得27m；（1 分） 解方程 2 43mm得1m或3m；（1 分） A B x y o （第 24 题图） 所以符合题意的点N 有 4 个 7735 (27,2),(27,2),(1,),(3,) 2222 （1 分） 2. （本题满分14 分，第（ 1）小题满分4 分，第（ 2）小题满分5 分，第（ 3）小题满分5 分） 在 RtABC中， ACB = 90 ，经过点B的直线 l（l 不与直线AB重合）与直线BC的夹 角等于 ABC ，分别过点C、点 A 作直线 l 的垂线，垂足分别为点
4、D、点 E （1）如图 1，当点 E与点 B 重合时，若AE=4，判断以C点为圆心CD长为半径的圆C与直 线 AB的位置关系并说明理由； （2）如图 2，当点 E在 DB 延长线上时，求证：AE=2CD； （3）记直线CE与直线 AB 相交于点F，若 5 6 CF EF ，CD = 4，求 BD 的长 2.解： （1）过点 C作 CF AB，垂足为点F. （1 分） AED=90， ABC=CBD， ABC=CBD =45， ACB =90， ABC=45， AE=4， CF=2， BC=2 2，（1 分） 又 CBD =ABC=45， CDl， CD=2， （1 分） CD=CF=2，圆 C
5、与直线 AB 相切 .（1 分） （2）证明：延长AC交直线 l 于点 G（1 分） ACB = 90 ， ABC =GBC ， BAC =BGC AB = GB（1 分） AC = GC （1 分） AEl，CDl， AE CD A C D B(E) l （第 25题图 1） （第 25 题图 2） A C D E l B 1 2 CDGC AEGA （1 分） AE = 2CD （1 分） （3） （I）如图 1，当点 E在 DB 延长线上时： 过点 C作 CGl 交 AB于点 H，交 AE于点 G，则 CBD =HCB ABC =CBD， ABC =HCB CH = BH（ 1 分） A
6、CB = 90 ， ABC +BAC =HCB +HCA = 90 BAC =HCA CH = AH = BH CGl， 5 6 CHCF BEEF 设 CH = 5x，则 BE = 6x，AB = 10x 在 RtABE中， 22 8AEABBEx 由（ 2）知 AE = 2CD = 8，88x，得1x CH = 5， BE = 6， AB = 10 CGl， 1 2 HGAH BEAB ， HG=3（1 分） CG = CH + HG = 8 易证四边形CDEG是矩形， DE = CG = 8 2BDDEBE（1 分） （II）如图 2，当点 E在 DB 上时： 同理可得CH = 5，BE
7、 = 6，HG = 3（1 分） 2DECGCHHG BD=DE + BE = 8（1 分） 综上所述， BD 的长为 2 或 8 3已知点A（2， 2）和点 B（ 4，n）在抛物线 y=ax 2（a 0）上 （1）求 a的值及点B 的坐标； （2）点 P在y轴上，且 ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标； （3）将抛物线y=ax 2（a 0）向右并向下平移，记平移后点 A 的对应点为A，点 B 的对应 点为 B，若四边形ABB A 为正方形，求此时抛物线的表达式 （第 25 题图 1） A C D E l G B H F B （第 25题图 2） A C D l G E H F 【考
8、点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移 【分析】（1）把点 A（2， 2）代入 y=ax 2，得到 a，再把点 B 代入抛物线解析式即可解决 问题 （2）求出直线AB 解析式，再分别求出过点A 垂直于 AB 的直线的解析式，过点B 垂直于 直线 AB 的解析式即可解决问题 （3）先求出点A 坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题 【解答】解： （1）把点 A（2， 2）代入 y=ax2，得到 a=， 抛物线为y=x2， x=4 时， y=8， 点 B 坐标（ 4， 8） ， a=，点 B 坐标（ 4， 8） （2）设直线AB 为 y=kx+b ，则有，解得，
9、直线 AB 为 y=x 4， 过点 B 垂直 AB 的直线为 y=x 12，与 y 轴交于点P（0， 12） ， 过点 A 垂直 AB 的直线为 y=x，与 y 轴交于点P（ 0，0） ， 点 P 在 y 轴上，且 ABP 是以 AB 为直角边的三角形时点P 坐标为（ 0，0） ，或（ 0， 12） （3）如图四边形ABB A是正方形，过点A 作 y 轴的垂线，过点B、点 A作 x 轴的垂线得 到点 E、F 直线 AB 解析式为y=x12， ABF ，AA E 都是等腰直角三角形， AB=AA =6 ， AE=A E=6， 点 A坐标为（ 8， 8） ， 点 A 到点 A 是向右平移6 个单位
10、，向下平移6 个单位得到， 抛物线y= x2的顶点（ 0，0） ，向右平移6 个单位，向下平移6 个单位得到（ 6， 6） ， 此时抛物线为y=（ x6） 26 4已知， AB=5 ，tanABM= ，点 C、D、 E 为动点，其中点C、D 在射线 BM 上（点 C 在 点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线BA 的两侧， 且 AC=AD ，AB=AE ，CAD= BAE （1）当点 C 与点 B 重合时（如图1） ，联结 ED，求 ED 的长； （2）当 EABM 时（如图2） ，求四边形AEBD 的面积； （3）联结 CE，当 ACE 是等腰三角形时，求点B、C 间的距离 【考点】
11、三角形综合题 【分析】 （1）如图 1 中，延长 BA 交 DE 于 F，作 AH BD 于 H，先证明 BFDE，EF=DF ， 再利用 ABHDBF，得 = ，求出 DF即可解决问题 （2）先证明四边形ADBE 是平行四边形，根据S 平行四边形ADBE=BD ?AH ，计算即可 （3）由题意 AC AE，EC AC，只有 EA=EC ，利用四点共圆先证明四边形ADBE 是平行四 边形，求出DH 、CH 即可解决问题 【解答】解： （1）如图 1 中，延长BA 交 DE 于 F，作 AH BD 于 H 在 RTABH 中， AHB=90 ， sinABH= =， AH=3 ，BH=4， AB
12、=AD ， AHBD ， BH=DH=4 ， 在 ABE 和 ABD 中， ， ABD ABE ， BE=BD ， ABE= ABD ， BFDE， EF=DF， ABH= DBF， AHB= BFD ， ABH DBF ， =， DF=， DE=2DF= （2）如图 2 中，作 AH BD 于 H AC=AD ， AB=AE ， CAD= BAE， AEB= ABE= ACD= ADC ， AEBD ， AEB+ EBD=180 ， EBD+ ADC=180 ， EBAD ， AEBD ， 四边形 ADBE 是平行四边形， BD=AE=AB=5，AH=3 ， S 平行四边形ADBE=BD ?
13、AH=15 （3）由题意AC AE，EC AC，只有 EA=EC 如图 3 中， ACD= AEB（已证）， A、C、B、E 四点共圆， AE=EC=AB ， =， =， AEC= ABC ， AEBD ， 由（ 2）可知四边形ADBE 是平行四边形， AE=BD=AB=5， AH=3 ，BH=4 ， DH=BD BH=1， AC=AD ， AHCD， CH=HD=1 ， BC=BD CD=3 5如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 图象顶点为 C，与直线y=x+m 图象交于AB 两点，其中 A点的坐标为（3，4），B点在y轴上 （1）求这个二次函数的解析式； （2）联结 AC，求 BAC
14、的正切值； （3）点 P为直线 AB 上一点，若ACP 为直角三角形，求点P 的坐标 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入y=x+m 求出 m 得到直线AB 的解析式为y=x+1，这可求出 直线与 y 轴的交点B 的坐标， 然后把 A 点和 B 点坐标代入y=x 2+bx+c 中得到关于 b、c 的方 程组，再解方程组求出b、c 即可得到抛物线解析式； （2）如图，先抛物线解析式配成顶点式得到C（1， 0），再利用两点间的距离公式计算出 BC 2=2， AB2=18，AC2=20，然后利用勾股定理的逆定理可证明 ABC 为直角三角形， ACB=90 ，于是利用正切的定义计算tanBAC 的值；
15、 （3）分类讨论：当APC=90 时，有（ 2）得点 P 在 B 点处，此时P 点坐标为（ 0，1）； 当 ACP=90 时，利用（ 2）中结论得tanPAC=，则 PC=AC，设 P（t，t+1），然 后利用两点间的距离公式得到方程t2+（t+11）2=20，再解方程求出t 即可得到时P点坐 标 【解答】解：（1）把 A（3，4）代入 y=x +m 得 3+m=4，解得 m=1 直线 AB 的解析式为y=x +1， 当 x=0 时， y=x +1=1， B（0，1）， 把 B（0，1）， A（3，4）代入 y=x 2+bx+c 得 ，解得， 抛物线解析式为y=x 22x+1； （2）如图，
16、y=x 22x+1=（x1）2， C（1，0）， BC 2=12 +1 2=2，AB2=32+（41）2=18，AC2=（31）2 +4 2=20， 而 2+18=20， BC 2 +AB 2=AC2， ABC 为直角三角形，ACB=90 ， tanBAC=； （3）当 APC=90 时，点 P 在 B 点处，此时P 点坐标为（ 0，1）； 当 ACP=90 时， tanPAC=， PC= AC， 设 P（ t，t+1）， t 2+（t+11）2= 20，解得 t1 = ， t 2=（舍去），此时P 点坐标为（， + 1）， 综上所述，满足条件的P 点坐标为（ 0，1）或（， + 1） 【点评
17、】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和一次函数图象上点的坐 标特征； 能运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公 式；能利用勾股定理的逆定理证明直角三角形 6如图， ?ABCD 中， AB=8 ，AD=10 ，sinA=，E、F 分别是边AB 、BC 上动点（点 E 不 与 A、B 重合），且 EDF= DAB ，DF 延长线交射线AB 于 G （1）若 DEAB 时，求 DE 的长度； （2）设 AE=x，BG=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当BGF为等腰三角形时，求 AE的长度 【分析】（ 1）DEAB 时
18、，根据sinA=即可解决问题 （2）如图 2 中，作 DM AB 于 M，根据 DG 2=DM2+MG2=AGEG ，列出等式即可解决问题 （3）分三种情形 BF=BG ， FB=FG， GB=GF，根据 BF AD ，得出比例式，列方程 即可解决 【解答】解：（1）如图 1 中， DEAB ， sinA=， AD=10 ， DE=8 （2）如图 2 中， 作 DM AB 于 M，由（ 1）可知 DM=8 ，AM=6 ，MG=AB AM=8 6=2， DG 2=DM2+MG2， DGE=DGA ， GDE=A， DGE AGD ， =， DG 2=AGEG ， DM 2+MG2=AGEG ，
19、8 2+（2+y）2=（8+y）（ 8+yx）， y= （ 0x8） （3） 当 BF=FG 时， BFAD ， =， AD=AG=10 ， y=2，即=2，解得 x=2， AE=2 当 FB=FG 时， BFAD ， =， AD=DG=10 ， DM AG ， AM=MB=6 ， AG=12 ， y=4，即=4， 解得 x= 当GB=GF时，BFAD，GBF=BFG， A=GBF， ADG= BFG， A=ADG ， A=EDG， EDG=ADG ， 此时点 E 与点 A 重合，不合题意 综上所述 AE=2 或时， BFG 是等腰三角形 【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段 成比例定理、 勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会用方程的思 想解决问题，属于中考常考题型