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1、初中数学试卷 鼎尚图文 * 整理制作 二次函数与一元二次方程 基础探究 1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示 ,请根据图象回答下列问题: (1) a=_,c=_. (2)函数图象的对称轴是_,顶点坐标 P_. (3)该函数有最 _值,当 x=_时 ,y 最值 =_. (4)当 x_时,y 随 x 的增大而减小 . 当 x_时,y 随 x 的增大而增大 . (5)抛物线与x 轴交点坐标A_,B_; 与 y 轴交点 C 的坐标为 _; ABC S=_, ABP S=_. (6)当 y0 时,x 的取值范围是 _;当 y0? 14 BAx O y 3.请画出适当的函数图象,求方程
2、x 2=1 2 x+3 的解 . 4.若二次函数y=- 1 2 x 2+bx+c 的图象与 x 轴相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式; (2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位? 5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表 所示的对应关系. (1)请你以汽车刹车时的车速V 为自变量 ,刹车距离s 为函数 , 在图所示的坐标系中描点 连线 ,画出函数的图象; (2)观察所画的函数的图象,你发现了什么 ? (3)若把这个函数的
3、图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对 ,求出它的 函数关系式 ; (4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确. 50 100 150 150 100 50 s(m) v(km/h) O 能力提升 6.如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=3,AD=2, 将此矩形置入直角坐标系中,使 AB 在 x 轴上 ,点 C 速度 V(km/h) 48 64 80 96 112 刹车距离s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 在直线 y=x-2 上. (1)求矩形各顶点坐标; (2)若直线 y=x-2 与 y 轴交于点E,抛物线过E、A、B 三点 ,求抛物线的关系
4、式; (3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD 内部 ,并说明理由 . C BAx O D y E 7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6) 两点 ,对称轴是x= 5 3 . (1)求这条抛物线的关系式. (2)证明 :这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有 AC+BC AD+BD. 8.如图所示 ,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮 ,球沿一条抛物线运行,当球 运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面 距离为 3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式
5、; (2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时 ,球在他头顶上方0.25m 处出手 .问:球出手时 ,他跳离地 面多高 ? 9.某工厂生产A 产品 x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元 , 已知 3.05m 4m 2.5m x O y P= 1 10 x 2+5x+1000,Q=- 30 x +45. (1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于 x(吨)的函数关系式 ; (2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多 ?这时获利多少元? 这时每吨的价格又 是多少元 ? 10.已知抛物线y=2x 2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标 ,一个大于2,
6、另一个小于2,试求 k 的取值范 围 . 11.如图 ,在 RtABC 中,ACB=90,BCAC, 以斜边 AB 所在直线为x 轴,以斜边 AB 上的高 所在直线为y 轴 ,建立直角坐标系,若 OA 2 +OB 2= 17, 且线段 OA 、OB 的长度是关于 x 的一 元二次方程x 2-mx+2(m-3)=0 的两个根 . (1)求 C 点的坐标 ; (2)以斜边 AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过 A、B、 E 三点的抛物线的关系式, 并画出此抛物线的草图. (3)在抛物线上是否存在点P,使 ABP 与 ABC 全等 ?若存在 ,求出符合条件的P点的坐 标 ;若不存在 ,说明理由
7、 . 综合探究 12.已知抛物线L;y=ax 2+bx+c( 其中 a、 b、 c都不等于 0), 它的顶点 P的坐标是 2 4 , 24 bacb aa , 与 y 轴的交点是M(0,c) 我们称以 M 为顶点 ,对称轴是y 轴且过点P的抛物线为抛物线L 的 伴随抛物线 ,直线 PM 为 L 的伴随直线 . (1)请直接写出抛物线y=2x 2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式 : 伴随抛物线的关系式_ 伴随直线的关系式_ (2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的关 C BA E xO y E 系是 _: (3)求抛物线L:y=
8、ax 2+bx+c( 其中 a、 b、 c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式; (4)若抛物线 L 与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点 x2x10,它的伴随抛物线与x 轴交于 C,D 两点 ,且 AB=CD, 请求出 a、b、c 应满足的条件 . 13.已知抛物线y=mx 2-(m+5)x+5. (1)求证 :它的图象与x 轴必有交点 ,且过 x 轴上一定点 ; (2)这条抛物线与x 轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且 04;1; 2.(1)由表知 ,当 x=0 时,ax 2+bx+c=3; 当 x=1 时,ax2=1;当 x=2 时,ax2+bx+c=
9、3. 3 1 423 c a abc , 1 2 3 a b c , a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)在 x 2-2x+3=0 中, =(-2)2-4 1 3=-80. 3.:在同一坐标系中如答图所示, 画出函数y=x 2 的图象 ,画出函数y= 1 2 x+3 的图象 , 这两个图象的交点为A,B, 交点 A,B 的横坐标 3 2 和 2 就是方程x 2=1 2 x+3 的解 . 4.:(1)y= 1 2 x 2+bx+c,把 A(-5,0),B(-1,0) 代入上式 ,得 2 2 1 ( 5)50 2 1 ( 1)( 1)0 2 bc bc , 3 5 2 a
10、 b , y= 215 3 22 xx. (2)y= 215 3 22 xx= 21 (3)2 2 x 顶点坐标为(-3,2), 欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2 个单位 . 5.:(1)函数的图象如答图所示. 1 3 1 2 2 x=1 x y O 6 3 2 B A x y O (2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c, 把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入s=av2+bv+c, 得 2 2 2 484822.5 646436 969672 abc abc abc , 解得
11、 3 512 3 16 0 a b c . 233 51216 svv (4)当 v=80 时, 223333 808052.5 5121651216 vv s=52.5, 233 51216 svv 当 v=112 时, 223333 11211294.5 5121651216 vv s=94.5, 2 33 51216 svv 经检验 ,所得结论是正确的. 6.:(1)如答图所示 . y=x-2,AD=BC=2, 设 C 点坐标为 (m,2), 把 C(m,2)代入 y=x-2, 2=m-2.m=4. C(4,2),OB=4,AB=3. OA=4-3=1, A(1,0),B(4,0),C(
12、4,2),D(1,2). (2)y=x-2, 令 x=0,得 y=-2,E(0,-2). 设经过 E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c, 2 0 1640 c abc abc , 解得 1 2 5 2 2 a b c y= 215 2 22 xx. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部 . y= 2 15 2 22 xx, 顶点为 5 9 , 2 8 . 5 14 2 , 顶点 5 9 , 2 8 在矩形 ABCD 内部 . 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c, A(0,3),B(4,6), 对称轴是直线x= 5 3 .
13、 3 1646 5 23 c abc b a , 解得 9 8 15 4 3 a b c y= 2915 3 84 xx. (2)证明 :令 y=0,得 2915 3 84 xx=0, 12 4, 2 3 xx A(0,3),取 A 点关于 x 轴的对称点E,E (0,-3). 设直线 BE 的关系式为y=kx-3, 把 B(4,6) 代入上式 ,得 6=4k-3, k= 9 4 , y= 9 4 x-3 . 由 9 4 x-3=0,得 x= 4 3 . 故 C 为 4 ,0 3 ,C 点与抛物线在x 轴上的一个交点重合, 在 x 轴上任取一点D,在 BED 中,BE0, 无论 k 为何实数
14、, 抛物线 y=2x 2-kx-1 与 x 轴恒有两个交点 . 设 y=2x 2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1,x2,且规定 x1 2, x1-20. (x1-2)(x2-2) 7 2 . k 的取值范围为k 7 2 . 法二 :抛物线y=2x 2 -kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2, 此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知 :当 x=2 时,y7 2 .k 的取值范围为k 7 2 . 11:(1)线段 OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2 -mx+2(m-3)=0 的两个根 , (1) 2(3)(2) OAOBm OA OBm 又 O
15、A 2+OB2 =17,(OA+OB) 2-2OA OB=17. x2x1 2 x y O 把 ,代入 ,得 m2-4(m-3) =17, m2-4m-5=0.解之 ,得 m=-1 或 m=5. 又知 OA+OB=m0, m=-1 应舍去 . 当 m=5 时,得方程 :x 2-5x+4=0,解之 ,得 x=1 或 x=4. BCAC, OBOA, OA=1,OB=4, 在 RtABC 中,ACB=90 ,COAB, OC2=OA OB=14=4.OC=2,C(0,2) (2)OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称 , A(-1,0),B(4,0),E(0,-2). 设经过 A,B,E
16、三点的抛物线的关系式为 y=ax 2+bx+c,则 0 1640 2 abc abc c ,解之 ,得 1 2 3 2 2 a b c 所求抛物线关系式为y= 213 2 22 xx. (3)存在 .点 E 是抛物线与圆的交点. RtACB RtAEB, E(0,-2) 符合条件 . 圆心的坐标( 3 2 ,0 )在抛物线的对称轴上. 这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. 点 E 关于抛物线对称轴的对称点E 也符合题意 . 可求得 E (3, -2). 抛物线上存在点P 符合题意 ,它们的坐标是 (0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x
17、 2-2x-3 (3)伴随抛物线的顶点是(0,c), 设它的解析式为y=m(x-0) 2 +c(m 0). 设抛物线过P 2 4 , 24 bacb aa , 2 2 4 42 acbb mc aa 解得 m=-a,伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k 0). P 2 4 , 24 bacb aa 在此直线上 , 2 4 42 acbb kc aa , k= 2 b . 伴随直线关系式为y= 2 b x+c (4)抛物线L 与 x 轴有两交点 ,1=b 2-4ac0,b2x10,x1+ x2= - b a 0,x1x2= c a 0,ab0. 对于伴随抛物
18、线y=-ax 2+c,有 2=0 2-(-4ac)=4ac0.由-ax2+c=0,得 x= c a . ,0 ,0 cc CD aa , CD=2 c a . 又 AB=x2-x1= 2 2 22 121212 4 ()()44 bcbac xxxxx x aaa . 由 AB=CD, 得 2 4bac a =2 c a , 整理得b 2 =8ac,综合 b 24ac,ab0,b2=8ac,得 a,b,c 满足的条件为b2=8ac 且 ab0,x1=1, x2=5,A(1,0),B(5,0), 把 B(5,0) 代入 y=mx 2-(m+5)x+5, 得 0=25m-(m+5) 5+5. m=1,y=x 2-6x+5. M 点既在直线L:y=x-1 上,又在线段 AB 的垂直平分线上, D(0,-1) A(1.0) M(3,2) B(5,0) x y O M 点的横坐标x1+ 2 AB =1+ 4 2 . 把 x=3 代入 y=x-1,得 y=2. 圆心 M(3,2), 半径 r=MA=MB= 22 (31)222, MA 2=MB2=8. 又 AB 2=42= 16,MA2+MB2=AB2 , ABM 为直角三角形,且 AMB=90 , S 弓形 ACB=S 扇形 AMB- S ABM= 2 90(22)1 2 22 224 3602 .