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1、自主招生试题特点：试题难度高于高考，有的达到竞赛难度，试题灵活，毫无 规律可寻，但各个学校有自己命题风格。一般说来，各高校对后续性的知识点： 如，函数、不等式、排列组合等内容相对占比例稍高。 应试策略：1、 注重基础：一般说来，自主招生中，基础题目分数比例大约占60-70% 2、适当拓展知识面，自主招生中，有不少内容是超出教材范围 3、对考生自己所考的院校历届真题争取尽量弄到手，并进行分析。 方程的根的问题 ： 1.已知函数 2 ( )f xaxbxc (0)a ，且 ( )f xx没有实数根那么( )ffxx 是 否有实数根？并证明你的结论（08 交大） 2. 设 432 ( )(1)(32
2、)4f xa xxaxa，试证明对任意实数 a： （1）方程( )0f x总有相同实根； （2）存在 0 x，恒有 0 ()0f x （07 交大） 3.（06 交大）设 322 9,29270kxkxk xk解方程 4. （05 复旦）在实数范围内求方程： 44 1073xx的实数根 5.（05 交大） 32 0xaxbxc的三根分别为a,b,c，并且 a,b,c 是不全为零的有理数， 求 a,b,c的值 6. 解方程：求方程222 3xxxxx（n 重根）的解(09 交大 ) 凸函数问题 1.(2009 复旦 ) 如果一个函数f(x)在其定义区间内对任意x， y都满足 ()() () 22
3、 xyfxfy f ，则称这个函数时下凸函数，下列函数 （1） ()fx 2 x （ 2） ()fx 3 x （3） ()fx 2 log x（0x ） （4） ,0, () 2 ,0, x x fx x x 中是下凸函数的有- 。 A(1)(2) B. (2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 2. （06 复旦）设x1,x2（ 0， 2 ） ，且 x1x2，下列不等式中成立的是： (1) 1 2 （tanx1+tanx2）tan 12 2 xx ; (2) 1 2 （ tanx1+tanx2）sin 12 2 xx ; (4) 1 2 （sinx 1+sinx2）0，a， b， c
4、是 x，y，z 的一个排列。求证：3 abc xyz 。 12. 求所有 3 项的公差为8 的自然数数列，满足各项均为素数。 13. 求所有满足 tantantantantantanABCABC 的非直角三角形（这里 x 表示不超过x的最大整数） (2009 年南京大学自主招生试题) 14. 求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积(06，清华 )。 15. 15 15 的整数部分为A，小数部分为B。 （1）求 A,B；（2）求 22 2 AB AB； （3）求 22 lim() n n BBB。（ 09，清华） 16 （09 复旦） .定义全集X的子集 AX的特征函数为 1, (
5、) 0, A X xA x xA f C 这里， X A C 表示 A 在 X中的补集。那么， 对 A，BX，下列命题中不准确的是_. AAB () A x f () B x f ，?xX B ()1() X AA xx C ff ，?xX c. () AB x f () A x f () B x f ，? x X D. () AB x f () A x f + () B x f ，? x X 17 （09 复旦） .半径为 R 的球内部装4 个有相同半径r 的小球，则小球半径r 的最大可能值 是_。 A 3 23 R B. 6 36 R C. 1 13 R D5 25 R 中等题 18. 给
6、出一个整系数多项式 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa， 使( )0f x有一个根为 3 23 （2009 清华） 19. 通信工程中常用n 元数组 123 (,) n a aaa表示信息， 其中0 i a或 1，inN、 设 123 ( ,)nua a aa， 123 (,) n vb b bb，( , )d u v表示u和v中相对应的元素不同的 个数 （）(0,0,0,0,0)u问存在多少个5 元数组 v 使得( , )1d u v； （）(1,1,1,1,1)u问存在多少个5 元数组v使得( , )3d u v； （）令 0 (0,0,00) n w 个 ， 123
7、 (,) n ua aaa， 123 (,) n vb b bb， 求证：( ,)( ,)( , )d u wd v wd u v （08 交大） 20证明：若f（f（x） ）有唯一不动点，f（x）也有唯一不动点（09 交大） 21. 已知( 1, 1)A， ABC是正三角形，且B、 C在双曲线1(0)xyx一支上 . (1)求证 B、C关于直线yx对称； (2)求 ABC的周长 .(07,清华 ) 22. 是否存在实数x，使3cot,3tanxx均为有理数？(09，北大 ) 23对于集合 2 RM ，称 M 为开集，当且仅当 0 PM，0r， 使得 2 0 PRPPrM. 判断集合( , )
8、 4250x yxy与( , )0,0x y xy是否 为开集，并证明你的结论.(2007 年清华 )。 * 111223 * 1 24.,( ,) (1).(2),1,. (3)(2),. nn mn m i i aabbba a bNaabbaba am nNabb a 首项为公差为首项为公比为且 求 的值若使求 的值 在的条件下 求 25定义在 R 上的函数 24 4 x x xf， n n f n f n fSn 121 n=2,3, (1) 求 n S；(2) 是否存在常数M0，2n，有 231 111 n M SSS （05 复旦） 26已知线段 AB长度为3，两端均在抛物线 2
9、xy上，试求 AB的中点M到y轴的最短 距离和此时M点的坐标（07 交大） 27有限条抛物线及其内部能否覆盖整个平面？并证明。（抛物线内部指焦点所在的一侧） （09 清华） 28 数列 n a满足 2 1 21 nn aa，1 N a且 1 1 N a，其中2,3,4,N 求证： 1 1a； 求证： 12 cos 2 N k akZ 。 29.(03 交大 )求证： 3 42 2 31 aa aa 为最简分式 30.（04 复旦）若存在M，使任意Dt（D为函数)(xf的定义域），都有Mxf)(， 则称函数)(xf有界问函数 xx xf 1 sin 1 )(在) 2 1 ,0(x上是否有界？ 3
10、1对于集合 2 RM ，称 M 为开集，当且仅当 0 PM，0r， 使得 2 0 PRPPrM. 判断集合( , ) 4250x yxy与 ( , )0,0x y xy是否为开集，并证明你的结论.(2007 年清华 )。 32 已知六边形AC1BA1CB1中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1, A+ B+ C=A1+B1+C1 求证：ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半（ 08 ，北大） 较难题 33定义闭集合S ，若,a bS，则abS，abS(1) 举一例，真包含于R的无限 闭集合 (2) 求证对任意两个闭集合S 1,S2R，存在cR，但 12 cSS （03 复旦）
11、 34排球单循坏赛，南方球队比北方球队多9 支，南方球队总得分是北方球队的9 倍。 求证：冠军是一支南方球队（胜得1 分 败得 0 分） (08 北大 ) 35已知 )(xf 满足：对实数ba、有 )()()(abfbafbaf ，且1)(xf， 求证)(xf恒为零(05 清华 ) (可用以下结论：若Mxfxg x )(, 0)(lim，M为一常数，那么0)()(limxgxf x ) 36 已知对x， coscos21axbx 恒成立，求a+b的最大值 (09 北大 ) 37某次考试共有333 名学生做对了1000 道题，做对3 道及以下为不及格， 6 道及以上为优秀，考场中每人做题数目不全同奇偶 问：不及格者与优秀者哪个多？(09 北大 ) 38. 已知 123123 12233112233 1 123123 123123 min(,)min(,) max( ,)max( ,) aaabbb a aa aa abbb bb b a aab b b a a ab b b求证： (08 北大 ) 39。证明 :正整数列 1221 , n aaa 是常数列的充要条件是其满足性质p: 对数列中任意2n 项,存在一种方法将这2n 项分为两类 (每类 n 个数 )， 使得两类数之和相等.（09 清华） 40