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1、44研究性学习课题： 复数与平面向量、三角函数的联系 第一课时,教学目标 1知识目标：理解复数的向量表示和三角表示，了解复数的开平方 2能力目标：培养学生勇于质疑和善于反思的习惯；培养学生发现、提出、解决数 学问题的能力；培养学生的创新意识和实践能力 3情感、价值观目标：了解数学概念和结论的产生过程，体验数学研究的过程和创 造的激情，学会与他人交流合作，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神,以上三个目标是从以下三个方面确定的： 根据教材内容及新大纲的教学要求，确定第一个教学目标 由于本节是研究性学习课题，有助于学生提高发现、提出、解决数学问题的能 力，发挥自己的想象力和创新精神，故此确定第二
2、教学目标 在研究性学习活动中，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理 解直观和严谨的关系，初步尝试数学研究过程，体验创造的激情，由此确定第三个教学 目标,重点难点分析 教学重点：复数的向量表示和三角表示、复数的开平方运算 教学难点：复数与二维向量一一对应的实质和向量 与 的长度r以及 与x 轴的夹角组成的有序实数对(r， )一一对应的实质,第一课时 一、导入新课 (教师活动)复习提问，并讲述 (学生活动)思考、回答问题 问题1什么叫复数的代数表示形式? 问题2复数集C和复平面内所有的点所组成的集合有何对应关系? 问题3在直角坐标系中，平面向量以 如何用坐标表示?通过向量的坐标表示，
3、你对复数的表示有何想法?,讲述我们学习了复数可用代数表示，刚才同学们也想到了复数有可能用向量表示，本节课我们研究复数的向量表示 设计意图：复习已学知识，为本节课学习做知识铺垫，引导学生提出研究课题,二、新课讲授 【确定研究方案】 (教师活动)以向量的坐标表示为例，分析数学中不同事物之间的相互表示一般应遵循哪些原则?引导学生确定研究方案 (学生活动)确定研究复数向量表示的内容及方案,字幕向量的坐标表示遵循了下列原则： (1)向量 与有序实数对(x，y)存在一一对应关系； (2)平面向量坐标运算的合理性 提问我们研究复数的向量表示，要从哪几个方面去思考、分析? (学生回答) 设计意图：引导学生确定
4、研究复数向量表示的方案,【小组研究学习】 (教师活动)将全班划分为10个小组，在各小组内进行引导学生自主探究，巡视 学生探索过程，了解学生的进展情况 (学生活动)学生自主探究，合作学习，交流研究方法和研究成果，各组组内展开讨 论，提出方法并自主探索复数向量表示的运算方法(详细过程略),【班级讨论研究】 (教师活动)要求各小组简述解决方案以及解决的思维过程并展示研究结果，总结 学生研究结果 (学生活动)小组代表简述解决方案以及解决的思维过程投影研究结果。 【学生简述、展示研究结果】(略),字幕设复平面内的点Z(a，b)表示复数z=a+bi，连结OZ则： 向量 由点Z唯一确定，点Z由向量 唯一确定
5、 就是复数z=a+bi的向 量表示复数0用 表示,用向量 的长度(模)r来表示复数z=a+bi的“绝对值”的大小，称为复数z= a+bi的模，记作l z l或Ia+bi I或r则 用向量 与x轴的夹角(以轴的非负半轴Ox为始边)表示复数Z=a+bi的方向，则 ，其中的取值范围是,【例题示范，学会应用】 (教师活动)打出字幕(例题)，分析解题思路，完成解答，并点评 (学生活动)思考，与教师一道分析，尝试完成例题解答 字幕例1求复数z1=3+4i及 的模，并且比较它们的模的大小,解： 因为53/2，所以l zllz2l 字幕例2 向量 表示的复数为3+2i，将向量 向上平移3个单位长度再向左平移2
6、个单位长度，得到向量 ，分别写出： (1)向量 对应的复数；(2)点O对应的复数；(3)向量 对应的复数,分析根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在复平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数；而模长不变、方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数 解如图所示，O为原点， 点A的坐标为(3，2)，向 上平移3个单位长度再向 左平移2个单位后，点O 的坐标为(一2，3)点A 的坐标为(1，5)，坐标平,移不改变 的方向和模 (1)向量 对应的复数为3十2i； (2)点O对应的复数为-2+3i； (3)向量 对应的复数为-3-2i 点评根据复平面内向量平移的
7、不变性，我们可以把起点不在原点的向量移到原 点，使许多问题的求解变得简单,字幕例3设z=a+bi(a，bR)满足I I z l-4 l+l z I-4=0，且a1，b-1，画出复数2所对应的点的集合的图形 分析在复平面内要确立一个复数对应的点的集合，必须找到其实部与虚部的关系，即转化为实数方程本例是一个非常规的方程，如果用模的计算进行转化，将要解一个含绝对值的无理方程，运算量大且是二元方程，不易得到结论仔细观察已知条件并注意到复数的模是一个非负数这一性质，我们可以用整体观点处理求解,解因为l l z l-4 l+l z I-4=0，所 以I I z I-4 I=-(l z I-4)又由l z-
8、4 lR，且根据实数绝对值的性质，知l zl40 所以I z I4，以a2+b216，又由a 1，b-1知Z(a，b)构成的集合的图形 如图中阴影部分所示(包括边界),点评在复数问题中，整体观点是常用的解题技巧，要注意学会这种解题技巧 设计意图：通过例题的学习，让学生学会复数的向量表示，掌握复数问题的一些基本解题技巧。培养学生转化、数形结合的数学思想及良好的思维品质 【课堂练习】 (教师活动)打出字幕(练习题)，要求学生完成，并请两位同学板演巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差点拔、指正。,(学生活动)完成练习解答，板演 字幕练习题： 设zC，满足下列条件的复数z对应的点Z的集合是什么图
9、形?画出其图 (1)z=cos+isin (0 2)； (2)l z l2-4 I z l +30 设计意图：加深复数向量表示的理解，沟通复数与解析几何之间的联系反馈教学 信息，调节课堂教学 【分析归纳，小结解法】 (教师活动)教师根据反馈的信息，点评练习题解题思路，小结解题方法,(学生活动)学生听教师讲评，领悟解题思想方法，并记录笔记 练习题答案 (1)解法1 因为 所以点z的集合是以原点为圆心，以1 为半经的圆,解法2 设z=x+yi(z，yR)，则x+yi=cos+isin 根据两个复数相等的充要条件，得 (0 2)消去参数得：x2+y2=1所以点Z的集合是以原点为圆心，以1为半径的圆
10、(2) l z l2-4 I z l+30，(l z I-3)(I z I-1)0，ll z l3所以点Z的集合是以 原点为圆心，1为内半径，3为外半径的圆环，包括圆环的边界，图(略),字幕小结 1在复平面内求的点集合表示的图形，一般有两个途径： (1)设z=z+yi(z，yR)，根据已知条件求出z，y满足的方程，注意运算过程 中化简的等价性； (2)充分考虑复数的整体性，直接探求动点所对应的复数z具有的特征和满足的方程,三、小结 (教师活动)教师总结本节课所学的知识要点 (学生活动)学生回忆，与教师一道归纳，并记录笔记 字蒂1本节课学习了把复数用复平面内的向量表示和复数的模 2本节课渗透的数
11、学思想方法有：转化、数形结合等数学思想方法；渗透的解题技巧有：整体、化归等观点 设计意图：培养学生归纳、总结问题的能力，加深对已学知识的理解，便于学生课 后复习,四、布置作业 已知集合A=z l z=x+yi，x，yR，且y一2，B=z l zC且2l z I4 求复平面内A B表示的图形面积 设计意图：供学生思考复数与平面几何、平面解析几何之间的联系,作业答案 不难求出A B表示的图形如图所示的阴 影部分，包括边界，其中大圆面积S1=16 ，小圆面积S2=4 再求弓形ABC的面积，在RtOCD中， l OD l=2，l OC I=4，则I CD I = ，DOC= /3所以弓形ABC的面积S3=S扇形ABCSABC=16/3 所以A B表示的图形面积为 S1一S2一S3=20 /3+ ,