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1、1 江苏省如皋市 20182019 学年度高三年级第二学期语数英学科模拟（一） 数学试题 （考试时间： 120 分钟总分： 160 分） 一、填空题（ 本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应 的位置上 ） 1已知全集U1 ，2，3，A2 ，则 ?UA 2已知复数 i 1i m z（mR，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5： 5：4，现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高 三年级为12 人，则抽取的样本容量为人 4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值为 5在平面直角
2、坐标系xOy 中，双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b 0)的一条渐近线经过点(1，2)，则双曲线的离心 率为 6将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）先后抛掷2 次，则 出现向上的点数之和大于9 的概率为 7已知变量x，y 满足约束条件221xy，0x，0y，则21xy的最大值为 8已知角 6 的终边经过点P(1，2 2)，则sin 9如图，直三棱柱ABC A1B1C1中， CAB 90 ，AC AB 2， CC1 2，P 是 BC1的中点，则三棱锥 C A1C1P的体积为 10已知数列 n a的前 n项和为 n S， 1 1a，且满足
3、 1nn Sa，则数列 n S的前 10 项的和为 11已知函数 2 2410 ( ) 1 0 x xxx f x x e ， ， ，若函数 1 ( )( ) 2 h xf xxa恰有 3 个不同的零点，则实数a 的 2 取值集合为 12若等边 ABC 的边长为2，其所在平面内的两个动点P，M 满足AP1，PMMB，则CM CB的最 大值为 13已知正数a，b，c，d 满足 12 1 ab ， 23 2 cd ，则abcd的最小值为 14在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A 是圆 C： 22 9 (4)(1) 2 xy上一动点， 点 B 是直线20xy 上一动点，若AOB 90 ，则 OB
4、OA 的最小值为 二、解答题 （本大题共6 小题，共计90 分请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤） 15 （本题满分14 分） 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且 2 3cos(BC)2sin A0 （1）求角 A 的大小； （2）若 B 4 ， a2 3，求边长c 16 （本题满分14 分） 如图， 四棱锥 P ABCD 中，底面为直角梯形，AD BC，AD 2BC，且 BAD BPA90 ，平面 APB 底面 ABCD ，点 M 为 PD 的中点 （1）求证： CM平面 PAB； （2）求证： PB PD 17 （本题满分14 分
5、） 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是圆锥，下部的形状是圆柱（如图所示），并要 求圆柱的高是圆锥的高的2 倍 3 （1）若圆柱的底面圆的半径为3 m，仓库的侧面积为63 m 2，则仓库的容积是多少？ （2）若圆锥的母线长为6m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大 18 （本题满分16 分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 过点 P(2，0)，且两准线间的距离为 8 3 3 （1）求椭圆的方程； （2）已知 B2，B1分别是椭圆的上、下顶点，过点E(0， 1 2 )的直线l 与椭圆交于M， N 两点，直线MB2 与直线NB1交于
6、点T若直线l 的斜率为 1 2 ，求点 T 的坐标；试问点T 是否在某定直线上？若在定直线 上，求出定直线方程；若不在定直线上，请说明理由 19 （本题满分16 分） 已知函数 2 (2) ( )(R) x xaxa f xa e ，( )( ) x g xe f x 4 （1）若 A( )9, ,)x g xxa ，求实数 a 的取值范围； （2）设( )f x的极大值为M，极小值为N，求 M N 的取值范围 20 （本题满分16 分） 已知数列 n a是公差不为零的等差数列，数列 n b满足 12nnnn baaa(nN) （1）若数列 n a满足 10 2a， 4 a， 14 a， 9
7、a成等比数列求数列 n a的通项公式；数列 n b的 前 n 项和为 n S，当 n 多大时， n S取最小值 （2）若数列 n c满足 2 12nnnn caaa(nN)，且等差数列 n a的公差为 1 3 ，存在正整数p，q，使得 pq ac是整数，求 1 a的最小值 数学试题（ 卷）答案 一、填空题 ：本大题共14 小题，每小题5 分， 共 70 分 5 1. 1,32. 13. 424. 155. 5 6. 1 6 7. 5 2 8. 12 6 6 9. 2 3 10. 1023 11. 11 1,ln 2 22 12. 413. 134 314. 1 4 二、解答题：本大题共6 小题
8、，计 90 分 15. 在ABC中，由ABC， 22 sincos1AA及 2 3cos2sin0BCA 得： 2 3cos2 1 cos0AA2分 所以 2 2cos3cos20AA， 所以 2cos1 cos20AA， 因为cos1,1A，所以 1 cos 2 A， 因为0,A，所以 3 A6分 sinsinsinsincoscossinCABABABAB 321262 22224 10分 在ABC中 ，由正弦定理得： sinsin ca CA ， 所以 2 3 623 42 c ，所以62c. 14分 16.证明：取AP的中点H，连接,BH HM, 因为,H M分别为,AP DP的中点，
9、所以 1 2 HMAD且HM/AD2 分 因为AD/BC且2ADBC，所以HMBC且HM/BC， 所以四边形BCMH为平行四边形，所以CM/BH4分 因为CM平面PAB，BH平面PAB， 所以CM/ 平面PAB6分 因为 0 90BAD, 所以BAAD. 6 因为平面APB平面ABCD，AD平面ABCD，平面APB I平面ABCDAB 所以AD平面APB9分 因为PB平面 PAB，所以PBAD， 因为 0 90BPA，所以PBPA, 因为PAPDPI，,PAPD平面 PAD ， 所以PB平面PAD12分 因为PD平面PAD，所以PBPD. 14 分 17. 解：设圆锥的高为hm，因为圆柱的高是
10、圆锥的高的2倍，所以圆柱的高为2hm. 仓库的侧面积 2 1 23 923 263 2 Shh2分 所以 2 9214hh，所以 2 2 921 4hh， 所以 2 55614445360hhhh， 所以4h或 36 5 h， 当 36 5 h时，2140h，所以4h m4分 所以仓库的容积为 22 1 343884 3 2 m6分 答：仓库的容积是84 2 m7分 设 1 PO为x m，圆柱的底面圆的半径为rm. 仓库的容积 2223 177 236,0,6 333 Vrxrxr xxxx 设 3 36 ,0,6fxxx x9分 令 2 3360fxx得：2 3x， x 0,2 3 2 3
11、0,2 3 fx0 7 所以 2 3xm时，仓库的容积 V取得极大值，也是最大值 13 分 答：当 1 PO为2 3m时，仓库的容积最大14分 18. 设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆过点2,0P，且两准线间的距离为 8 3 3 ， 所以 2 8 2,23 3 a a c ，所以 22 2,3,1acbac， 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y3分 设 1122 ,MxyNxy 因为直线 l 的斜率为 1 2 ，所以直线l 的方程为 11 22 yx ， 由 2 2 1 4 11 22 x y yx 得： 2 2230xx， 所以 12 1717 , 22 xx 5分 由 1 1 2 2
12、1 1 1 1 y yx x y yx x 得： 12 12 11 2 yy x xx 所以 1212 211221 12 22 3111 2222 x xx x x xxxyxy xx 12 12 4 2 74 3 x x xx 7分 fxZ 极大值 8 11 11 11 2 7412 7412 2 yx y xx . 点T的坐标为2 74,2 10分 由 2 2 1 4 1 2 x y ykx 得： 22 14430kxkx， 所以 121222 43 , 1414 k xxx x kk 12分 由 1 1 2 2 1 1 1 1 y yx x y yx x 得： 12212112 111
13、1xyxyyxyxy 所以 2112 122121 1221211221 11 11 xyxy x yx yxx y x yx yxxxyxy ， 122121 1212 12 122121 11 4322 11 3 22 xkxxkxxx kx xxx xx xkxxkxxx 1222 121212 1212 34 4362 4362 1414 2 33 k kxx kx xxxxx kk xxxx 所以点 T是否在直线2y上 16分 19. 因为9,Ax g xxa， 所以函数 2 2g xxaxa的最小值小于等于9. 0 1当 2 3 a时，函数g x的对称轴为 2 2 a a， 所以
14、2 min 239g xg aaa，所以 3 3 2 a， 因为 2 3 a ，所以 23 32 a 3分 9 0 2 2 3 a时，函数g x的对称轴为 2 2 a a， 所以 2 min 4 9 4 a g x恒成立，所以 2 3 a 5分 综上：实数a的取值范围为 3 , 2 6分 2 2 e x xax fx 设 2 2h xxax，因为 2 80a， 所以函数h x有两个不同的零点，不妨设 12 ,x x且 12 xx， 1212 ,2xxa x x8分 当 1 ,xx时，0h x，函数fx为单调增函数， 当 12 ,xx x时，0h x，函数fx为单调减函数， 当 2, xx时，0
15、h x，函数fx为单调增函数， 所以当 1 xx时，函数fx取得极小值，当 2 xx时，函数fx取得极大值， 所以 1212 2 2222 2 1111 2 22 * 222 xxxx fxxaxa xaM ee Nfxxaxaxa 10分 将 12 xxa代入*得： 1221 12 2 2 xxxx e xx ，设 2 2 1212 82 2txxxxa， 所以 1221 12 22 22 xxt xxt ee xxt ，设 2 ,2 2 2 t t Q te t t 13分 2 2 0 2 t t e Qt t ，所以函数Q t在 ,22 上为单调减函数， 22 32 20eQ t， 综上
16、： M N 的取值范围为 2 2 322,0e16 分 10 20.设数列 n a的公差为d， 因为 4149 ,a aa成等比数列 ，所以 2 24262ddd， 所以 2 30dd，因为0d，所以3d， 所以 10 10332 n aandn3分 当110n时，0 n a，当11n时，0 n a， 因为 12nnnn baaa， 所以当18n时， 0 n b，当11n时，0 n b， 910 0,0bb，所以 12891011 SSSSSSLL 所以 n S的最小值为 8 S或 10 S6分 因为 1089101011912 SSbba aaa， 又因为 1011912 0,0,10aaa
17、a，所以 108 0SS 所以当8n时， n S取最小值 9分 22 12 122 339 nnnnnnnn caaaaaaa10 分 若存在正整数,p q，使得 pq ac是整数， 则 111 11222 112 33939 pq pq acapaqaZ， 设 1 22 2, 39 pq mamZ， 所以 1 183 311ampq是一个整数， 所以 1 181a，从而 1 1 18 a14分 又当 1 1 18 a时，有 13 1acZ. 综上： 1 a的最小值为 1 18 16分 11 数学附加题 21. 解：设直线l上任意一点 00 ,xy在矩阵 M 变换作用下变为,x y， 所以 0
18、 0 20 13 xx yy ，得： 0 00 2 3 xx xyy 因为20axby，所以 00 2320 *ab xby6分 00 ,xy为直线l上任意一点，所以*与 00 2220xy为同一方程， 所以 22 32 ab b ，所以 42 , 33 ab10分 22. 因为曲线C的极坐标方程是 2 2 4 cos23sin ， 所以 222222222 cos23sincossin3sincos2sin， 因为cos ,sinxy，所以 22 24xy， 所以曲线C的直角坐标方程为 22 1 42 xy 4分 因为直线l过点 2,0 ，且倾斜角为 0 60， 所以直线l的直角坐标方程为3
19、2 3yx6分 12 将直线l与曲线C联立方程组 22 32 3 1 42 yx xy 得： 2 7242071020xxxx， 所以2x或 10 7 x， 所以直线l与曲线C的交点为 104 3 2,0 , 77 所以直线 l被曲线 C截得的线段长为 2 2 104 38 2 777 10分 23. 因为抛物线 2 :20Cypx p的焦点是1,0F， 所以1 2 p ，即2p， 抛物线C的方程为 2 4yx2分 设 ABD的面积为 1 S，ABC的面积为 2 S 因为 00 180 ,180AFDBFDAFCBFC， 所以 1 2 11 sinsin 22 4 11 sinsin 22 A
20、FDFAFDBFDFBFD SDF SCF AFCFAFCBFCFBFC 4 分 4F DC F uuuruuur ，设 1122 ,C xyD xy，所以 21 21 2 11 2 22 14 1 4 4 4 xx yy yx yx 得： 2 11 2 11 454 4 yx yx ，所以 11 5416xx，所以 11 1 ,1 4 xy， 所以直线 2 l的方程为4340xy或4340xy10 分 24. 因为1423,1524,1625,1634,2534,2635， 3645， 所以(6)7f；同理：(7)13f2分 0 1当4n的偶数时，和acbds可以取以下值：5,6,1,23n
21、nLL，在s取定后，相应 的两个最小的加数取值分别有： 22222222222 223322 1111 22222 ,nnnnnCCCCCCCCCCCLL种取法， 13 因此，共有 222232 23 1 2222 225 44 24 nnnn n nn CCCCCCL种取法 5分 0 2当4n的奇数时，和acbdt可以取以下值：5,6,1,23nnLL，在s取定后，相应 的两个最小的加数取值分别有： 222222222 223311122 222 , nnn CCCCCCCCCLL种取法， 因此，共有 222232 231111 2222 2113 44 24 nnnn nnn CCCCCCL种取 法8分 综上所述： * 225 ,22 24 ( ) 2113 ,23 24 n nn nk f nkN nnn nk ， 10 分