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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案25 三角函数的性质第 49 页 25 三角函数的性质姓名 一、学习内容：必修第二册P3036； 高考调研 P63 二、课标要求： （1）了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期. （2）了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题. 三、基础知识 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的性质 函数正弦函数ysinx 余弦函数y=cosx 正切函数ytanx 图象 周期性周期 T周期 T周期 T 定义域 值域 值域： 当 x时 ymin ； 当 x时 ymax . 值域： 当 x时 ymin ； 当 x时 ymax . 值
2、域： 奇偶性 单调性 增区间 减区间 对 称 性 对称轴 对称中心 2.周期公式 函数=Asin()yx(0)的最小正周期=_T， 函数=A tan()yx(0)的最小正周期=_T. 3. （1） 研究三角函数的性质， 应先化简为只含一个函数的一次式的形式，如经常化为=Asin()yx 的形式，再把x看成一个整体. （2）研究函数=Asin()yx的单调性，应看成复合函数来考虑. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案25 三角函数的性质第 50 页 四、基础练习 1. （2012 大纲文） 若函数( )sin(0,2) 3 x f x是偶函数 , 则（C） A 2 B 2 3 C 3 2
3、D 5 3 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由( )sin(0,2) 3 x f x为偶函数可知,y轴是函数( )f x图像的对称轴, 而三 角函数的对称轴是在该函数取得最值时取得,故 3 (0)sin13() 3322 fkkkZ 3 13() 322 kkkZ, 而0,2, 故0k时, 3 2 , 故选答案 C. 2.（12 课标理）已知0, 函数( )sin() 4 f xx在(,) 2 上单调递减 . 则的取值范围是 （A） A 1 5 , 2 4 B 1 3 , 2 4 C 1 (0, 2 D(0, 2 解： 59 2(), 444 x不合题意
4、排除()D 35 1(), 444 x合题意排除( )()BC 另:()2 2 , 3 (), 424422 x 得: 315 , 2424224 3 （2013 大纲版（理） ） ）已知函数=cossin 2fxxx, 下列结论中错误的是 (A)yfx的图像关于,0中心对称 (B)yf x的图像关于直线 2 x对称 (C)fx的最大值为 3 2 (D)fx既奇函数 , 又是周期函数 【答案】C 4 （ 2013 江西（理） ）函数 2 sin 22 3sinyxx的最小正周期为T为_. 【答案】 5. （2012 北京理 15） 已知函数 (sincos )sin 2 ( ) sin xxx
5、 f x x . (1) 求( )f x的定义域及最小正周期; (2) 求( )f x的单调递增区间. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案25 三角函数的性质第 51 页 解: (sincos )sin 2 ( ) sin xxx fx x = (sincos )2sincos sin xxxx x =2(sincos )cosxxx= sin 21cos2xx =2sin(2)1 4 x,|,x xkkZ (1) 原函数的定义域为|,x xkkZ, 最小正周期为; (2) 原函数的单调递增区间为,) 8 kkkZ, 3 (, 8 kkkZ. 6.（ 2012 安徽理 16）设函数 22
6、 ( )cos(2)sin 24 f xxx (I) 求函数( )f x的最小正周期; (II)设函数( )g x对任意xR, 有()( ) 2 g xg x, 且当0, 2 x时 , 1 ( )( ) 2 g xf x, 求 函数( )g x在,0上的解析式 . 【解析】 22111 ( )cos(2)sincos2sin 2(1cos2 ) 24222 f xxxxxx 11 sin 2 22 x (I) 函数( )fx的最小正周期 2 2 T (2) 当0, 2 x时, 11 ( )( )sin2 22 g xf xx 当,0 2 x时 ,()0, 22 x 11 ( )()sin 2(
7、)sin 2 2222 g xg xxx 当,) 2 x时,()0,) 2 x 11 ( )()sin 2()sin 2 22 g xg xxx 得: 函数( )g x在,0上的解析式为 1 sin 2 (0) 22 ( ) 1 sin2 () 22 xx g x xx 。 7 （ 2013 安徽数（理） ）已知函数 ( )4cossin(0) 4 fxxx 的最小正周期为. ( ) 求的值; () 讨论( )fx在区间0,2上的单调性 . 【答案】解: ( )2) 4 2sin(2)12cos2(sin2)cos(sincos22xxxxxx 1 2 2 . 所以1,2) 4 2sin(2)
8、(xxf 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案25 三角函数的性质第 52 页 ( ) ；解得，令时，当 824 2 4 , 4 ) 4 2( 2 ,0xxxx 所以. 28 8 ,0)(上单调递减，上单调递增；在在xfy 8 （ 2013 上海（理） ）(6 分+8 分) 已知函数( )2sin()f xx, 其中常数0; (1) 若( )yf x在 2 , 43 上单调递增 , 求的取值范围 ; (2) 令2, 将函数( )yfx的图像向左平移 6 个单位 , 再向上平移1 个单位 , 得到函数( )yg x 的图像 , 区间 , a b(,a bR且ab) 满足 :( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点 , 在所有满足上 述条件的 , a b中, 求ba的最小值 . 【答案】(1) 因为0, 根据题意有 3 42 0 24 32 (2) ( )2sin(2)fxx,( )2sin(2()12sin(2)1 63 g xxx 1 ( )0sin(2) 323 g xxxk或 7 , 12 xkkZ, 即( )g x的零点相离间隔依次为 3 和 2 3 , 故若( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点 , 则ba的最小值为 243 1415 333 .