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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 157 页 71 空间向量及运算 一、学习内容：选修2-1 P102113 二、课标要求： 1了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，能判断向量的共线 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的垂直 三、基础知识 1把空间中具有和的量叫向量 2 (1) 共 线 向 量 定 理 ： 对 于 空 间 任 意 两 个 向 量a ， b(b0) ， a b 的 充 要 条 件 是. (2)共面向量定理：如果两个向量a、b 不共线，则
2、向量p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实 数对 x、y，使 _ _. 3空间向量基本定理 如果三个向量a、b、 c 不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x， y， z， 使. 推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、 z，使 OP . 4两个向量的数量积非零向量a、b 的数量积： a b 向量的数量积的性质： a e（e 为单位向量） ； ab?； |a|2. 向量的数量积满足如下运算律： ( a) b； a b(交换律 )； a (bc)(分配律 ) 5空间向量的直角坐标运算 设 a(a1， a2，a3)，b(b1，b2
3、，b3)则 ab； ab； a b，特殊地a a； ab?； ab?； A(x1，y1，z1)， B(x2，y2，z2)，AB OB OA _. 6向量 a 与 b的夹角 设 a(a1， a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 Cos . 7两点距离公式 设 A(x1， y1， z1)，B(x2，y2，z2)为空间两点，则 |AB |AB AB . 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 158 页 四、典型例题分析 1在平行六面体ABCDA BCD中，设 AC xAB 2yBC 3zCC ，xyz() A. 11 6 B.5 6 C.2 3 D.7 6 答案A 解析A
4、C AB BC CC ，故 x1，y1 2，z 1 3，从而 xyz 11 6 . 2、.如上图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设 AA1 a，AB b，AD c，M，N，P 分别是 AA1， BC，C1D1的中点，试用 a， b，c 表示以下各向量： (1)AP (2)A1N (3)MP NC1 【思路】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可 【答案】(1)ac1 2b (2)ab 1 2c (3)3 2a 1 2b 3 2c 【解析】(1)P 是 C1D1的中点， AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 ac 1 2AB ac 1 2b. (2)N
5、 是 BC 的中点， A1N A1A AB BN ab1 2BC ab 1 2AD ab 1 2c. (3)M 是 AA1的中点， MP MA AP 1 2A 1A AP 1 2a(a c 1 2b) 1 2a 1 2b c， 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca， MP NC1 (1 2a 1 2bc)(a 1 2c) 3 2a 1 2b 3 2c. 3、 【2012 上海理 19 改编】 （6+6=12 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形，PA 底面ABCD，E是PC的中点，已知 2AB ，22AD， 2PA ，求： （2）异面直线BC
6、与AE所成的角的大小。 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 159 页 【答案】 【解析】（1） PA底面 ABCD ， PACD， 又 CDAD， CD平面 PAD， CD PD， 又32)22(2 22 PD ，CD=2 ， PCD 的面积为32322 2 1 。 （2）解法一：取PB 的中点 F，连接 EF,AF, 则 EF BC， AEF(或其补角 )是异面直线 BC 与 AE 所成的角。 在 ADF 中， EF=2、AF=2,AE=2 ， AEF 是等腰直角三角形， AEF= 4 ， 异面直线BC 与 AE 所成的角大小为 4 。 解法二：如图所示，建立空间
7、直角坐标系， 则 B(2,0,0),C(2 ，22,0),E(1，2,1)，AE=(1，2,1)，BC=(0,22,0), 设AE与BC的夹角为，则 ACAE ACAE cos= 2 2 222 4 , 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 160 页 又 0 2 ，= 4 。 【点评】 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力综 合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用. 本题源于 必 修 2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间 想象能力，属于中档题 五、
8、基础练习 1有 4 个命题： 若 pxayb，则 p 与 a、b 共面；若p 与 a、b 共面，则p xayb； 若 MP xMA yMB ，则 P、M、A、B 共面；若P、M、A、B 共面，则 MP xMA yMB . 其中真命题的个数是() A1 B2 C 3 D4 答案B 解析正确，中若 a， b共线，p 与 a 不共线，则 pxayb 就不成立 正确 中若 M，A，B 共线，点P 不在此直线上，则MP xMA yMB 不正确 2.【 2012 陕西理 5】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCA B C， 1 2CACCCB，则 直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为
9、（） A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D. 3 5 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 161 页 【答案】 A. 【解析】设aCB |，则aCCCA2| 1 ，),2,0(),0,2,0(),0,0(),0, 0,2( 11aaBaCaBaA ， ),2 ,0(),2,2( 11 aaBCaaaAB， 5 5 | ,cos 11 11 11 BCAB BCAB BCAB，故选 A. 3.已知正四面体ABCD 的棱长为1，点 F、G 分别是 AD，DC 的中点，则 FG BA 等于 () A. 1 4 B 1 4 C. 3 4 D 3 4 答案B 解析F
10、G 1 2AC 1 2(BC BA )， FG BA 1 2(BC BA ) BA 1 2(BC BA BA2 ) 1 2( 1 21) 1 4. 4若向量 a(1， ，2)，b(2， 1,2)，且 cosa，b 8 9，则 ( ) A2 B 2 C 2 或 2 55 D2 或 2 55 答案C 解析由已知 cosa，b a b |a|b|，所以 8 9 2 4 5 29，解得 2 或 2 55. 5在空间四边形ABCD 中， AB CD AC DB AD BC () A 1 B0 C1 D不确定 思路数形结合法，用特殊图形(如正四面体 )计算， 或在一般图形中，选取基向量，用基底表示 题中向
11、量，然后再计算 答案B 解析方法一：如图在空间四边形ABCD 中，连接对角线AC，BD，得三棱锥A BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体， 正四面体的对棱互相垂直， AB CD 0，AC DB 0，AD BC 0. 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 162 页 AB CD AC DB AD BC 0. 方法二：在方法一的图中， 选取不共面的向量AB ，AC ，AD 为基底， 则原式AB (AD AC ) AC (AB AD ) AD (AC AB ) AB AD AB AC AC AB AC AD AD AC AD AB 0. 6、 （ 2013 江苏） 如图
12、 , 在直三棱柱 111 A B CABC中,ACAB,2ACAB,4 1 AA, 点D是BC的中点 (1) 求异面直线BA 1 与DC1所成角的余弦值 【答案】本题主要考察异面直线. 二面角 . 空间向量等基础知识以及基本运算, 考察运用空间向量 解决问题的能力. 解:(1) 以 1 ,AAACAB为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyzA, 则)0,0,0(A)0,0,2(B,)0 ,2,0(C,)4,0,0( 1 A,)0, 1 , 1 (D,)4, 2,0( 1 C )4,0,2( 1B A,)4, 1, 1( 1B A 10 103 1820 18 ,cos 11 11 11 DCB
13、A DCBA DCBA 异面直线BA1与DC1所成角的余弦值为 10 103 7.如图，在空间直角坐标系中，BC2，原点 O 是 BC 的中点，点A 的坐标为 ( 3 2 ， 1 2，0)，点 D 在平面 yOz 上，且 BDC 90 ， DCB30 . 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 163 页 (1)求|AD |； (2)求 cosAD ，BC 【解析】(1)如图，过D 作 DEBC，垂足为 E. 在 RtBCD 中，由 BDC90 ，DCB30 ，BC 2， 得 BD1，CD3， 所以 DE CD sin30 3 2 ， OE OBBD cos60 1 1 2 1 2. 所以 D 点坐标为 (0， 1 2， 3 2 )，所以 AD ( 3 2 ， 1， 3 2 )， 所以 |AD | 3 2 2 12 3 2 2 10 2 . (2)又因为 B(0， 1,0)，C(0,1,0)， 所以 BC (0,2,0)，|BC |2， 故AD BC 3 2 0(1)2 3 2 0 2， 所以 cosAD ，BC AD BC |AD |BC | 2 10 1 5 10.