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1、- 1 - 基本不等式 一、知识回顾 1. 几个重要不等式 （1）0,0|, 2 aaRa则若 （2） 2222 ,2(2| 2)abRababababab若 、则或 （当仅当a=b 时取等 号） （3）如果a,b都是正数，那么 . 2 ab ab （当仅当 a=b 时取等号） 最值定理：若,x yRxyS xyP则： 1 如果 P是定值, 那么当x=y时， S的值最小； 2 如果 S是定值 , 那么当x=y时， P 的值最大 . 注意： 1前提： “一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选 择恰当的公式； 2 “和定积最大，积定和最小”，可用来求最值； 3均
2、值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 3 , 3 abc abcRabc(4) 若 、 、则（当仅当a=b=c 时取等号） 0,2 ba ab ab (5) 若则（当仅当a=b 时取等号） 2. 几个著名不等式 （1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么 22 2 . 11 22 abab ab ab （当仅当 a=b 时取等号） （2）柯西不等式： 时取等号当且仅当 （ 则若 n n nnnn nn b a b a b a b a bbbbaaaababababa RbbbbRaaaa 3 3 2 2 1 1 22 3 2 2 2 1 22 3 2 2 2 1
3、 2 332211 321321 )() ;, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点 1212 ,(),x xxx有 12121212 ()()()() ()() 2222 xxf xf xxxfxfx ff或 则称 f(x)为凸（或凹）函数. 二、基本练习 - 2 - 1、 （05 福建卷）下列结论正确的是（） A当 1 01,lg2 lg xxx x 且时 B 1 0,2xx x 当时 C x xx 1 ,2时当 的最小值为2 D当 x xx 1 ,20时 无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是（） A x xy 2 B)0(
4、sin 2 sinx x xy C xx eey2D2log2log2 x xy 3、设0ba，则下列不等式成立的是（） A ba ab2 ab ba 2 B ab ba 2ba ab2 C 2 ba ba ab2 abD ba ab2 2 ba ab 5、若, 2 1 0a则下列不等式中正确的是（） Alog (1)1 a a B xx a) 2 1 ( C)1cos()1cos(aa D nn aa)1( 6、若实数a、b 满足的最小值是则 ba ba22, 2（） A 8 B4 C22D 4 22 7、函数1 1 1 2 2 x xy的值域为 8、已知x0，y0且x+y=5，则 lgx+
5、lgy的最大值是 若正数,a b满足3abab，则ab的取值范围是_. 三、例题分析 例 1、已知x0，y0且x+2y=1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值 例 2 例 3、已知0a，求函数 2 2 1xa y xa 的最小值。 例 4、设001,abab，求证： - 3 - （1） 111 8 abab ；（ 2） 22 1125 2 ()()ab ab ； （3）12a12b22（ 4）(1 2 1 a )(1 2 1 b ) 9 （5）) 1 )( 1 ( b b a a 4 25 例 5、 （ 05 江苏卷） 设数列an的前项和为 n S, 已知a1=1, a 2=6, a
6、3=11, 且 n a , ,3 ,2, 1n ( ) 求数列an的通项公式; ( ) 证明不等式51 mnmn aa amn对任何正整数、 都成立. 四、同步练习基本不等式 1、若 a、 b R ，1)(baab，则ba的最小值是（） A）222 B）25 C）222 D ）22 2、函数 xx y 2 sin 9 2 cos 4 的最小值是（） A）24 B ）13 C）25 D ）26 3、已知 =lga 2 lgb 2 ,=lg(ab) 2 , =lg(a 2 +b 2 ) 2 , 其中 a0、b0、a 2 +b 2 1且 ab 则、 的大小顺序为（） A) B) C) D) 4、某公
7、司租地建仓库，每月士地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费 y 2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 公里处建仓库，这这两项费用y1和 y 2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 A)5 公里处 B) 4公里处 C) 3公里处 D) 2公里处 - 4 - 5、设01x，则 1 21 1 ,ax bx c x 中最大的一个是（） A.a B. b C. c D. 不能确定 6、一批救灾物资随17 列火车以v 千米 / 小时的速度匀速直达400 千米处的灾区，为了安全起 见，两辆火车的间距不得小于 2 ) 20 ( v 千米，问这批
8、物资全部运到灾区最少需要_小时 . 7、 知 x、y R ，则使 yxtyx 恒成立的实数t的取值范围是_. 8、已知0,0 ba且 1 2 2 2 b a ，求 2 1ba的最大值 _. 9、设实数x,y,m,n满足条件1 22 nm，9 22 yx，求nymx的最大值。 10、若a，b，c是互不相等的正数，求证： 222222444 accbbacba)(cbaabc 11、已知a、b、c是不全相等的正数，求证：3 c cba b bac a acb 12、已知 a、b、cR,求证)(2 222222 cbaaccbba 答案 ACBAC 7 、8. 8、2,). 9 、 3 2 . 4