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1、用心爱心专心 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 2003 年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一 般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质. 定理 1：在圆锥曲线中，过弦AB中点 M任作两条弦CD和 EF ，直线 CE与 DF交直线 AB于 P，Q，则有 MQMP . 证明 ：如图 1，以 M为原点， AB所在的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为0 22 FEyDxCyBxyAx(*) ，设 A （0，t ） ，B （0，-t ） ， 知 t ，-t 是0 2 FEyCy的两个根，所以0E. 若 CD ，EF有一条斜率不存
2、在，则P，Q与 A，B 重合，结 论成立 . 若 CD ，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D （x2，k1x2） ， E（ x3， k2x3） , F（ x4,k2x4） ， P（ 0 ， p ） ， Q（ 0 ， q） ， 111 13 1132 )(:xkxx xx xkxk yCE, 13 2131 111 13 1132 )( )0( xx kkxx xkx xx xkxk p ,同理 24 2142 )( xx kkxx q, 所以 )()( )()()( 1324 4321214321 xxxx xxxxxxxxkk qp 将xky 1 代 入 (*)得0)()( 1 2
3、 2 11 FxEkDxCkBkA, 又0E得 2 11 21 CkBkA D xx, 2 11 21 CkBkA F xx , 同 理 2 22 43 CkBkA D xx, 2 22 43 CkBkA F xx，所以 0qp ，即MQMP. 注 :2003 年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1 中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行 长轴的弦的特殊情形. 定理 2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M ，过 M的直线 l AB ，过 M任作两条 弦 CD和 EF ，直线 CE与 DF交直线 l 于 P，Q，则有MQMP. 证明 ：如图 2，以 M为原点， AB所在的直线为y 轴，建立
4、直角坐标系. F E M P Q D C B A y x 图 1 用心爱心专心 设圆锥曲线的方程为 0 22 FEyDxCyBxyAx(*) ， 设 A（ 11, y x ） ， B（ 21, y x ） ，则切线MA的方 程是0 22 11 Fy E x D ，切线 MB的方程 是0 22 21 Fy E x D ，得 0)( 21 yyE，所以0E. （下面与定理1 的证明相同，略） 特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD ，EF 是其焦点轴，则直线 CE 、DF 的连线
5、交点G在直线 l ： m a x 2 上. 特别的，当M为焦点时， l 就是准线 .当 M为准线 与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线. 证明 ：如图 3，过 M做直线 AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与 DF交直线 AB于 P，Q， 则根据定理1，定理 2 得MQMP. 过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H，得 FH FM HG MQ HG MP HE EM ，设M （m ，0） ，H （n，0） ，焦点轴长为2a，则有 na ma na ma ， 得 2 amn. 注 : 性质 1 就是文 1 中的性质 1，文 2 中的推论2. 若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把
6、图3 中的 DF 看作与焦点轴平行的 直线，于是得到性质2. 性质 2：过点 M （m ，0）做抛物线pxy2 2 的弦 CD ，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物 线的对称轴平行，则直线CE 、DF的连线交点在直线l ：mx上. 特别的，当M为焦点时， l 就是准线 . 当 M为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线. 注 :2001 年全国高考数学卷第18 题，就是性质2 中 M为焦点的情形. 性质 2 就是文 1 中 的性质 2，文 2 中的推论1. F E M P Q D C B A y x 图 2 y H G OF E M P Q D C B A x 图 3 用心爱心专心 性质 3
7、：直线 l ： m a x 2 ，过点 M （m ，0）做椭圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD ，直线 l 与 CD交于点 I ，则 DI DM CI CM . 证明 ：如图4，由定理1，定理 2 及性质1 得： DI DM IG MQ IG MP CI CM . 性质 4： 过点 M （m ， 0） 做椭圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD 、EF，则直线CE 、DF 的连线交点G在直线 l ： m a x 2 上. 证明 ： 如图 5， 过 G做 GH垂直焦点轴所在的直线， 由定理 1， 定理 2 得： DI DM IG MQ IG MP CI C
8、M ， 由性质 3 得，点 I 在直线 l ： m a x 2 上，所以点G在 直线 l ： m a x 2 上. 类似性质3、性质 4 得到性质5、性质 6. 性质 5：直线 l ：mx，过点 M （m ，0）做抛物线pxy2 2 的弦 CD ，直线 l 与 CD交 于点 I ，则 DI DM CI CM . 性质 6：过点M （m ，0）做抛物线pxy2 2 的弦 CD 、EF，则直线CE 、DF的连线交点G 在直线 l ：mx上. 注 : 文 3 中的定理是性质4、性质 6 的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE 、DF的连线 交点 G落在相应准线上. 性质 7：过点 M （m ，0）做椭
9、圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD ，则以 C ， D 为切点的圆锥 I y H G O F E M P Q D C B A x 图 4 图 5 E I y H G O F M P Q D C B A x 用心爱心专心 曲线的切线的交点G在直线 l ： m a x 2 上. 证明 ：如图 6，设切线 CG交直线 l 于 G1，连接 G1D， 若 G1D 与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交 圆锥曲线于E，由性质4 知 CE与 DF的交点在直线l 上， 所以 C、E、G1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾， 所以 G1D 与圆锥曲线只有一个公共点D，G1D 是
10、圆锥曲线 的切线， G1与 G重合， G 在直线 l 上. 性质 8：过点M （m ，0）做抛物线pxy2 2 的弦 CD ，则以C，D 为切点的圆锥曲线的切 线的交点G在直线 l ：mx上. 注 : 性质 7、性质 8 也是性质4、性质 6 的一种极端情形，就是文4 中的定理1. 性质9：直线 l ： m a x 2 ，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD ，C、D 在 l 上的射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则 2 1 2 1 DD DD CC CC . 证明：如图7 ，由性质3得： 2 2 1 1 CC DD DI CI
11、 DM CM DD CC , 所以 2 1 2 1 DD DD CC CC . 性质 10：直线 l ：mx，过点 M （ m ，0）做抛物线 pxy2 2 的弦 CD ，C、D 在 l 上的射影为C1、D1，在对称 轴上的射影为C2、D2，则 2 1 2 1 DD DD CC CC . 注 : 性质 9、10 即文 5 中的定理1、2、3，文 5 中的推论也可由性质3、5 直接推出 . 性质 11：在圆锥曲线中，过弦AB中点 M任作两 条弦 CD和 EF，直线 CE与 DF交于点 G ，过 G做 GI AB ，直线 GI 交 FE于 I ，则 FI FM EI EM . 证明 ：如图 8，直
12、线 CE与 DF交直线 AB于 P，Q， y H G O F M D C x 图 6 I y D2 O F C2 M C1 D C D1 x 图 7 I G F E M P Q D C B A 图 8 用心爱心专心 由定理 1 得：MQMP, 所以 FI FM IG MQ IG MP EI EM . 性质 12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M ，过 M任作两条弦CD和 EF ，直线 CE与 DF交于点 G ，过 G做 GIAB ，直线 GI 交 FE于 I ，则 FI FM EI EM . 性质 11，12 可认为是性质1，2，3，5 的推广，从性质11，12 出发可以得到类似性质4， 6，7，8，9，10 的结论，限于篇幅，本文不再给出。 参考文献 1 金美琴 . 二次曲线的定点弦. 数学通报， 2003，7 2 陈天雄 . 一道高考解析几何试题的引申和推广. 数学通报， 2002，6 3 廖应春 . 圆锥曲线焦点弦的一个性质. 数学通报， 2003，4 4 李笛淼 . 圆锥曲线的两个性质. 数学通报， 1999，2 5 姜坤崇 . 姜男 . 圆锥曲线的一个有趣性质极其推论. 数学通报， 2003，7