2018版高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案北师大版.pdf

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1、3.2.3 互斥事件 1了解互斥事件的概念及概率加法公式 2理解互斥事件和对立事件的区别和联系 3掌握对立事件的概率及概率的计算公式( 难点 ) 4 能利用互斥事件、 对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题( 难点 ) 基础初探 教材整理 1 互斥事件 阅读教材 P138P140“例 5”以上部分，完成下列问题 1互斥事件的定义 在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件 2事件A与B至少有一个发生 给定事件A，B，我们规定AB为一个事件，事件AB发生是指事件A和事件B至少 有一个发生 根据上述定义推广可得：事件A1A2An表示在一次随机试验中，事件

2、A1，事件 A2，事件An中至少有一个发生 3互斥事件的概率加法公式 一般地，如果事件A，B互斥，那么事件AB发生 (即A，B中至少有一个发生) 的概率 等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB) P(A) P(B) 这个公式称为互斥事件的 概率加法公式 如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件A1A2An发生 ( 即A1，A2，An 中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2A_n) P(A1) P(A2) P(An) 判断 (正确的打“”，错误的打“”) (1) 已知事件A与B，则P(AB) P(A) P(B) ( ) (2) 若三个事件A，B，C两两

3、互斥，则P(A) P(B)P(C) 1.( ) (3) 袋子中装有白球3 个， 黑球 4 个，从中任取3 个，“恰有一个白球”和“全是白球” 是互斥事件( ) 【解析】(1) ，A与B互斥时P(AB)P(A) P(B) (2) ，P(A) P(B) P(C) 的值不确定 (3) ，恰有一个白球与全是白球是互斥事件 【答案】(1) (2) (3) 教材整理 2 对立事件及其概率的求法公式 阅读教材 P140“例 5”至 P143“练习”以上部分，完成下列问题 1定义 在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生， 并且一定有一个发生，那么事件 A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A. 2

4、性质 P(A) P(A) 1，即P(A) 1P(A) 判断 (正确的打“”，错误的打“”) (1) 事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件( ) (2) 事件A与B若满足P(A) P(B) 1，则A，B是对立事件 ( ) (3) 若事件A与B互为对立事件，则A与B互斥 ( ) 【解析】(1) ，A与B不一定对立 (2) ，例如a，b，c，d四个球，选中每个球的概率相同，事件A为选中a，b两个球， 则P(A) 1 2；事件 B为选中b，c两个球，则P(B) 1 2，则 P(A) P(B) 1，但A，B不是对 立事件 (3) ，对立事件一定是互斥事件 【答案】(1) (2) (3) 小组合作

5、型 互斥事件与对立事件的判断 某小组有3 名男生和 2 名女生，从中任选2 名同学参加演讲比赛判断下列各 对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件 (1) 恰有 1 名男生与恰有2 名男生； (2) 至少 1 名男生与全是男生； (3) 至少 1 名男生与全是女生 【精彩点拨】要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果， 看它们之间能不能同时发生在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是 否为对立事件 【自主解答】从 3 名男生和2 名女生中任选2 名同学有 3 类结果： 两男或两女或一男 一女 (1) 因为恰有1 名男生与恰有2 名男生不可能同时发

6、生，所以它们是互斥事件但不是对 立事件； (2) 当恰有 2 名男生时，至少1 名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件 (3) 因为至少1 名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件，由于它们必 有一个发生，所以它们是对立事件 1判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生若能同时发生，则这两 个事件不是互斥事件；若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件 2判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生； 二是必有一个发生这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不 成立，那么这两个事件就不是对立事件 再练一题 1判断下列给出的条

7、件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40 张扑克 牌( 红桃、黑桃、方块、梅花点数从110 各 10 张 ) 中任取一张 (1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3) “抽出的牌的点数为5 的倍数”与“抽出的牌的点数大于9” 【解】(1) 是互斥事件， 不是对立事件 从 40 张扑克牌中任意抽取1 张， “抽出红桃” 和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件 同时，不能保证其中必有一个发生， 这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件 (2) 既是互斥事件，又是对立事件从40 张扑克牌中，任意抽取1 张，“抽出红

8、色牌” 与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事 件，又是对立事件 (3) 不是互斥事件， 当然不可能是对立事件从 40 张扑克牌中任意抽取1 张，“抽出的 牌的点数为5 的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数 为 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件 互斥事件的概率 袋中有12 个相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球， 得到红球的概率是 1 3，得到黑球或黄球的概率是 5 12，得到黄球或绿球的概率也是 5 12. 【导学号： 63580039】 (1) 求得到黑球、得到黄球及得到绿球的概率

9、； (2) 求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率 【精彩点拨】从 12 球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件 概率的加法公式求解 【自主解答】(1) 从袋中任取一球，记事件A为“得到红球”，B为“得到黑球”，C 为“得到黄球”，D为“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥 由已知P(A) 1 3， P(BC) P(B)P(C) 5 12， P(CD) P(C)P(D) 5 12， P(BCD) 1P(A) 1 1 3 2 3. B与CD，BC与D也互斥， P(B) P(BCD) P(CD) 2 3 5 12 1 4， P(D) P(BCD) P(BC) 2 3 5 12

10、 1 4， P(C) 1P(ABD) 1(P(A)P(B) P(D) 1 1 3 1 4 1 4 15 6 1 6. 故得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 1 4， 1 6， 1 4. (2) 得到的球既不是黑球也不是绿球， 得到的球是红球或黄球，即事件AC， P(AC) P(A) P(C) 1 3 1 6 1 2， 故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为 1 2. 1解决本题的关键是明确取到不同颜色的球不可能同时发生，即互斥由此可知用概 率加法公式求解 2若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥( 或对立 ) ，若是， 可利用互斥事件概率的加法公式求解当某一事件包含

11、几个互斥的事件时，求该事件发生的 概率也用上述规律 再练一题 2向三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率是0.025 ，炸中其他 两个的概率都是0.1. 已知只要炸中一个，另外两个都会爆炸求这三个军火库都爆炸的概 率和都没有爆炸的概率 【解】设以A，B，C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库的事件，则P(A) 0.025 ， P(B) P(C) 0.1. 由题意知A，B，C两两互斥， 且“三个军火库都爆炸”意味着炸弹炸中其 中任何一个 设D表示事件“三个军火库都爆炸”，则DABC，其中A，B，C两两互斥所以 P(D) P(ABC) P(A) P(B) P(C) 0.025 0.1

12、 0.1 0.225. 所以，三个军火库都没有爆炸的概率为1P(D) 0.775. 探究共研型 对立事件的概率与求法 探究 1 若令A“小明考试及格”，A“小明考试不及格”，则事件A与事件A能 不能同时发生，或者都不发生？为什么？ 【提示】不可能同时发生，由于事件A与A是互斥事件，所以不可能同时发生，事 件A与A也不可能都不发生，因为一次考试中，小明的成绩要么及格，要么不及格，二者 必居其一，故A与A必有一个发生 探究 2 将一枚质地均匀的骰子随机抛掷一次，观察骰子向上一面的点数设U“出 现点数的全体”，A“出现的点数是偶数”，B“出现的点数是奇数”，则A，U是互斥 事件吗？A，B是互斥事件吗

13、？B，U是互斥事件吗？” 【提示】A，U不是互斥事件，A，B是互斥事件，B，U不是互斥事件 一盒中装有各色球12 个，其中5 个红球、 4 个黑球、 2 个白球、 1 个绿球从 中随机取出1 球，求： (1) 取出 1 球是红球或黑球的概率； (2) 取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 【精彩点拨】先设出有关的互斥事件，然后把所求事件的概率转化为求某些互斥事件 和的概率，另外也可考虑用古典概型以及对立事件来解决 【自主解答】法一：利用等可能事件求概率 (1) 从 12 个球中任取1 球得红球有5 种取法，得黑球有4 种取法，得红球或黑球共有5 49( 种) 不同取法，任取1 球有 12 种取

14、法 任取 1 球得红球或黑球的概率为P1 9 12 3 4. (2) 从 12 个球中任取一球得红球有5 种取法，得黑球有4 种取法，得白球有2 种取法从 而得红球或黑球或白球的概率为 542 12 11 12. 法二：利用互斥事件求概率 记事件A1 任取 1 球为红球 ；A2任取 1 球为黑球 ； A3 任取 1 球为白球 ；A4任取 1 球为绿球 ，则P(A1) 5 12，P (A2) 4 12，P (A3) 2 12， P(A4) 1 12. 根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1) 取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2) P(A1) P(

15、A2) 5 12 4 12 3 4. (2) 取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3) P(A1) P(A2) P(A3) 5 12 4 12 2 12 11 12. 法三：利用对立事件求概率的方法 (1) 由法二知，取出1 球为红球或黑球的对立事件为取出1 球为白球或绿球，即A1A2 的对立事件为A3A4. 所以取得1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2) 1P(A3A4) 1P(A3) P(A4) 1 2 12 1 12 9 12 3 4. (2)A1A2A3的对立事件为A4，所以 P(A1A2A3) 1P(A4) 1 1 12 11 12. 求复杂事件的概率通常有两种

16、方法： 将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件； 若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对 立面的分类较少， 可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反” . 它常用来求“至少” 或“至多”型事件的概率. 再练一题 3据统计，某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下表： 排队人数012345 人及 5 人以上 概率0.10.160.30.30.10.04 (1) 求至多 2 人排队等候的概率； (2) 求至少 2 人排队等候的概率 【解】记在窗口等候的人数为0,1,2分别为事件A，B，C，则A，B，C两两互斥 (1) 至多2 人排队等候的概率是P(ABC) P

17、(A)P(B) P(C) 0.1 0.16 0.3 0.56. (2) 至少 2 人排队等候的反面是“等候人数为0 或 1”，而等候人数为0 或 1 的概率为 P(AB) P(A) P(B) 0.1 0.16 0.26 ，故至少2 人排队等候的概率为10.26 0.74. 1从一批产品中取出三件产品，设A“三件产品全不是次品”，B“三件产品全是 次品”，C“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是正确的( ) AA与C互斥BB与C互斥 C任何两个都互斥D任何两个都不互斥 【解析】由题意可知，事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥 【答案】C 2从 1,2,3 ， 9 中任取两数

18、，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一 个奇数和两个都是奇数；至少有一个奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数和至少有一 个偶数 在上述事件中，是对立事件的是( ) AB CD 【解析】从 19 中任取两个数，有以下三种情况 (1) 两个均为奇数，(2) 两个均为偶数，(3) 一个奇数和一个偶数，故为对立事件 【答案】C 3某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品从一箱产品中随机抽取 1 件进行检测，若“抽到一等品”的概率为0.65 ，“抽到二等品”的概率为0.3 ，则“抽到 不合格品”的概率为_ 【解析】考查互斥事件的概率公式 P(AB) 0.65 0.3 0.95. P(C)

19、1P(AB) 0.05. 【答案】0.05 4中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率 为 3 7，乙夺得冠军的概率为 1 4，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为 _ 【解析】由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥， 所以由互斥事件概率的加法 公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 3 7 1 4 19 28. 【答案】 19 28 5在数学考试中，小明的成绩在90 分以上 ( 含 90 分) 的概率是 0.18 ，在 80 分 89 分 的概率是0.51 ，在 70 分

20、79 分的概率是0.15 ，在 60 分 69 分的概率是0.09 ，在 60 分以 下的概率是0.07. (1) 求小明在数学考试中，取得80 分以上 ( 含 80 分)成绩的概率； (2) 求小明考试及格的概率 【解】分别记小明的成绩“在90 分以上”“在80分 89分”“在 70 分 79分”“在 60 分 69 分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥 (1) 小明的成绩在80 分以上的概率是P(BC) P(B) P(C) 0.18 0.51 0.69. (2) 小明考试及格的概率是P(BCDE) P(B)P(C) P(D) P(E) 0.18 0.51 0.15 0.09 0.93.