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1、第二章测试 (时间： 120分钟满分： 150分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1已知抛物线的准线方程为x 7，则抛物线的标准方程为 () Ax228yBy228x Cy 228x Dx228y 解析由条件可知 p 2 7，p14，抛物线开口向右，故方程为 y228x. 答案B 2设 P 是椭圆 x 2 25 y 2 161 上的点若 F1，F2 是椭圆的两个焦点， 则|PF1|PF2|等于() A4 B5 C8 D10 解析由题可知 a5，P 为椭圆上一点， |PF1|PF2|2a10. 答案D 3双曲
2、线 3mx 2my23 的一个焦点是 (0,2)，则 m 的值是 ( ) A1 B1 C 10 20 D. 10 2 解析把方程化为标准形式 x2 1 m y2 3 m 1， a2 3 m ，b2 1 m. c2 3 m 1 m4， 解得 m1. 答案A 4椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上一点 P 到两焦点的距离之积为m，则 m 取 最大值时， P 点坐标是 () A(5,0)或(5,0) B(5 2， 3 3 2 )或(5 2， 3 3 2 ) C(0,3)或(0，3) D(5 3 2 ， 3 2)或( 5 3 2 ， 3 2) 解析|PF1|PF2|2a10， |PF1| |PF2|
3、(|PF 1|PF2| 2 )225. 当且仅当 |PF1|PF2|5 时，取得最大值， 此时 P 点是短轴端点，故选C. 答案C 5(2010 天津)已知双曲线 x2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方 程是 y3x，它的一个焦点在抛物线y224x 的准线上，则双曲线的 方程为 () A. x 2 36 y 2 108 1 B.x 2 9 y 2 271 C. x2 108 y 2 361 D. x2 27 y2 9 1 解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属 于容易题 依题意知 b a 3， c6， c2a2b2， ? a 29，b227， 所以双曲线的方程为
4、x 2 9 y 2 271. 答案B 6在 y2x 2 上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离 之和最小，则点 P 的坐标是 () A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 解析如图所示，直线 l 为抛物线 y2x2的准线， F 为其焦点， PNl，AN1l， 由抛物线的定义知， |PF|PN|， |AP|PF|AP|PN|AN1|， 当且仅当 A，P，N 三点共线时取等号， P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为1， 则可排除 A、C、D 项，故选 B. 答案B 7已知抛物线的顶点为原点， 焦点在 y 轴上，抛物线上点 M(m， 2)到焦点的距离为 4，则 m
5、 的值为() A4 或4 B2 C4 D2 或2 解析由题可知， p 2(2)4，p4. 抛物线的方程为x28y. 将(m，2)代入可得 m216， m 4.故选 A. 答案A 8设双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的离心率为3，且它的一个焦 点在抛物线 y 212x 的准线上，则此双曲线的方程为 () A. x 2 5 y 2 6 1 B.x 2 7 y2 5 1 C.x 2 3 y 2 6 1 D.x 2 4 y 2 3 1 解析抛物线 y212x 的准线方程为 x3， 由题意，得 c3， c a 3， c 2a2b2. 解得 a23，b26， 故所求双曲线的方程为 x
6、2 3 y 2 61. 答案C 9动圆的圆心在抛物线y 28x 上，且动圆恒与直线 x20 相 切，则动圆必过点 () A(4,0) B(2,0) C(0,2) D(0，2) 解析直线 x20 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上， 由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0) 答案B 10椭圆 x2 a 2 y2 b21(ab0)上任意一点到两焦点的距离分别为 d1，d2，焦距为 2c，若 d1,2c，d2成等差数列， 则椭圆的离心率为 () A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D.3 4 解析由椭圆的定义可知d1d22a， 又由 d1,2c，d2成等差数列， 4cd1d22a，e
7、 c a 1 2. 答案A 11已知 F 是抛物线 y 1 4x 2 的焦点，P 是该抛物线上的动点， 则 线段 PF 中点的轨迹方程是 () Ax2y 1 2 Bx22y 1 16 Cx22y1 Dx22y2 解析由 y1 4x 2? x24y，焦点 F(0,1)， 设 PF 中点 Q(x，y)、P(x0，y0)， 则 2x0x0， 2y1y0， 4y0x2 0， x22y1. 答案C 12已知 F1，F2是双曲线 x2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点， P 为 双曲线左支上一点，若 |PF2| 2 |PF1| 的最小值为8a，则该双曲线的离心率的 取值范围是 () A(1,
8、3) B(1,2) C(1,3 D(1,2 解析 |PF2| 2 |PF1| |PF1|2a 2 |PF1| |PF1| 4a2 |PF1|4a8a， 当|PF1| 4a 2 |PF1|，即|PF1|2a 时取等号 又|PF1|ca，2aca. c3a，即 e3. 双曲线的离心率的取值范围是(1,3 答案C 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确 答案填在题中横线上 ) 13 (2010 福建)若双曲线 x2 4 y2 b21(b0)的渐近线方程为 y 1 2x， 则 b 等于_ 解析由题意知 b 2 1 2，解得 b1. 答案1 14若中心在坐标原点，对称轴为
9、坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离 心率为 3 2 ，则椭圆的标准方程为 _ 解析若焦点在 x 轴上，则 a4， 由 e 3 2 ，可得 c2 3， b2a 2c216124， 椭圆方程为 x2 16 y2 4 1， 若焦点在 y 轴上，则 b4， 由 e 3 2 ，可得 c a 3 2 ，c2 3 4a 2. 又 a2c2b2， 1 4a 216，a264. 椭圆方程为 x 2 16 y 2 641. 答案 x 2 16 y 2 641，或 x 2 16 y 2 4 1 15 设 F1和 F2是双曲线 x2 4 y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上， 且满足 F1PF290 ，则F1PF2的
10、面积为 _ 解析由题设知 |PF1|PF2|4， |PF1| 2|PF 2| 220， ) 2 得|PF1| |PF2|2. F1PF2的面积 S 1 2|PF1| |PF2|1. 答案1 16过双曲线 C： x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一个焦点作圆 x2y2 a 2 的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120 (O 是坐标原点 )， 则双曲线 C 的离心率为 _ 解析如图，设双曲线一个焦点为F， 则AOF 中，|OA|a，|OF|c，FOA60 . c2a，e c a2. 答案2 三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤)
11、 17(10 分)求与椭圆 4x 29y236 有相同的焦距， 且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程 解把方程 4x29y 236 写成x 2 9 y2 4 1， 则其焦距 2c2 5，c5. 又 e c a 5 5 ，a5. b 2a2c252520， 故所求椭圆的方程为 x2 25 y2 201，或 y2 25 x2 201. 18(12 分)已知抛物线 y 26x，过点 P(4,1)引一条弦 P 1P2使它恰 好被点 P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解设直线上任意一点坐标为(x，y)， 弦两端点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) P1，P2在抛物线上， y2 16
12、x1，y 2 26x2. 两式相减，得 (y1y2)(y1y2)6(x1x2) y1y22，ky 1y2 x1x2 6 y1y23. 直线的方程为y13(x4)，即 3xy110. 由 y 26x， y3x11， 得 y22y220， y1y22，y1 y222. |P1P2|11 9 224 22 2 230 3 . 19、（本小题满分 12分） 设 1 F, 2 F分别是椭圆 E： 2 x+ 2 2 y b =1（0b1）的左、右焦点，过 1 F的直线l与 E 相交于 A、B 两点，且 2 AF ， AB ， 2 BF 成等差数列。 （）求 AB （）若直线l的斜率为 1，求 b 的值 解
13、： （1）由椭圆定义知 22 F+F 又2 AB = AFFAB 得 （2） 即 21 4 2 3 xx. 则 224 2 121 22222 84(1)4(1 2)8 ()4 9(1)11 bbb xxx x bbb 解得 2 2 b. 20、 (本小题满分12 分 ) 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7 和 1 （I）求椭圆C的方程 （II）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， OP e OM （e 为椭圆 C 的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （20）解： （）设椭圆长半轴长及分别为a,c,
14、由已知得 w.w.ws.5.u.c.o.m 1, 7. ac ac 解得 a=4,c=3, 所以椭圆 C 的方程为 22 1. 167 xy w.w.w.s.5.u.c.o.m （）设M（x,y）,P(x, 1 y),其中4,4 .x由已知得 22 21 22 . xy e xy 而 3 4 e，故 2222 1 16()9().xyxy 由点 P在椭圆 C上得 2 2 1 1127 , 16 x y w.w.ws.5.u.c.o.m 代入式并化简得 2 9112,y 所以点 M的轨迹方程为 4 7 ( 44), 3 yx轨迹是两条平行于x 轴的线段 . w.w 21(12 分)已知椭圆 C：
15、 x2 a 2 y 2 b 21(ab0)，直线 l 为圆 O：x2y2 b 2 的一条切线，记椭圆C 的离心率为 e. (1)若直线 l 的倾斜角为 3，且恰好经过椭圆 C 的右顶点，求 e 的 大小； (2)在(1)的条件下， 设椭圆 C 的上顶点为 A，左焦点为 F，过点 A 与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点，且过 A，B，F 三点的圆恰 好与直线 l：x3y30 相切，求椭圆 C 的方程 解 (1)如图，设直线 l 与圆 O 相切于 E 点，椭圆 C 的右顶点为 D， 则由题意易知， OED 为直角三角形， 且|OE|b，|OD|a，ODE 3， |ED|OD| 2|O
16、E|2c(c 为椭圆 C 的半焦距 ) 椭圆 C 的离心率 ec acos 3 1 2. (2)由(1)知， c a 1 2， 可设 a2m(m0)，则 cm，b3m， 椭圆 C 的方程为 x2 4m 2 y2 3m21. A(0，3m)，|AF|2m. 直线 AF 的斜率 kAF3， AFB60 . 在 RtAFB 中， |FB| |AF| cosAFB4m， B(3m,0)，设斜边 FB 的中点为 Q，则 Q(m,0)， AFB 为直角三角形， 过 A，B，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点 Q，且半径为 2m， 圆 Q 与直线 l：x 3y30 相切， |m3| 132m. m是大于
17、0 的常数， m1. 故所求的椭圆 C 的方程为 x2 4 y 2 3 1. 21(12 分)设椭圆 C1：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)，抛物线 C2：x2by b 2. (1)若 C2经过 C1的两个焦点，求 C1的离心率； (2)设 A(0，b)，Q(3 3，5 4b)，又 M，N 为 C1 与 C2不在 y 轴上的 两个交点，若 AMN 的垂心为 B(0，3 4b)，且QMN 的重心在 C2 上， 求椭圆 C1和抛物线 C2的方程 解(1)由已知椭圆焦点 (c,0)在抛物线上， 可得 c 2b2，由 a2b2c22c2， 有 c 2 a 2 1 2 ? e 2 2 . (2
18、)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称， 设 M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)， 由AMN 的垂心为 B， 有BM AN 0? x2 1(y1 3 4b)(y1b)0. 由点 N(x1，y1)在抛物线上， x2 1by1b 2， 解得 y1 b 4，或 y1b(舍去)， 故 x1 5 2 b，M( 5 2 b， b 4)，N( 5 2 b， b 4)， 得QMN 重心坐标 (3，b 4) 由重心在抛物线上得3 b2 4 b 2， b2，M(5，1 2)，N( 5， 1 2)， 又M，N 在椭圆上，得 a2 16 3 ， 椭圆方程为 x 2 16 3 y 2 4 1， 抛物线方程为
19、x22y4. 22(12 分)(2010 北京)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是( 2，0)，( 2，0)，离心率是 6 3 ，直线 yt 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，以线段 MN 为直径作圆 P，圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若圆 P 与 x 轴相切，求圆心P 的坐标； (3)设 Q(x，y)是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值 解(1) c a 6 3 ，且 c2， a3，ba2c21. 椭圆 C 的方程为 x 2 3 y 21. (2)由题意知 P(0，t)(1t1)， 由 yt， x2 3 y 21， 得 x 3 1t2， 圆 P 的半径为3 1t2. 3 1t2|t|，解得 t 3 2 . 点 P 的坐标是 (0， 3 2 ) (3)由(2)知，圆 P 的方程为 x2(yt)23(1t 2) 点 Q(x，y)在圆 P 上， yt 3 1t2x2t3 1t2. 设 tcos ， (0，)， 则 t3 1t2cos 3sin 2sin( 6)， 当 3，即 t 1 2 ，且 x0，y 取最大值 2.