《江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题及答案.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、江苏省镇江市2015 届高三上学期期末考试数学试题 2015 年 2 月 第 I 卷 注意事项 : 1本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分160 分，考试时间为120 分钟 . 2. 答题前， 请您务必将自己的学校、姓名、 考试号用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在 答题卡上规定的地方. 3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答 一律无效 . 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分. 不需要写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . 1记复数ibiaz(为虚数单位）的共轭复数为),(Rbabiaz，已知iz
2、2，则 2 z . 2设全集ZU，集合2 , 1 , 0, 1, 2,2, 1PM，则 U PMe= . 3某校共有师生1600 人，其中教师有1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取 一个容量为80 的样本，则抽取学生的人数为 . 4若双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 4 1 ，则 该双曲线的渐近线方程是 . 5已知向量baxbxa),1,2(),1, 12(，则x . 6执行如图流程图，若输入 2 1 ,20 ba，则输出a的值为 7设,为互不重合的平面， nm, 是互不重合的直线，给出下列四个命题： 若nnm,/，
3、则/m； 若/,/,nmnm，则/； 若/，nm,，则nm/； 若mnnm,，则n； 其中正确命题的序号为 . 8设nm,分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量1, 1,bnma，则向量ba, 的夹角为锐角的概率是_. ba 开始 N Y 结束 输出a baa 输入ba, 9设等比数列 n a的前n项和为 n S，若,63,7 63 SS则 987 aaa . 10已知直线l过点)2, 1(P且与圆2: 22 yxC相交于BA,两点，ABC的面积为1， 则直线l的方程为 . 11若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m，则m的 取值范围是 . 12若函数)(xf为定
4、义在R上的奇函数， 当0x时，xxxfln)(，则不等式exf)( 的解集为 . 13曲线)0( 1 x x y与曲线xyln公切线（切线相同）的条数为 . 14已知正数yx,满足1 11 yx ，则 1 9 1 4 y y x x 的最小值为 . 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分. 请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分14 分） 已知ABC的面积为S，且SACAB2. （1）求Asin； （2）若 32, 3ACABAB ,求Bsin. 16 （本小题满分14 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥ABCD中 ， 已 知BCD是
5、 正 三 角 形 ，AB平 面BC D， aBCAB，E为BC的中点，F在棱AC上，且FCAF3. （ 1）求三棱锥ABCD的体积； （ 2）求证：AC平面DEF； （ 3）若M为DB中点，N在棱AC上，且 CACN 8 3 , 求证：/MN平面DEF. 17 （本小题满分15 分） 某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小岛O附近 .现派出四艘搜救船DCBA,，为 方便联络， 船BA,始终在以小岛O为圆心， 100 海里为半径的圆上，船DCBA,构成正方 形编 队展开搜索，小岛O在正 方形编队外（如图）.设小 岛O到AB的距离为x， DAOB,船到小岛O的距离为d. （1）请分别求d关于,x的
6、函数关系式)(),(fdxgd；并分别写出定义域； （2）当BA,两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大 （即d最大） . 18（本小题满分15 分） 已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点)0, 1(F，离心率为 2 2 ，过F作两条互相垂直的 弦CDAB,，设CDAB,的中点分别为NM ,. （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标； （3）若弦CDAB,的斜率均存在，求FMN面 积的最大值 . 19 （本小题满分16 分） 已知函数 xx xf24)(，实数ts,满足0)()(tfsf，设 tsts ba2,22. （1）当函数)(x
7、f的定义域为1 , 1时，求)(xf的值域； （2）求函数关系式)(agb，并求函数)(ag的定义域； （3）求 ts 88的取值范围 . 20 （本小题满分16 分） 已知数列 n a中，1 1 a，在 21,a a之间插入1 个数，在 32,a a之间插入2 个数，在 43,a a之 间插入 3 个数，在 1 , nn aa之间插入n个数，使得所有插入的数和原数列 n a中的所有 项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 n b. （1）若19 4 a，求 n b的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和为 n S，且满足,(2 nn bS为常数），求 n a的通 项公式 . 江苏省镇江市高
8、三数学期末试题 第卷（理科附加卷） 21. 【选做题】本题包括A,B,C,D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答， 若多做，则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.(选修 4-1：几何证明选讲) 如图，圆O与圆P相交于BA,两点，点P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B,CP及 其 延 长 线 交 圆P于ED,两 点 ， 过 点E作CEEF交CB延 长 线 于 点F. 若 22, 2 CBCD，求 EF的长 . B.(选修 4-2：矩阵与变换 ) 已知矩阵 10 0 2 1 , 20 01 NM，试求曲线xysin在矩阵MN变换下的函数解析式. C.
9、(选修 4-4：坐标系与参数方程) 已知直线l的极坐标方程为sin()6 3 p rq -=，圆C的参数方程为 10cos ( 10sin x y q q q = ? =? ? 为参数） . （1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l被圆截得的弦长. D.(选修 4-5：不等式选讲 ) 已知函数( )12f xxx=-+-，若不等式( )ababa f x+-对任意,a bR?恒成立， 求实数x的取值范围 . 【必做题】第22，23 题，每小题10 分，计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22.（本小题满分10 分） 已知A为曲线 2 :410Cxy-+ =
10、上的动点， 定点( 2,0)M -，若2ATTM=，求动点T的轨 迹方程 . 23.（本小题满分10 分） 已知四棱锥PABCD-的底面为直角梯形，/ /,90 ,ABCDDABPA?癪底面ABCD,且 1 1, 2 PAADDCABM=是PB的中点 . （1）证明：平面PAD 平面PCD； （2）求AC与PB所成角的余弦值； （3） 求平面AMC与平面BMC所成二面角 （锐 角）的余弦值 . M P A D B C 江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案 第卷 一、填空题（每小题5 分） 题号答案试题出处知识点能力难度 1 34i模考题改编复数的运算，共轭复数运算易 2 2, 1,0 教材改编
11、集合的交集与补集运算易 3 75 教材改编分层抽样运算易 4 3 3 yx教材改编双曲线的几何性质运算易 5 1 教材改编向量的数量积运算易 6 5 16 教材改编算法流程图识图易 7 教材改编立体几何的判定和性质定理空间想象中 8 5 12 原创概率问题，向量的夹角运算中 9 448 教材改编等比数列的性质，求和运算中 10 10x ， 3450xy 教材改编 直线和圆的位置关系，点到直 线的距离公式 运算中 11 (2,)模考题改编正弦定理，角度范围的确定直觉，图形分析较难 12 (, e) 原创题 函数的奇偶性，函数求导，函 数单调性 图象分析难 13 1 模考题改编 函数求导，构造函数
12、及画新函 数图像 转化，运算难 14 25 模考题改编基本不等式求最值转化难 二、解答题 15.解： （1） ABC的面积为S，且2AB AC S， 1 cos2sin 2 bcAbcA ， 2 分 sin2 cosAA， 3 分 A为锐角，且 2222213 sincossinsinsin1 22 AAAAA， 5 分 6 sin 3 A 6 分 （2）设ABC中角,A B C 对边分别为, ,a b c |3ABc，|2 3ABACCBa， 7 分 由正弦定理得： sinsin ca CA ，即 32 3 sin6 3 C 9 分 2 sin 2 C，又ca, 则C锐角， 10 分 4 C
13、， 11 分 sinsin()sincoscossin 444 BAAA 12 分 = 62322 36 32326 14 分 【说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦 定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达. 16解：（1）因为BCD是正三角形，且ABBCa ，所以 23 4 BCD Sa， 2 分 因为AB平面BCD， 1 3 DABCA BCD VVABSBCD 213 34 aa 33 12 a . 5 分 （2）在底面ABC中 ， （以下运用的定理不交代在同一平面中，扣1 分） 取AC的中点H，连接BH， ABBC,
14、BHAC 3,AFFCF为CH的中点， E为BC的中点， BCD是正三角形 ,DEBC ACDEF面. 10 分 EF 6EFAC分 BH , ,B BC ABB AA CB BC面 ,( (9 8 , , ) ) DEABC AB DE CAC AC 面分 分 面 , ) , ,(7 BCD B AB ABDE DCED 面 分 面 , , , , A DE EF CEF DEE DEF FE 面 （注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣1 分，扣满该逻辑段得分为止） （3）当 3 8 CNCA 时，连CM，设 CMDEO ，连OF O为BCD的重心 , 2 3 COCM ，当 2
15、3 CFCN 时,MNOF,(11 分) MNDEF面. 14 分 【说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能 力和识图能力，规范化书写表达能力. 17.解：设 x 的单位为百海里 （1）由OAB，2cosABOAA =2cosA，2cosADAB， 2 分 在AOD中， 22 ()2cos() 2 ODfOAOBOAOB 3 分 2 14cos4cossin； (0,) 2 （定义域1 分） 5 分 若小岛 O 到AB的距离为x ， 22 2 1ABx ， 6 分 22 ( )()() 22 ADAB ODg xx 8 分 22 212xxx，(0,1)
16、x（定义域1 分） 10 分 （2） 22 4cos14cossinOD； (0,) 2 1cos2sin 2 414 22 2(sin 2cos2)3 2 2 sin(2)3,(0,) 42 . 11 分 当 5 2(,) 444 ，则 2 42 时，即 8 ，OD取得最大值， 12 分 此时 1cos 4 2cos222 82 AB（百海里） . 13 分 答：当AB间距离 100 22 海里时，搜救范围最大. 14 分 【说明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力，选择合适的模型 求最值的问题 . 18.解： （ 1）由题意： 2 1, 2 c c a ，则2,1,1
17、abc， （每个 1 分） 3 分 , , OFDEF EMND F 面 面 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y 4 分 （2）,AB CD 斜率均存在，设直线AB方程为：(1)yk x， 1212 1122 (,),(,),(, (1) 22 xxxx A xyB xyMk， 22 (1), 220, yk x xy 得 2222 (12)4220kxk xk， 5 分 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 k xx k k x x k ，故 2 22 2 (,) 1212 kk M kk ， 6 分 将上式中的k换成 1 k ，则同理可得： 22 2 (,) 22 k N k
18、k ， 8 分 如 2 22 22 122 k kk ，得1k，则直线MN斜率不存在， 此时直线MN过点 2 (,0) 3 ，下证动直线MN过定点 2 (,0) 3 P. 9 分 （法一） 若直线MN斜率存在，则 2 22 242 22 (33)3 122 222221 122 MN kk kkk kk k kkk kk ， 直线MN为 222 32 () 2212 kk yx kkk ， 11 分 令0y，得 22 222 2212312 232323 kk x kkk ， 综上，直线MN过定点 2 (,0) 3 . 12 分 （法二） 动直线MN最多过一个定点，由对称性可知，定点必在x 轴
19、上，设 2 3 x与 x轴交 点为 2 (,0) 3 P，下证动直线MN过定点 2 (,0) 3 P. 当 1k 时， PM k 2 2 2 2 3 12 2221 123 k k k kk k ， 10 分 同理将上式中的k换成 1 k ，可得 2 2 1 () 33 1 221 1 PM k k k k k ， 11 分 则 PMPN kk，直线MN过定点 2 (,0) 3 P. 12 分 （3）由第（ 2）问可知直线MN过定点 2 (,0) 3 P， 故 SFMN=SFPM+SFPN 22 1111 | 23 223 12 kk kk 22 2242 1| (33)1| (1) 6 (2
20、)(12)2252 kkkk kkkk 13 分 2 2 1 (|) 1| 2 2 25 k k k k ， 令 1 |2,) | tk k ，SFMN 2 1 ( ) 22(2)5 t f t t 2 1 221 t t 14 分 2 22 112 ( )0 2 (21) t ft t ，则( )f t 在2,)t单调递减， 15 分 当 2t 时( )f t 取得最大值，此时SFMN取得最大值 1 9 ，此时 1k . 16 分 【说明】本题原创. 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题 题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演
21、绎 论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力. 本题可以不妨设0k，可直接对 2 42 (1) 252 k k kk 求导，判断单调性. 19. 解： （1）若 1,1x，令 1 2,2 2 x m， 1 分 2211 ( )()() 24 f xl mmmm在 1 ,2 2 上为增函数 2 分 minmin 11 ( )()() 24 f xl ml； maxmax ( )()(2)2f xl ml， 3 分 ( )f x 值域为 1 ,2 4 . 4 分 （2）实数, s t满足( )( )0f sf t，则 42420 sstt ， 则 2 (22 )22(22 )0 sts
22、tst ， 6 分 而22 st a，2 s t b，故 2 20aba， 21 ( )() 2 bg aaa ， 7 分 由题意，0,0ba，则 21 ()0 2 aa，故1a， 8 分 又 222 22442() 2 st stst ， 即 2 2 a a，故2a，当且仅当st时取得等号， 9 分 综上： 12a. 10 分 （3） 88(22 )(4224 )() ststsstt a ab 2321113 () 2222 a aaaaa ，(1,2a 12 分 令 3213 ( ),(1,2 22 h aaaa， ( )h a 2 33 3(2)0 22 a aa a当(1,2a恒成立
23、， 14 分 故( )h a 在(1,2a单调递增，( )( (1), (2)h ahh，故 88 st (1,2 . 16 分 【说明】本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考 查换元法、划归思想；考查运算变形能力. 20. 解： （1）设 n b的公差为d，由题意：数列 n b的前几项为： 112 1,bab 324563789104 ,19ba bb bab b bba 2 分 4 a 为 n b的第 10 项，则 101 9bb d ， 4 分 2d，而 1 1b， 5 分 故数列 n b的通项公式为 n b12(1)21nn. 6 分 （ 2）由2 n
24、n Sb（,为常数）， 得 222 2()2 nnnn Sbbb， 7 分 当1n得： 2 212， 当2n时， 22 111 22 nnn Sbb， - 得 22 11 22() nnnnn bbbbb， 8 分 则 1 2()2(2)2 nnnn bd bbddbd d ， 9 分 若0d，则 1 1 n bb，代入 式 ，得20，不成立； 10 分 （法一） 当2n， 2 (22 )2 n d bdd常数 恒成立，又 n b为正项等差数列， 当0d时， n b 不为常数，则 2 220, 20, d dd 得 1 1, 2 d， 11 分 代入式，得 1 4 . 12 分 （法二） 2(
25、2)2 nn bdbd d , 2 (22 )2 n d bdd ，即 2 1 (22 )(1) 2dbnddd ， 则 22 2 (1)2(1)2dd nddd 对 n2 恒成立， 令2,3n，得 22 22 4 (1)2(1)2, 6 (1)2(1)2, ddddd ddddd 解得 1, 1 , 2 d 11 分 【或者 : 22 2 (1)2(1)2dd nddd常数，则 2 (1)0dd，得1d， 当1d时，代入上式得 1 , 2 】 代入式，得 1 4 . 12 分 （法三） 由 1 2()2(2) nnn bd bbd n， 得 112 2()2(3) nnn bd bbd n，
26、 - ，得 2 22dd ，1d， 代入上式得 1 , 2 11分 代入式，得 1 4 . 12 分 所以等差数列 n b的首项为 1 1b，公差为1d，则 n bn . 13 分 设 n a中的第 n 项为数列 n b中的第k项，则 n a 前面共有 n a的1n项，又插入了 (1) 123(1) 2 n n n项，则： (1) (1)1 2 n n kn 2 2 nn 15 分 故 2 2 nk nn abk. 16 分 【说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思 想、转化与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力. 第卷理科附加卷 21.B 解： M
27、N = 10 02 1 0 2 01 = 1 0 2 02 ， 4 分 即在矩阵MN 变换下 11 0 22 022 xxxx yyy y ， 6 分 1 ,2 2 xx y y ， 8 分 代入得： 1 sin2 2 yx ， 即曲线sinyx 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为2sin 2yx 10 分 21.C 解： （ 1）由 sin()6 3 ，得 13 ( sincos )6 23 : 312yx，即3120xy. 4 分 圆的方程为 22 100xy. 6 分 （ 2）6,10dr， 弦长2 1003616l. 10 分 22. 解：设 00 ( , ),(,)T x yA xy
28、，则 2 00 410xy， 2 分 又( 2,0)M，由2ATTM 得 00 (,)2( 2,0)xxyyx y ， 5 分 00 34,3xxy y ， 7 分 代入式得 2 4(34)310xy，即为所求轨迹方程. 10 分 23. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 1 (0,0,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,) 2 ADPBCM， 1分 （1）证明：因为(0,0,1),(0,1,0)APDC，0,AP DCAPDC故所以， 由题设知ADDC ，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC面PAD，又DC面PCD，故平面P
29、AD面PCD. 4 分 （2）因(1,1,0),(0,2,1),ACPB|2,|5,2,ACPBAC PB 10 cos,. 5| | AC PB AC PB ACPB 7 分 （3）设平面 AMC的一个法向量为 1111(,)nxy z ， 则 1 nAM ， 111111 11 (,) (0,1,)0 22 nAMxy zyz， 又 1 nAC ， 111111 (,) (1 ,1,0)0nACxy zxy， 取 1 1x，得 11 1,2yz，故 1 (1, 1,2)n， 同理可得面BMC的一个法向量为 2 (1,1,2)n， 12 12 12 1142 cos, 366 nn n n n n ， 10 分 平面AMC与平面BMC所成二面角（锐角）的余弦值为 2 3 .