《2019年高考全国1卷理科数学试题与答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考全国1卷理科数学试题与答案.pdf（37页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、格式 专业资料 ,2019 年全国统一高考数学试卷（理 科)（新课标 ) 第 I 卷（选择题) 一、单 选题 1已知集合 2 M x 4 x 2 ， N x x x 6 0 ，则M N = A x 4 x 3 B x4 x 2 C x 2 x 2 D x 2 x 3 2设复数z 满足z i =1， z 在复平面内对应的点 为(x ，y)，则 A 2 2 ( x+1) y 1 B 2 2 (x 1) y 1 C 2 ( 1) 2 1 x y D 2 ( y+1) 2 1 x 3已知 0.2 0.3 a log 0.2, b 2 ,c0.2 ，则 2 A a b c Ba c b Cc a b D
2、b c a 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之 比是 51 2 （5 1 2 0.61，8 称为黄金分割比例)，著名的 “ 断臂维纳斯 ” 便是如此此外，最美人体 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之 比也是5 1 2 若某人满足上述两个黄金分割 比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A 165 cm B 175 cm C185 cm D 190cm 5函数f(x)= sin cos x x 2 x x 在 ， 的 图像大致 为 A B 格式 专业资料 CD 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下
3、到上排列的6 个 爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻 “”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一 重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量a， b 满足 a =2 b，且 （ab） b， 则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 1 8如图是求 2 2 1 1 2 的程序框图，图中空白框中应填入 A A= 1 2A B A=2 1 A CA= 1 12 A 1 D A= 1 2A 9记Sn为等差数列a n 的前 n 项和已知S40， a55，则 A an2n5Ban3n10C 2 S2n8nD n 1
4、2 Sn2n n 2 10已知椭圆C 的焦点为F1(1,0) ， F2(1,0)，过F2的直线与C 交于 A， B 两点.若 格式 专业资料 AF 2 2 F2B ， AB BF1 ，则 C 的方程为 A 2 x 2 2 1 y B 2 2 x y 3 2 1 C 2 2 x y 4 3 1 D 2 2 x y 5 4 1 11关于函数f (x) sin | x | sin x |有下述四个结论： f(x) 是偶函数 f(x)在区间（ , ）单调递增 2 f(x) 在 , 有 4 个零点 f(x)的最大值 为2 其中所有正确结论的编号是 A BCD 12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球O
5、 的球面上，PA=PB =PC， ABC 是边长为2 的正 三角形，E， F 分别是PA， PB 的中点， CEF =90 ，则球O 的体积 为 A 8 6 B4 6 C2 6 D6 第 II 卷（非选 择题) 13曲线 2 x y 3(x x)e 在点(0,0) 处的切线方程为_ 14记Sn为等比数列 an 的前n 项和若 1 2 a ， a a ，则 S5=_ 1 4 6 3 15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得 四 场 胜 利时，该队获胜，决赛 结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安 排依次为“ 主主客客主客主” 设甲队主场取胜 的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5
6、，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概 率是 _ 16已知双曲线C： 2 2 x y 2 2 1(a 0,b 0) a b 的左、右焦点分别为F 1， F2，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交 于A，B 两点若 F A AB ，F1B F2 B 0，则 C 的离心率为 1 _ 17V ABC 的内角A， B，C 的对边分别为a，b， c，设 2 2 (sin B sin C) sin A sin B sin C Word 格式 专业资料 （ 1）求 A； （ 2）若2a b 2c ，求 sinC 格式 专业资料 18如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D 1 的底面是菱形，
7、AA 1=4，AB=2 ，BAD =60， E，M ， N 分别是BC，BB1， A1D 的中点 （1）证明：MN平面C1DE； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值 19已知抛物线C：y 2=3x 的焦点为 F ，斜率为 2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线l 与 C 的交点为A，B，与 x 轴的交 点为 P （ 1）若|AF |+|BF |=4，求 l 的方程； （ 2）若AP3PB，求 |AB| 20已知函数f ( x)sin xln(1x)，f (x)为 f (x) 的导数证明： （ 1）f (x)在区间(1,) 2 存在唯一极大值点； （ 2） f ( x) 有且仅有2
8、 个零点 21为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物 试验 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一 只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药 治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为 了方便描述问题，约定： 对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则 甲药得1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分， 甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和 ，一轮试验
9、中甲药的得分记为X （1）求X的分布列； （2）若甲药、 乙药在试验开始时都赋予4 分，(0,1,8) pi表示 “甲药的累计得分为i 时， i 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81， 格式 专业资料 p ap bp cp (i 1,2, ,7) ，其中a P(X 1) ，b P(X 0) ， i i 1 i i 1 c P( X 1) 假设0.5，0.8 (i)证明： pi 1 pi (i 0,1,2, ,7) 为等比数列； (ii) 求p4 ，并根据p4 的值解释这种试验方案的合理性 22 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 x y 1
10、 1 1 2 2 t t 4t 2 t ， （ 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 t O 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 cos 3 sin 11 0 （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）求 C 上的点到l 距离的最小值 23 选修4-5：不等式选讲 已知a， b， c 为正数，且满足abc=1 证明： （ 1） 11 1 a b c 2 2 2 a b c ； （ 2） 3 3 3 (a b) (b c) (c a) 24 参考答案 1 C 【解析】 【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养采取数轴法
11、，利用数 形结合的思想解题 【详解】 Word 格式 专业资料 由题意得，M x 4 x 2 , N x 2 x 3 ，则 M N x 2 x 2 故选C 【点睛】 不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分 格式 专业资料 2 C 【解析】 【分析】 本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y）和点 (0， 1)之间的距离为1，可选正确答案C 【详解】 z x yi, z i x ( y 1)i , 2 ( 1) 2 1, z i x y 则 2 ( 1) 2 1 x y 故选C 【点睛】 本题考查复数的几何意义和模的运算
12、，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何 法，利用方程思想解题 3 B 【解析】 【分析】 运用中间量0 比较a, c，运用中间量 1比较b , c 【详解】 a log 0.2 log 1 0, 2 2 b 0.3 0 2 2 1, 0.4 0 0 0.2 0.2 1,则0 c 1,a c b 故 选 B 【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用 转化与化归思想解题 4 B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解 【详解】 设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm ，则 26 26 x 5 1
13、 x y 105 2 ， 得x 42.07 cm, y 5.15cm又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其 格式 专业资料 身高约为42 07+5 15+105+26=178 22，接近175cm 故选B 【点睛】 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思 想解题 5 D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，得f (x) 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正 确答案 【详解】 sin( x) ( x) sin x x 由2 2 f ( x) f (x) cos( x) ( x) cos x x ，得 f (x)
14、 是奇函数，其图象关于原点对 称又 f 1 2 4 2 ( ) 1, 2 2 ( ) 2 2 f ( ) 0 故选D 2 1 【点睛】 本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋 值法，利用数形结合思想解题 6 A 【解析】 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算 等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳 爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算 【详解】 由题知， 每一爻有2 中情况，一重卦的 6 爻有 2 6 情况， 其中 6 爻中恰有3 个阳爻情况有 3 C
15、 ， 6 所以该重卦恰有3 个阳爻的概率为 3 6 6 C 2 = 5 16 ，故选A 【点睛】 对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还 格式 专业资料 是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件 事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7 B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数 学计算等数学素养先由(a b) b 得出向量a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角 公式即可计算出向量夹角 【详解】 因为(a b) b ，所以(ab) b a b
16、 b 2 =0 ，所以 2 a b b ，所以 cos = 2 a b | b|1 2 a b 2 |b | 2 ，所以a 与b 的夹角为 ，故选B 3 【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角 的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0, 8 A 【解析】 【分析】 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特 征与程序框图结构，即可找出作出选择 【详解】 1 A , k 1 2是， 因为第一次应该计算 2 2 1 1 2 = 1 2 A 执行第1 次，k k 1=2，循环， 1 执行第2 次，k2 2，是
17、，因为第二次应该计算 2 2 1 1 2 = 1 2 A ，k k 1=3，循环， 执行第3 次，k 2 2，否，输出，故循环体为1 A 2 A ，故选A 【点睛】 格式 专业资料 1 秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A 2 A 9 A 【解析】 【分析】 等差数列通项公式与前n 项和公式本题还可用排除，对B，a5 5 ， 4( 7 2) 2 S 10 0 ，排除 B， 对 C，S4 0, a5 S5 S4 2 5 8 5 0 10 5 ， 4 2 排除 C对 D， 1 5 2 S 0,a S S 5 2 5 0 5 ，排除D，故选A 4 5 5 4 2 2 【详解】 由题知，
18、 d S 4a 4 3 0 4 1 2 a a 4d 5 5 1 ，解得 a1 3 d 2 ，2 5 a n ，故选A n 【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养利用等 差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计 算即可做了判断 10 B 【解析】 【分析】 由已知可设F2 B n ，则AF2 2n, BF1 AB 3n ，得AF1 2n，在 AF1B 中求得 cos 1 F AB ，再在 AF1F2 中，由余弦定理得 1 3 3 n ，从而可求解. 2 【详解】 法一：如图，由已知可设F2B n，则AF2
19、2n, BF1 AB 3n ，由椭圆的定义有 2a BF BF 4n, AF 2a AF 2n在 AF1B 中，由余弦定理推论得 1 2 1 2 Word 格式 专业资料 cos F AB 1 2 2 2 4n 9n 9n 1 2 2n 3n 3 在 AF1F2 中，由余弦定理得 2 2 1 4n 4n 2 2n 2n 4 ，解得 3 3 n 2 格式 专业资料 2 2 2 2a 4n 2 3 , a 3 , b a c 3 1 2 , 所求椭圆方程为 2 2 x y 3 2 1 ， 故选 B 法二：由已知可设 F B n，则AF2 2n , BF1 AB 3n，由椭圆的定义有 2 2a BF
20、 BF 4n, AF 2a AF 2n在 AF1F2 和 BF1F2 中，由余弦定理得 1 2 1 2 2 2 4n 4 2 2n 2 cos AF F 4n , 2 1 2 2 n 4 2 n 2 cos BF F 9n 2 1 ，又AF2F1 , BF 2F1 互补， cos AF F cos BF F 0 ，两式消去cos AF2F1 , cos BF2F1，得 2 1 2 1 2 2 3n 6 11n ， 解得 3 n 2 2 2 2 2a 4n 2 3 , a 3 , b a c 3 1 2 , 所求椭圆方程为 2 2 x y 3 2 1，故选B 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简
21、单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的 落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11 C 【解析】 【分析】 化简函数f x sin x sin x ，研究它的性质从而得出正确答案 【详解】 f x sin x sin x sin x sin x f x , f x 为偶函数，故 正确当 2 x时，f x 2sin x，它在区间, 2 单调递减，故 错误当0 x 时， 格式 专业资料 f x 2sin x，它有两个零点：0 ；当x 0时， f x sin x sin x 2sin x，它有一个零点：，故f x 在, 有3个零点： 0 ，故错误当x 2k , 2k k N时，f x 2s
22、in x；当 x 2k , 2k 2 k N时，f x sin x sin x 0，又f x 为偶函数， f x 的最大值为2，故正确综上所述， 正确，故选C 【点睛】 画出函数f x sin x sin x 的图象，由图象可得 正确，故选C 12 D 【解析】 【分析】 先证得PB 平面PAC，再求得PA PB PC 2 ，从而得P ABC 为正方体一部分， 进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一 : PA PB PC, ABC 为边长为2 的等边三角形，P ABC 为正三棱锥， PB AC ，又E ，F分别为PA、AB 中点， EF / /PB，EF AC，又EF
23、CE ，CE AC C, EF 平面PAC ，PB 平面PAC ，PAB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体一部分， 2R 2 2 2 6 ，即 6 4 4 6 6 3 R , V R 6 ，故选D 2 3 3 8 格式 专业资料 解法二 : 设PA PB PC 2x，E,F 分别为PA, AB 中点， EF / /PB，且 1 EF PB x ，ABC 为边长为2 的等边三角形， 2 CF 又CEF 90 3 2 1 CE 3 x , AE PA x 2 AEC中余弦定理 cos EAC 2 4 3 2 x x 2 2 x ，作PD AC 于D，PA PC ， Q D 为AC 中点
24、，cos EAC AD 1 PA 2x ， 2 4 3 2 1 x x 4x 2x ， 2 2 1 2 2 1 2 x x x ，PA PB PC 2 ，又 AB=BC =AC=2 ， 2 2 PA PB PC 两两垂直，2R 2 2 2 6 ， , , 6 R ， 2 4 4 6 6 3 V R 6 ，故选D. 3 3 8 格式 专业资料 【点睛】 本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两 互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 133x y 0 . 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点
25、斜式求得 切线方程 【详解】 详解： / 3(2 1) x 3( 2 ) x 3( 2 3 1) x , y x e x x e x x e 所以， / k y |x 3 0 所以，曲线 2 x y x x 在点(0,0) 处的切线方程为y 3x ，即3x y 0 3( )e 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求 导要 “慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求 14 121 3 . 【解析】 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程， 应用等比数列的求和公式，计算得到 S 题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考
26、查 5 【详解】 1 设等比数列的公比为q，由已知2 a ,aa ，所以 1 4 6 3 1 1 3 2 5 ( q ) q , 又q 0， 3 3 所以q 3,所以 S 5 1 5 5 (1 3 ) a q (1 ) 3 121 1 1 q 1 3 3 【点睛】 Word 格式 专业资料 准确计算，是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算， 部分考生易出现运算错误 格式 专业资料 15 0.216. 【解析】 【分析】 本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求 解题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查
27、 【详解】 前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1 获胜的概率是 3 0.50.5 0.5 2 0.108, 前四场中有一场主场输，第五场赢时， 甲队以4:1 获胜的概率是 2 2 0.4 0.6 0.5 2 0.072, 综上所述，甲队以4:1 获胜的概率是q 0.108 0.072 0.18. 【点睛】 由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思 维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1 获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算 16 2. 【解析】 【分析】 通过向量关系得到F1 A AB 和OA F1A ，得到AOB AOF 1 ，结合双
28、曲线的渐近线 可得BOF 2 AOF1, 0 BOF2 AOF1 BOA 60 ,从而由 b a 0 tan 60 3 可求 离心率 . 【详解】 如图， 由 F1 A AB,得F1 A AB.又OF1 OF2 ,得 OA 是三角形F1F2B 的中位线，即 BF2 / / OA, BF 2 2OA. 由 F B F B ，得F1B F2 B,OA F1 A, 则OB OF1 有 1 2 0 格式 专业资料 AOB AOF ， 1 又 OA 与 OB 都是渐近线，得BOF 2 AOF1, 又BOF2 AOB AOF1 ，得 0 BOF 2 AOF1 BOA 60 ,又渐近线 OB 的斜率为 b
29、a 0 tan 60 3 ，所以该双曲 线的离心率为 e cb 2 2 1 ( ) 1 ( 3) 2 a a 【点睛】 本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素 养采取几何法，利用数形结合思想解题 17（1）A ；（2） 3 sin 6 2 C . 4 【解析】 【分析】 （1 ）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： 2 2 2 b c a bc ，从而可整理出cos A， 根据A 0, 可求得结果； （2 ）利用正弦定理可得2 sin A sin B 2sin C ，利用 sin B sin A C 、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cosC 的
30、方程，结合同角三角函 数关系解方程可求得结果. 【详解】 （1 ） 2 2 2 2 sin B sin C sin B 2sin B sin C sin C sin A sin B sin C 即：sin 2 B sin 2 C sin 2 A sin B sin C 由正弦定理可得： 2 2 2 b c a bc cos A 2 2 2 1 b c a 2bc 2 A 0,A= 3 （2 ）2a b 2c ，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C 又sin B sin A C sin A cosC cosAsin C ， A 3 格式 专业资料 3 3 1 2 cosC si
31、n C 2sin C 2 2 2 整理可得：3sinC 6 3cosC 2 2 sin C cos C 1 2 2 3 si n C6 3 1 sCi n 解得：sin 6 2 C 或 4 62 4 因为 6 sin B 2sin C 2 sin A 2sin C 0 所以 2 sin 6 C ，故 4 sin 6 2 C . 4 （2 ）法二：2a b 2c ，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C 又sin B sin A C sin A cosC cosAsin C ， A 3 3 3 1 2 cosC sin C 2sin C 2 2 2 整理可得：3sinC 6 3c
32、osC ，即3sin 3 cos 2 3 sin 6 C C C 6 sin C 2 6 2 由 2 C (0, ),C ( , ) ，所以C ,C 3 6 6 2 6 4 4 6 6 2 sin C sin( ) . 4 6 4 【点睛】 本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函 数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式 或角之间的关系. Word 格式 专业资料 18（1）见解析；（ 2） 10 5 . 【解析】 【分析】 格式 专业资料 （1 ）利用三角形中位线和A 1D/ /B1C 可证得ME/ /ND，证
33、得四边形MNDE 为平行四边形， 进而证得MN / /DE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点 为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F，可证得DF 平面AMA 1 ，得到平面 uuur AMA 的法向量 DF ；再通过向量法求得平面MA 1N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得 1 两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】 （1 ）连接ME ，B 1C M ，E分别为BB1 ，BC 中点ME为 B BC 的中位线 1 ME/ /BC 且 1 1 ME B C 1 2 又N为A1D 中点，且A 1D/ /B1C ND/ /B1C 且
34、1 ND B C 1 2 ME/ /ND 四边形MNDE 为平行四边形 MN / /DE ，又MN 平面C1DE ，DE 平面C1DE MN / / 平面C1DE （2 ）设AC BD O ，A1C1 B1D1 O1 由直四棱柱性质可知：OO1 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 AC BD 则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 格式 专业资料 则：A 3,0,0 ，M 0,1,2 ， A1 3,0, 4 ， D （ 0， -1,0 ） N 3 1 , ,2 2 2 3 1 取AB 中点F，连接DF ，则0 F , , 2 2 四边形ABCD为菱形且BAD 60 BAD为等边三角形
35、DF AB 又AA 1 平面ABCD ，DF 平面ABCD DF A1A DF 平面ABB1A1 ，即 DF 平面AMA 1 DF 为平面AMA 1 的一个法向量，且DF 3 3 , ,0 2 2 设平面MA1N 的法向量n x, y,z ，又 MA1 3, 1,2 ， MN 3 3 , ,0 2 2 n MA1 3x y 2z 0 3 3 n MN x y 2 2 0 ，令x 3 ，则 y 1 ，z1 n 3 , 1, 1 cos DF, n DF n DF n 315 15 5 sin DF ,n 10 5 二面角A MA1 N 的正弦值为： 10 5 【点睛】 本题考查线面平行关系的证明
36、、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利 用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦 值，属于常规题型. 格式 专业资料 19（1） 12 x 8 y 7 0 ；（2） 4 13 3 . 【解析】 【分析】 3 （1 ）设直线l ： y = x m 2 ，A x1, y1 ，B x2 ,y2 ；根据抛物线焦半径公式可得 x1 + x2 1； 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（ 2） 设直线l ： 2 x y t ；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用AP 3PB 3 可得y1 3y2 ，
37、结合韦达定理可求得y1 y2 ；根据弦长公式可求得结果 . 【详解】 （1 ）设直线 l 方程为： 3 y = x m 2 ，A x 1, y1 ，B x2, y2 由抛物线焦半径公式可知：1 2 AF BF x x 3 2 4 x x 1 2 5 2 联立 3 y x m 2 2 y 3x 得： 2 2 9x 12m 12 x 4m 0 则 2 2 12m 12 144m 0 m 1 2 12 m 12 5 x x ，解得： 1 2 9 2 m 7 8 直线l 的方程为： 3 7 y x ，即：12 x 8 y 7 0 2 8 （2 ）设P t,0 ，则可设直线l 方程为： 2 x y t
38、3 联立 2 x y t 3 2 y 3x 得：2 2 3 0 y y t 则4 12t 0 t 1 3 y1 y2 2，y1y2 3t AP PB y1 3y2 y2 1， 3 y y1y2 3 1 3 则 4 13 4 13 2 AB 1 y y 4y y 4 12 1 2 1 2 Word 格式 专业资料 9 3 3 格式 专业资料 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的 应用 .关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20（1）见解析；（ 2）见解析 【解析】 【分析】 （1 ）求得导函数后，可判断出导函数在
39、1, 上单调递减，根据零点存在定理可判断出 2 x0 0, ，使得g x0 0，进而得到导函数在1, 2 2 上的单调性，从而可证得结论； 骣 p （2 ）由（ 1）的结论可知 x 0为f x 在1,0 上的唯一零点；当0, x ? 西 ? 桫时，首先可 2 判断出在( ) 0,x 上无零点，再利用零点存在定理得到f x 在x0, 上的单调性，可知 0 2 f x 0，不存在零点；当x , 时，利用零点存在定理和f x 单调性可判断出存 2 在唯一一个零点；当x , ，可证得f x 0 ；综合上述情况可证得结论. 【详解】 （1 ）由题意知：f x 定义域为：1, 且 f x cos x x
40、1 1 1 令 g x cos x ，1, x x 1 2 1 g x sin x ，1, x 2 Word 格式 专业资料 x 1 2 1 1 2 在1, 2 上单调递减， 1 1 1 a a n 1 n 7 , 在1, 2 上单调递减 x g x 在1, 2 上单调递减 又g 0 sin0 1 1 0 ，g 4 4 sin 1 0 2 2 2 2 2 2 格式 专业资料 x0 0, ，使得g x0 0 2 当x1, x0 时， g x 0 ；x x0 , 时，g x 0 2 即g x 在1,x 上单调递增；在x0, 上单调递减 0 2 则x x0 为g x 唯一的极大值点 即：f x 在区
41、间1, 2 上存在唯一的极大值点x0 . 1 （2 ）由（ 1）知：f x cos x ， x 1, x 1 当x 1,0 时，由（1）可知f x 在1,0 上单调递增 f x f 0 0 f x 在1,0 上单调递减 又f 0 0 x 0为f x 在1,0 上的唯一零点 x 时，f x 在( ) 当0, 0,x 上单调递增，在 0, x 上单调递减 0 2 2 又f 0 0 fx0 0 f x 在( ) 0,x 上单调递增，此时f x f 0 0，不存在零点 0 又 f 2 2 cos 0 2 2 2 2 x1 x0 , ，使得f x1 0 2 f x 在x0 ,x1 上单调递增，在 1,
42、x 上单调递减 2 Word 格式 专业资料 又f x0 f 0 0，f 2e sin ln 1 ln ln1 0 2 2 2 2 格式 专业资料 f x 0在x0, 上恒成立，此时不存在零点 2 当, x 时，sin x 单调递减，ln x 1 单调递减 2 f x 在, 2 上单调递减 又f 0，f sin ln 1 ln 1 0 2 即f f 0，又f x 在, 2 2 上单调递减 f x 在, 2 上存在唯一零点 当x , 时，sin x 1,1 ，ln x 1 ln 1 ln e 1 sin x ln x 1 0 即f x 在, 上不存在零点 综上所述：f x 有且仅有2个零点 【点
43、睛】 本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的 关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说 明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 1 p . 21（1）见解析；（ 2）（i）见解析；（ ii） 4 257 【解析】 【分析】 （1 ）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2 ） （i ）求解出a,b,c 的取值，可得 p 0.4p 0.5p 0.1p i 1,2, ,7 ，从而整理出 i i 1 i i 1 符合等比数列定义的形式，问题得证；（ ii）列出证得的等比数列的通项公
44、式，采用累加的方 格式 专业资料 p 和 式，结合 8 p 的值可求得p1 ；再次利用累加法可求出p4 . 0 【详解】 （1 ）由题意可知X 所有可能的取值为：1，0 ，1 P X 1 1 ； P X 0 1 1 ； P X 1 1 则X的分布列如下： X 1 0 1 1 1 P 1 1 （2 ）0.5 ，0.8 a 0.5 0.8 0.4，b 0.5 0.8 0.5 0.2 0.5，c 0.5 0.2 0.1 （i ）pi api 1 bpi cpi 1 i 1,2, ,7 即 p 0.4p 0.5p 0.1p i 1,2, ,7 i i 1 i i 1 整理可得：5pi 4pi 1 pi
45、 1 i 1,2, ,7 pi 1 pi 4 pi pi 1 i 1,2, ,7 p p i 0,1,2, ,7 是以p1 p0 为首项，4为公比的等比数列 i 1 i i i （ii ）由（ i）知： p 1 p p1 p0 4 p1 4 i i 7 p8 p7 p1 4 ， 6 p7 p6 p1 4 ，? ? ， 0 p1 p0 p1 4 作和可得： 8 8 1 4 4 1 0 1 7 p p p 4 4 4 p p 1 8 0 1 1 1 1 4 3 3 p 1 8 4 1 4 4 1 4 4 1 3 1 1 0 1 2 3 p p p p 4 4 4 4 p 4 4 0 1 1 8 4
46、 1 4 3 4 1 4 1 257 Word 格式 专业资料 p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率 为0.5，乙药治愈率 为 4 1 p 0.0039 ，此时得出错误结论的概率非常小， 0.6时，认为甲药更有效的概率为4 257 格式 专业资料 说明这种实验方案合理. 【点睛】 本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通 项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率 求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高. 22（1） 2 y 2 C : x 1,x ( 1,1；l : 2x 3 y
47、11 0 ；（2 ）7 4 【解析】 【分析】 （1 ）利用代入消元法， 可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的 直角坐标方程；（ 2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求 距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 （1 ）由 x 1 1 t t 2 2 得： 2 1 x t 0,x ( 1,1 ，又 1 x 2 y 16t 1 t 2 2 2 1 x 16 1 4 1 1 4 4 x 2 2 y x x x 2 1 x 1 1 x 整理可得C 的直角坐标方程为： 2 y 2 1, ( 1,1 x x 4 又x
48、cos ，y sin l 的直角坐标方程为：2x 3 y11 0 （2 ）设C 上点的坐标为：cos ,2sin Word 格式 专业资料 则C上的点到直线l 的距离 d 4sin 11 2cos 2 3 sin 11 6 7 7 格式 专业资料 当sin 1 时，d 取最小值6 则dmin 7 【点睛】 本题考查参数方程、 极坐标方程与直角坐标方程的互化 、 求解椭圆上的点到直线距离的最值 问题 .求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数 的最值求解问题. 23（1）见解析； （ 2）见解析 【解析】 【分析】 （1 ）利用abc = 1 将所证不等式可变为 证明：a 2 b 2 c 2 bc ac ab ，利用基本不等 式可证得 2 2 2 2 a b c 2ab 2bc 2ac ，从而得到结论 ； （ 2）利用基本不等式可得 3 3 3 a b b c c a 3 a b b c c a ，再次利用基本不等式可将式转化为 3 3 3 2 a b b c c a 24 abc ，在取等条件一致的情况下，可得结论 . 【详解】 （1 ）abc 1 11 1 1 1