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1、D O C B F EA 圆的综合证明 1、如图，在 ABC 中， AB=AC ， ADBC 于点 D，过点 C 作 O 与边 AB 相切 于点 E， 交 BC 于点 F， CE 为 O 的直径 .(1)求证：ODCE； (2)若 DF=1， DC=3， 求 AE 的长 2、如图， AB是 O的直径， C 是弧 AB的中点， D 是 O的切线CN上一点， BD 交 AC于点 E，且 BA= BD （1）求证： ACD=45 ； （2）若 OB=2 ，求 DC的长 3、如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂 线交AC的延长线于点 F过点 C作O的切线交 FD于点E （
2、1）求证：CEEF； （2）如果 3 sin 5 F， 2 5 EF，求 AB的长 4、如图，在 ABC 中， AB=AC ，以 AC 为直径作 O 交 BC 于点 D，过点 D 作 O 的切线 EF，交 AB 和 AC 的延长线于E、 F （1）求证： FEAB； （2）当 AE=6， sin CFD = 3 5 时，求 EB 的长 5、如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是BC的中点，过 点 D 作 O 的切线，与 AB， AC 的延长线分别交于点E， F， 连结 AD（1） 求证： AFEF； （ 2）若 1 tan 2 CAD，AB=5，求线段BE 的长 A E B D C F O
3、N E D C B A O E C F D A O B E F D A B C O 6 如图， ABC 内接于 O，AB 是直径， O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点P，OFBC，交 AC 于点 E，交 PC 于点 F，连接 AF. （1）求证： AF 是 O 的切线；（2）已知 O 的 半径为 4，AF= 3，求线段AC 的长 7、如图， ABC 中， AB AC，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，过点 D 作 O 的切线DE 交 AC 于点 E （1）求证： CDE90 ； （2）若 AB 13，sin C 13 5 ，求 CE 的长 8、如图 ,在 RtABC 中,C=
4、90 ,BE 平分 ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 边上且 DEBE. (1)判断直线AC 与 DBE 外接圆的位置关系,并说明理由 ;(2)若,求 BC 的长 . 9、在 RtABC 中,ACB= 90 ,以 AC 为直径的 O 与 AB 边交于点D,过点 D 作 O 的切线 ,交 BC 于 E. (1)求证 :点 E 是边 BC 的中点 ;(2)求证 :BC 2=BD BA; 10、如图， AB是 O直径， D为 O上一点， AT平分 BAD交 O于点 T，过 T作 AD的 垂线交 AD的延长线于点C（ 1） 求证：CT为 O的切线； （2） 若 O半径为 2，3CT， 求
5、AD的长 O F P E C A B E C BOA D 5 4 1 2 3 G E C F D A O B 1、 （1）证明：O 与边 AB 相切于点 E，且 CE 为O 的直径 CEAB AB=AC，ADBC， BDDC 1分 又OE=OC ， ODEB ODCE2分 （2）解：连接EF CE 为 O 的直径，且点F 在 O 上， EFC=90 CEAB， BEC=90 +BEFFECFECECF=90 BEFECF tantanBEFECF BFEF EFFC 又DF=1，BD=DC =3， BF=2， FC=4 2 2EF 3 分 EFC=90 ， BFE=90 由勾股定理，得 22
6、2 3BEBFEF4分 EFAD， 2 1 BEBF EAFD 3AE5分 2、证明： C是弧 AB的中点，弧AC= 弧 BC, AC=BC. AB是 O的直径， ACB=90 , BAC= CBA=45, 连接 OC, OC=OA, AC0=45 . CN是 O切线， OCD=90 , ACD=45 .2 分. (2) 解：作 BHDC于 H点，3 分. ACD=45 , DCB=135 , BCH=45 , OB=2 ， BA= BD=4,AC= BC=22 BC=22, BH= CH=2 ， 设 DC=x,在 RtDBH中， 利用勾股定理： 2 22 2)24x（， 4 分. 解得： x
7、=223（舍负的）， x=223， DC的长为：2235 分. 3、 （1）证明：连结OC CE为切线，OCCE. 2390. FDAB，190F 又OC=OA ， 12. 3F. CE EF . 2 分 （2）FDAB， 3 sin 5 F， 设3ADk，5AFk，可得4FDk D为OB中点，DBk 连结CB交FD于点G AB为 O直径，90ACBFCB FB DBk， 3 4 GDk，可得 13 4 FGk .3 分 90FCB，534F 3F，45 CEEFEG . 4 分 2 5 EF，5FG 5 4 13K ， 13 20 k 13 80 AB. .5 分 A E B D C F O
8、 H O A B C D E N 4、 （ 1）证明：连接OD . （如图） OC=OD， OCD= ODC. AB=AC， ACB=B. ODC= B. O D AB. 1 分 ODF =AEF. EF 与 O 相切 . ODEF，ODF =90 . AEF =ODF =90 . EF A B. 2 分 （2）解：由（ 1）知： OD AB，ODEF . 在 RtAEF 中， sin CFD = AE AF = 3 5，AE=6. AF = 10. 3 分 ODAB， ODF AEF. AE OD AF OF . 10 106 rr . 解 得r = 15 4 . 4 分 AB= AC=2r
9、 = 15 2 . E B=AB AE = 15 2 6= 3 2 . 5 分 5、 （ 1）证明：连结OD 直线 EF 与 O 相切于点D， ODEF OA = OD， 1=3 1 分 点D为BC的中点， 1=2， 2= 3， ODAF， AFEF 2 分 （ 2）解：连结BD 1 tan 2 CAD， 1 tan1 2 ， . 3 分 在 RtADB 中， AB=5， BD=5，AD=2 5， 在 RtAFD 中，可得DF=2， AF=4， OD AF， EDO EFA，. 4 分 ODOE AFAE ， 又 OD=2.5，设 BE=x， 2.52.5 45 x x ， 5 3 x，即 B
10、E= 5 3 . . . 5 分 6、 （1）证明：连接O C， (1分) AB是O直径，BCA=90OFBCAEO=90， OFAC，OC=OA，COF=AOF，OCFOAF OAF=OCF PC是切线OCF =90 ， (2 分 ) FAOA，AF是O的切线 (3 分 ) （2）O的半径为 4，AF=3，FAOA，OF= 22 OFOA+ = 22 34+=5 FAOA，OFAC，AFOA= OFEA， (4分) 3 4= 5 EA ，解得AE=12 5 ， AC=2AE= 24 5 (5分) 7、 （1）证明：如图，连接OD， DE 切 O 于 D，OD 是 O 的半径， EDO90 1
11、 分 ODOB 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。， ABC ODB ABAC， ABC C， ODB C， DOAC， CED EDO 90 2 分 3 2 1 O C B A D F E E F D A B C O 1 2 3 E C BOA D 8、 （2）如图，连接AD， AB 为 O 直径， ADB90，即 ADBC3 分 在 Rt CED 和 RtBDA 中， C ABC， DEC ADB 90， CED BDA， BD CE AB CD ， AB CDBD CE 4 分 ABAC13， ADBC， sin ABC AB AD sinC 13 5 ， 9、(1)直线 AC 与 DBE 外接圆相切 . DEBE, BD 为 DBE 外接圆的直径. 取 BD 的中点 O(即 DBE 外接圆的圆心),连接 OE. OE=OB. OEB= OBE. BE 平分 ABC, OBE= CBE. OEB= CBE. CBE+ CEB= 90 , OEB+ CEB= 90 ,即 OEAC. 直线 AC 与 DBE 外接圆相切 . E C BOA D