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1、5什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？ 对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望 用一些简单的函数来近似表达由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、 乘 三种运算， 便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数 具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项 式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？ 首先讨论若p（x）是一个n 次多项式 .xaxaxaaxp n n 2 210 .xxbxxbxxbbxp 的幂表示，即令x按着xx将p n 0n 2
2、02010 0 有什么关系？x与p、b、b、b那么，b n210 ,xxnbxx3bxx2bbxp又 .xp，得bx在上式中，令x 1n 0n 2 03021 000 ,xxb1nnxxb23b2xp . ! 1 xp xpb,xx 2n 0n032 0 010 又 得再令 ! xpxp b,xx 22 00 20 得再令 , .xx n! xp xx 2! xp xx 1! xp xpxp:于是 n.,0,1,2,k, k! xp 即：b n! xp b n 0 0 n 2 0 0 0 0 0 0 k k 0 n n 由此可知，将n 次多项式函数p（x）按着 0 xx的幂展开，它的多项式的系
3、数 k b由 多项式 p（x）所确定，即. !k xp b 0 k k 对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f（x）在点 0 x存在直到n 阶导数，总 能写出一个相应的n 次多项式 .xx !n xf xx !2 xf xx ! 1 xf xfxT n 0 0 n 2 0 0 0 0 0n 多项式xT n 称为 f（x）在 0 x的 n 次泰勒多项式若用 n 次泰勒多项式近似代替f（x） ， 所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有： 若函数 f（x）在含有点 0 x的某开区间（a，b）内有直到n1 阶导数，则对任意的点x （ a，b） ，有 n 0 0 n 2 0 0 000 xx !
4、n xf xx !2 xf xxxfxfxf ,xx !1n f 1n 0 1n 其中 1n 0 1n xx !1n f 称为拉格朗日余项，记作xR n ，即 .xxxx !1n f xR 0 1n 0 1n n 之间与介于 上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n 1， ,xxfxfxf 00 即是拉格朗日中值定理 在上式中，若用泰勒多项式近似代替f（x） ，所产生的误差是 .xx|xx| !1n |f | |xR| 0 1n 0 1n n 之间与介于 特别地，若xf 1n 在（ a， b）上有界，设M0, 对b,ax，有,M|xf| 1n 则误 差可
5、表示： .|xx| !n M |xR| n n 1 0 1 从上面可以求出，要求f（ x） 的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数 k b，而 , !k xf b 0 k k 因此只须求f（x）在 0 x的直到 n 阶的导数n,2,1 ,0kxf 0 k 即可 .1x4x2x3xxf1 23 的多项式展开为将例 思路启迪x1 可以写成x（ 1） ，故只需求出f（x）有 1 点的各级导数即可 .61f,6xf ;01f,6x6xf ; 11f,2x6x3xf ;41f,4x2x3xxf ,1x 2 23 0 规范解法 .1x1x4xf .1x !3 6 1x !2 0 1x14xf 3 32 即
6、故得 0时，公式成为：在泰勒公式中，当x 0 .10,x !1n xf x !n 0f x !2 0f x0f0fxf 1n 1n n n 2 这个公式称为马克劳林（Maclaurin ）公式 例 2 将 f（x） ln（1x）展开为x 的幂式（即马克劳林公式） 思路启迪首先求出f（x）在 0 点的各阶导数，然后代入公式即可 规范解法当 x1 时， f（x）是连续函数，并有连续的各阶导数： .10 x11n x 1xR ,xR n x 1 3 x 2 x xx1ln ,00f .,2,1n!1n10f ,2,1n x1 !1n 1xf 1n 1n n n n n 1n 32 1n n n 1n
7、 n 所以 又 .10,e 1n x n! x 2! x 1! x 1e故有 1,0f ,ex已知f规范解法 的马克劳林公式.ex求出函数f例3 x 1nn2 x nxn x 例 4利用 ln（1x）展开式的前五项计算ln1.2 之值 ln ,.|R| ,Rlnln ,.x .x, x |R| ,R xxxx xxln 182300000600004000026700202021 2000000110 1 1 000640 6 1 20 5 1 20 4 1 20 3 1 20 2 1 2020121 20 0 1 1 6 5432 1 6 5 5 5432 6 6 5 5 5432 故 取
8、规范解法 6怎样判别曲线的凹凸性及拐点？ 由导数xf的符号，可知函数f（x）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如 函数 3 xy与xy（图 317） 在 （0， ）都是单调增加的， 但增加的方式却不同， 3 xy 是向上弯曲的，而xy是向下弯曲的因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是 很有必要的 由图 318（a） 、图 3 18（b）我们可以直观地看到，当动点P 沿着曲线滑动时，曲线 上的切线随着点P 而变化当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称 曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上 凸的 如果一条曲线y f（x）在区间（
9、 a，b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线yf （x）在（ a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点 下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法 设 f（ x）在 0 xx的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线y f（ x）在点 00 xf,xM的切线为.xxxfxfy 000 因而切线上横坐标为x 的点的纵坐标为： .xxxfxfBAy 000 曲线上横坐标为x 的点的纵坐标为： ,xxf 2 1 xxxfxfBCxf 2 0000 与x之间，故介于x 0 .xxf 2 1 AC 2 0 AC表示点 x 处曲线上的点与切线上的点之间的距离( 如图 319) (1)
10、当0xf 0 时，则)x( f在点 0 x的充分小邻域内也大于0，因此 ACO ，于是 C在 A之上，换句话说，在M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下 凹的 (2) 当,0xf 0 则 xf 在点 0 x 的充分小邻域内也小于0，因此AC0 ，即点C在 A 之 下，换句话说， 在点 M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸 的 (3) 当0xf 0 时，f可能是正数也可能是负数 若 x 由小于 0 x变为大于 0 x,xf不变号，则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸 的；若x 由小于 0 x变为大于 0 x，xf变号，则在点M处曲线将从切线的一侧穿
11、过切线 进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的此时， 点 M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点 从上面 (3) 中的可以看出，若 0 x是使得0xf 0 的点，则 00 xf ,x可能是拐点 根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线yf(x)凸凹性的步骤： (1) 求出 yf(x) 的定义域D (2) 求出xf，并求出方程0xf的根,x 12 x等 (3) 用,x 12 x等点将 D分成若干个区域，在每个区间上判别xf的符号若0xf， 则在此区间上的曲线是向下凹的；若0xf，则在此小区间上是向上凸的( 此步骤通常列 表完成 ) 曲线是向下凹的.0,6xy0时，
12、当x 曲线是向上凸的.0,6xy0时，当x 0.得x0,6xy令 6x.y,3xyR，定义区域x规范解法 的凸凹性.x判定曲线y例1 2 3 20).3是曲线的拐点.( 如图0，0点0,0时，y当x 的符号，列表如下：xf近附 3 2 x0,判定x . 3 2 x0,得x0,xf令 . 3 2 x36x24x36xxf .1x12x12x12xxf R,定义域x规范解法 1的凸凹性与拐点.4x3x讨论曲线y例2 21 21 2 223 34 x （， 0）0 3 2 ,0 3 2 , 3 2 xf 0 0 f（ x）向下凹1 向上凸 27 11 向下凹 拐点（0，1） 27 11 , 3 2
13、由上表可知，曲线 1x4x3y 34 在（， 0）与, 3 2 是向下凹的，在 3 2 ,0是 向上凸的，拐点是（0，1）和 27 11 , 3 2 ，如图 321 7怎样求曲线的渐近线？ 我们知道双曲线1 b y a x 2 2 2 2 的渐近线有两条：0 b y a x 在作双曲线的图象时，如果 能先把两条渐近线作出来，再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象因此如果一条曲线 存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于准确描绘函数yf（x）的图象是非常必要的 一般地，当曲线y f（x）上的动点P 沿着曲线 yf（ x）无限地运离原点时，若动点P 到某一定直线l的距离无限地趋于0（如图 322）
14、，则称直线l的曲线 yf（x）的渐近线 下面我们将分三种情况讨论曲线的渐近线 （1）垂直渐近线 若,xflim 0 xx 或,xflim 0 xx 则直线 0 xx是曲线 yf（x）的垂直渐近线（垂直于 x 轴） . 4x3x 1 xf1的垂直渐近线求曲线例 思路启迪求曲线的垂直线渐近线，首先找出使分母为零的点 0 x，然后检查函数在这 些点两侧附近函数的变化趋势，若当无限接近该点时，函数趋于， 则 0 xx即为垂直渐近 线 , 4x3x 1 lim , 4x3x 1 lim 3x 3x 规范解法 , 4x3x 1 lim , 4x3x 1 lim 4x 4x 故直线 x 3 与 x4 都是曲
15、线的垂直渐近线 （2）水平渐近线 b,xflimb或xflimb、xflim若 xxx 则直线 yb 为曲线 yf（x）的渐近线，称为水平渐近线 . 1x 1 y2的水平渐近线求曲例 思路启迪曲线 yf（x）是否存在水平渐近线，就是看当x（或x）时， f（x）是否有有限极限b，若有有限极限b，则 yb 即为该曲线的水平渐近线否则，就不 存在水平渐近线 ,0 1x 1 lim x 因为规范解法 所以 y0 是曲线的水平渐近线 点评由以上的几个例题可以看到，对于有理分式函数R（x）来说，当分子的最高指 数不超过分母的最高指数时，曲线yR（x）有水平渐近线，当分子的最高指数大于分母的 最高指数时，曲
16、线y R（x）不存在水平渐近线 . xxx xx y 174 235 3 23 3 求曲线例 . 4 5 y , 4 5 1xx7x4 2x3x5 lim 23 3 x 是曲线的水平渐近线所以 因为规范解法 （3）斜渐近线 如图 322，设曲线 yf（x）的渐近线方程是ykxb，下面我们来确定常数k 和 b 设曲线 yf（ x）上任意点P（x，f（x） ）到直线ykxb 的距离是 |PM|，则由点到直 线的距离公式有： . k1 |bkxxf| |PM| 2 直线 ykxb 是曲线 yf（x）的渐近线，当且仅当;0 k1 |bkxxf | lim 2x x 当且仅当 ;0bkxxflim x
17、x 当且仅当bkxxflim x x 若 k 知道，则 b 可由上式求出，怎样求k？ . x xf limk0 x kxxf lim,0 x 1 lim xxx xxx 得从而由已知 于是，直线ykx b 是曲线 yf（ x）的渐近线当且仅当 .kxxflimb x xf limk xx xx 与 因此，若上面两个极限都存在，则曲线yf（x）有斜渐近线ykxb；若上面两个极 限至少有一个不存在，则曲线yf（x）不存在斜渐近线 . 1x4 3x xf4 2 的渐近线求曲线例 思路启迪检验一条曲线yf（x）是否存在斜渐近线，首先应检验 x xf lim x x 是否为有 限数值，若为有限值k，则再
18、检验kxxflim x x 是否为有限值b，若 b 为有限值，则曲线y f（x）存在斜渐近线ykxb , 1x4 3x lim, 1x4 3x lim 2 1x 2 1x 已知规范解法 所以， x1 是曲线的垂直渐近线 .xy . x x lim x x x limkxxflimb , xx x lim x xf limk x xx xx 5 4 4 1 4 5 14 95 414 3 4 1 14 3 2 2 于是直线 又 即 x-4y-5=0 是曲线的斜渐近线 例 5求曲线 yarctanx 的渐近线 . 2 y 2 y . 2 xarctanlim, 2 xarctanlim xx 与所
19、以曲线有水渐近线 因为规范解法 的渐近线求曲线例 x 2xx2 xf6 2 . x 2xx2 lim, x 2xx2 lim 2 0x 2 0x 规范解法 则 x0（即 y 轴）是曲线的垂直渐近线 .1 x 2x limx2 x 2xx2 limkxxflimb ,2 x 2xx2 lim x xf limk x 2 xx 2 2 xx 又 所以 y2x1 是曲线的斜渐近线 8怎样作函数的图象？ 在中学数学中， 我们利用描点法描绘了一些简单函数的图象但是， 描点法有缺陷， 因 为描点法中我们所选的点不可能很多，而一些关键性的点，如极值点、 拐点等可能漏掉；而 曲线的重要性态如单调性，凸凹性也没
20、有掌握因此， 描点法所描绘的函数图象往往与真实 的图象相差甚远现在， 我们已经掌握了借助于导数的符号，可以确定函数图象在哪个区间 上升， 在哪个区间下降，什么地方是极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数图象在 哪个区间向下凹，在那个区间向上凸，在什么地方是拐点而我们知道了函数图象的升降、 凸凹以及极值点和拐点后，由此也可以掌握函数的性态，并由此可以把函数的图象画得比较 准确 一般地，利用导数描点绘函数的图象可按照下列的步骤来进行？ （1）确定函数的定义域 （2）观察函数yf（x）是否具有某些特性（如奇偶性、周期性） （3）求出函数yf（x）的渐近线（如果有的话） （4）求出函数.xfxfx
21、fy与二阶导数的一阶导数 （5）求出方程0xf及0xf的全部实根，并用这些根把函数的定义域分成若干 个区间（列表） （6）判别曲线在第5 步所分成区间内的单调性、凸凹性，并确定极值点与拐点（列表） （7）确定一些特殊点，如与坐标轴的交点及某些易算出的点（x，f（x） ）等 （8）画出渐近线，并根据以上所讨论的函数的性态描绘出曲线的图象 .2 x 1x4 y1 2 的图象作函数例 规范解法（ 1）定义域：（， 0）（ 0，） （2）渐近线： 因 22 x 1x4 lim 2 x 所以 y 2 是水平渐近线； 又因 2 x 1x4 lim 2 0x ， 所以 x0 是垂直渐近线 列表即令 即令 .
22、3x,0y ;2x,0y . x 3x8 y, x 2x4 y)3( 43 （4）描出几个特殊点：A（ 1， 2） ， B（1， 6） ，C（2，1） ， 9 2 3,D （5）描绘函数的图象（如图323） 注：表中的符号“”表示递减向下凹， “”表示递减向上凸， “”表示递增向下 凹， “”表示递增向上凸 . 1x4 3x y2 2 的图象作函数例 规范解法定义域（，1）（ 1，） . 1x4 3x lim, 1x4 3x lim 2 1x 2 1x 因 所以 x1 是曲线的垂直渐近线 . 4 5 x 4 1 1x4 3x limb , 4 1 1xx4 2x limk 2 x 2 x . x y, x xx y .yx,xy 32 1 2 14 31 054 4 5 4 1 即斜渐近线 y;x,xy即无拐点无解令得令0310 21 列表如下： . 4 1 2，和B 4 9 0，描绘出两个特殊点A 描绘出函数的图象（如图324）