整式基本概念及加减运算.pdf

《整式基本概念及加减运算.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整式基本概念及加减运算.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、整式基本概念及加减运算 例题精讲 板块一 代数式、单项式、多项式 代数式的定义：用基本的运算符号 (加、减、乘、除、乘方等 )把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代 数式 . 单独的一个数或字母也是代数式. 列代数式：列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”. 列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、 少、增加、增加到等数学概念和有关知识. 在列代数式时，应注意以下几点： （ 1）在同一问题中，要注意不同的对象或不同的数量必须用不同的字母来表示； （ 2）字母与字母相乘时可以省略乘号； （ 3）在所列代数式中，若有相除关系要写成分数形式； （

2、4） 列代数式时应注意单位，单位名称在代数式后面写出来，如果结果为加减关系，必须用括号将代数式 括起来； （ 5）代数式中不要使用带分数，带分数与字母相乘时必须把带分数化成假分数. 1 x 2yz ，这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的 单项式：像2a ， r 2 ，2 y ， abc ， 3x 37 代数式称为单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特 别的单项式的分母中不含未知数.单独的一个字母或数也叫做单项式，例：a 、 3 . 单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和.例如：单项式1 ab2c ，它的指数为12 1 4 ，是四次单 2 项式 .单独的

3、一个数 (零除外 )，它们的次数规定为零，叫做零次单项式 . 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项数的系数.例如：我们把 4 叫做单项式 4x 2 y 的系数 . 77 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式 .例如： 7 x23x 1 是多项式 . 9 .多项式中的各项包括它前面的符号.多项式中不含字母多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项 的项叫做常数项 . 多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数. 整式：单项式和多项式统称为整式 . 【例 1】 指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？

4、2 x1 3ab 2 0 a 10 n ab b a 3 2 S R 2 347 【巩固】 a ， b ， c 都是有理数，试说出下列式子的意义： a b 0 ； abc 0 ； ab 0 ； ab1 ； a 2 |b | 0 ； a b b c c a0 ； a 2 b 2 2 ； a b 【例 2】 讲下列代数式分别填入相应的括号内： 1 2 ，a，1，2 ， 2 n 1 ， x 2， 1 ，21 abx xmmn 3n 2 3x x23 2b 33yx 单项式（）； 多项式（）； 二项式（）； 二次多项式（）； 整式（） 【巩固】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.

5、2 xy 2 ； a ； a ； mn 3 ； 25 t 7 ； 3a 2b3c ； 2 ； x 3bc2 【巩固】下列代数式中那些是单项式？指出这些单项式的系数和次数： x 1 ，2 2a3b 4 ，5， xy ，3x 1，abc 3x3 【巩固】写出一个系数是2004 ，且只含x 、 y 两个字母的三次单项式是. 【巩固】写出下面式子的同类项： 2 11 7 2 5x y c a xy z 62 【例 3】 下列各对单项式中不是同类项的是（） 3 x4 y 2 B 28x 4 y3 与 15y 3 x4 A 2 与 4x 2 y 4 C 15a 2b 与 0.02ab2 D 3 4 与 4

6、 3 【巩固】单项式 1 x a b y a 1 与 3x 2 y 是同类项，求a b 的值 . 3 m n 3ab 3 是同类项，且 A mx 2 y2，B 3 x 2 y2，求2A 3B A 2 B A【例 4】 已知 a 3 b 3 和9xynxy 的值 【巩固】已知关于 x，y 的单项式3x n 3 y 3 和y2 m 1 x4是同类项，则m，n 1 m 22 m2 n m ， n 的值 .【巩固】若 9a 3 b 55 与 a2 b 是同类项，求 【巩固】设 m 和 n 均不为零，3x 2y 3 和 5x 2 2m n y 3 是同类项，则 3m 3 m 2 n 3mn2 9n 3

7、5m 3 3m 2 n 6mn2 9n3 【巩固】若 5a x 3b y x ， y 的值 .b 2 与 0.9a是同类项，求 【巩固】 若 1 x4a y4 z b 和 7 x 8 ya 2c是同类项，求 a bc 的值 3 【例 5】 同时都含有a ，b，c ，且系数为1的 7 次单项式共有（）个 A 4B12C15D25 【例 6】 填空：若单项式n 2 x 2 y1 n 是关于x，y的三次单项式，则n 【巩固】含字母 x 和 y ，且系数为 1的四次单项式是 【例 7】 将多项式 223 按 x 的降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项.x y 4 xy2 x y 1 【巩

8、固】 下列各式中，哪些是多项式？并指出它是几次几项式. 4 4 2 a ； a3 2ab 3 b3a 3b； xy x ； 2ab 2 x 1 x5b 【例 8】 若多项式x4ax 3 x35 x 2 bx 3x 1 不含x的奇次项，求ab 的值 【例 9】 若多项式5x 2 y m n 3 y 2 2 是关于x，y的四次二项式，求m22 mnn 2 的值 2 【巩固】当 m 取什么值时，(m 2) x m 1 y 2 3xy 3 是五次二项式？ 【例 10】设，表示正整数，多项式 x m y n 4 m n 是几次几项式m n 【例 11】一个多项式按x的降幂排列，前几项如下： 109827

9、3 x2 x y3x y4 x y. 试写出它的第七项及最后一 项，这个多项式是几次几项式？ 【巩固】已知 2x 7 a0a1x a2 x2 . a 7 x 7 对任意x的值都成立，求下列各式的值：1 a0 a 1 a2.a7； a1a3a5 a7 【例 12】试分别用两种不同的标准对下列多项式进行分类：3x22x，ax 2 bxy cy2，ab b a 2，1 xx 2 【例 13】如左图，计算四边形AECF 的面积 D G C F 6b E A 7a HB 【例 14】如右图，用含有x 的代数式表示糟型钢材的体积 x x 2x+7 2x 【巩固】如图所示，用x 的代数式表示零件的体积 x

10、x x x x 2x 3x+5 x 【巩固】如图，一块直径为a b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与 b 的两个圆，求剩下钢板的面积（表 示圆的直径） a b 板块二 整式加减 合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变. 【例 15】按要求将下列多项式添上括号：将多项式9 4 x 2 4 xy y 2 中含有字母的项放在前面带有负号的括号 内； 【巩固】将多项式 1 2a 2b 2ab a 2 2b 2 中二次项放在前面带正号的括号内，一次项放在前面带有负号的 括号内 【巩固】若 2a mb 2m 3 n 与 a 3b9

11、 的和仍是一个单项式，求m 、 n 的值 . 【巩固】两个三次多项式相加，和是（） A 六次多项式A 三次多项式A不超过三次的多项式A 不超过三次的整式 【例 16】去括号，在合并同类项：2 x 3 x22x 4 x 2 3x 10 【巩固】化简：x2x2x2x2 【例 17】化简： 5 a 3 b2 1a 2 b 2ab 5a3 b2 15 3ab 2ba 2 63363 【巩固】化简： 5( x y)2( y x) 2( y x) 2 3( x y) ( xy) 3 【例 18】化简： 2(ab) 2 (b a) 6( b a ) 2 11(a b) 222 【巩固】化简： (a b)3(

12、a b)2(b a ) 【例 19】若 A9a 3b2 5b 3 1， B7a 2 b 3 8b 3 2 .求： 2 AB ；3B A 【巩固】求 3a 2b 6a 3 b 3 与 6a 3 7a 2b 3b 2 的和 【巩固】若 A 2x 2 5xy 3 y 2 ， B 2 x 2 3xy 4 y 2 ，且 2 A 3B C 0 ，求 C . 【巩固】已知 A a 2 a 1， B a 2 a 1 ，求 AB AA 2B 【巩固】化简： 3x 2 7x 4( x 3)x 2 22222222 【巩固】化简： 4xy3x y3 x yxy2 xy4 x y( x y2xy ) 【例 20】第一

13、个多项式是x22xy 2 y 2 ，第二个多项式是第一个多项式的2倍少 3，第三个多项式是前两个 多项式的和，求这三个多项式的和 . 【巩固】已知多项式 A 与 x22x 3 相加得2x 2 3x 3 ，求多项式A 【巩固】已知两个多项式的和为3 x 2 2x 1，差是 x 2 4x5 ，求这两个多项式 【巩固】求比多项式 5a 2 2a 3ab b 2 少 5a 2 ab 的多项式 . 【巩固】从一个多项式减去 确的答案 . 10ab2bc11 ，由于误认为加上这个式子，结果得到的答案是3bc3ab . 求出正 【例 21】有这样一道题：“已知 A 2a 2 2b 2 3c 2 ， B 3a

14、 2 b 2 2c 2 ， Cc22a 2 3b 2 ，当 a 1 ， b 2 ， c 3 时，求 AB C 的值 ”有一个学生指出，题目中给出的b2 ， c3 是多余的他的说法有没 有道理？为什么？ 2 x 7 ， B 2 ，且 A3B 与x无关，求y与 A3B 的值 .【巩固】若 A 3x y 4xyx y 3 xy 3x 【例 22】已知 AB 3x 2 5 x 1 ， A C2 x 3x25 .当 x 2 时，求 B C 的值 . 【例 23】已知代数式ax 4 bx3cx 2 dx 3 ，当 x2 时它的值为20 ；当 x2 时它的值为16 ，求 x2 时， 代数式 ax 4 cx

15、2 3 的值 【巩固】已知当 x2 时，代数式 ax 3 1 ，求当 x2 时，这个代数式的值bx 2 的值是 【巩固】设 A 2x 2 3xyy2x 2 y ， B 4x 2 6 xy 2 y 2 y ，若 x 3a( y 5) 2 0，且 B2A a ， 求 A的值. 【例 24】先化简，再求值： 若 a3 ， b4 ， c 1 ，求 7a 2 bc 8a 2cb bca 2 (ab 2a 2bc) 的值 . 7 【巩固】先化简，在求值： 3x 2 5x x 2 2x 2 x ，其中 x 2 2 3 223 【巩固】化简求值： 5 x 2 yx 2 y 3 x 2 y 2 y x ，其中

16、x1，y 4 【巩固】化简求值：3ab 2b3a5ab 12b 2a，其中a2b5，ab3 【巩固】若 a1 ， b2 ， c3 计算： nnn 1nn 1 8a( 2a )( 8a) 9aa 5a2b3a 2b(2 ab2a2 c)( 7 ab 2 a2 c) 【例 25】已知 (a2) 2 a b 5 0 ，求3a 2 b2a 2b (2ab a 2b) 4a 2 ab . 【巩固】已知 a 、 b 、 c 满足： 5 a 32 b 2 0； 1 x 2 a y 1 b c 是 7 次单项式； 2 3 求多项式 a 2b a2 b 2abc a 2c 3a2b4a 2 c abc 的值 【

17、巩固】对任意实数 x ，试比较下列每组多项式的值的大小：4x 2 5 x 2 与 3x 2 5x2 【例 26】比较大小：5x 2 2 x 1 与 5 x 2 3x2 【例 27】应用整式知识解答下列各题： 任意写出一个三位数，然后把这个三位数的百位数和个位数交换位置，得到另一个三位数，求证： 这两个三位数的差总能被99 整除 一个三位数，将它的各位数字分别按从大到小和从小到大的顺序重新排列，把所得到的两个三位 数相减，若差等于原来的三位数，则称这个三位数为“克隆数”。求出所有的三位“克隆数” 课后练习 1.指出下列各式，哪些是代数式，哪些不是代数式？ 2 x 1 3ab 2 0 a 10 n

18、 a b b a 3 2 SR 2 34 7 2.若 ma m b 3 m 与 nab n 是同类项，求 ( nm)2003的值 . 3.若0.11x a b ya b与 5 x a 1 y 3 是同类项，求 a ， b 的值 . 9 4.如果 a m 3 b 与 1 ab 4n 是同类项，且 m 与 n互为负倒数，求 n mn 3( m 4)1m 11 值 . 344 5.边长分别为 a 和 2a 的两个正方形按如图的样式摆放，求左图中阴影部分的面积 2a a 2aa 6.把下列多项式按 x 降幂排列，并指出是几次，几项式，并指出系数最小的项： 13y 2xy 18x 3 y 7 x 2 y

19、 2 ；3xy 2 5x2 y x3 y 2 y1 7.求 1 x2 1 x3 与 2 x21 x 1 的 差. 234345 8.化简： x n 0.5x n 1 0.2 x n xn 10.3x n 1 9.设 A 2x 2 3xy y2x ， B 5 x 2 8xy 2y 2 3x ，求 3A 2B 10.一个多项式加上2x 2 x35 3x 4 得 3 x 4 5x 3 3 ，求这个多项式 11.若 a2 ， b 1 ，求代数式a 4 3ab 6a 2 b 2 3ab 2 4ab 6a 2 b 2 7a 2 b2 ab 2 2a 4 b 4 值 . 12. 若 x2 与 ( y 1) 2 互为相反数，求代数式( x 2 y 3 xy) 2(3x 2 y 2 xy) 的值 . 2