1、空间向量与立体几何典型例题一、选择题：I.(2008全国【卷理)三极柱AAC-A4G的侧梭与底面边长都相等，A在底面A8C内的射影为A8C的中心，那么八包与底面A3C所成角的正弦值等于(C)A.1B.C.4D-33331 .解：C.由题意知三极锥A-4AC为正四面体，设校长为“，那么ABi=下a，梭柱的高Ai=ya2-A=Ja2-(a)2=(即点&到底面ABC的距肉).故八4与底面ABC所V323成用的正弦值为四=*.AB13另解：设A8.ACAA为空间向业的,祖基底，A&ACAA的两两间的夹角为60长度均为a,平面ABC的法向M为OA=AA-AG-八6,八=A8+A4,33那么AB1与底面八
2、C所成角的正弦值为原=y.二、填空题:1.(2008全国I卷理等边三角形A3C与正方形A或应有一公共边AB,:面角C-A3。的余弦位为也，M,N分别是AGBC的中点，那么E,AN所成角的余花值等于.1题图(1)2 .答案：1.设AB=2.作CoJ.面人/?/；6OH1AB,那么CH1./V?./CHO为二面角C-八一。的平面向CH=3,OH=CHcosZCHO=1.结合等边三角形八8C与正方形八8)可知此四极锥为正四技锥，那么AN=EM=CH=&AN=1.AC+八8),EM=1.e-A3 2ANEM=-(8+C)(-AC-AE)=222故EW,AN所成角的余弦值AN-EMIAM1.EM另解：
3、以。为坐标原点，建立如下图的口角坐标系，那么点A(T,-1,0),B(1.,-1.,0),E(-1,1,0),C().().2).EM,AN所成角的余弦值ANEMAMEM三、好答遨:：.设平面OCD的法向量为“=(X.V,幻.那么hOP=Oj,OD=0I.(2008安徵文)如图,在四技椎O-ABCfM1.底面ABCO四边匕为I的芟形，/ABC=X,4OA1.ABCD.QA=2.M为。4的中点.(I)求异面直线AB与MD所成角的大小；(I1.)求点B到平面OCD的距离.1 .方法一(综合法)(1) .cmhB,INMDC为界面之战AB与MD所成的角(或其补角)作A/_1.CN。,连接：MD=-J
4、ma2+AD-=2.所以Afi与MD所成用的大小为-3(2) VAf1.平面狈.,点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP.过点A作AQ1.OP于点Q.又VAQ1OP,：.AQ1平面OCO.规段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.OP=JD2-DP2=JA+AD2-DP1=4+1.-=.AP=DP=2立,.AQ=(A.=尊=2,所以点B到平面OCD的距离为三OP至332方法：(向最法)作AP_1.Q干点R如图,分别以AB.AP.AO所在“代为二轴建立坐标系-y-2z=02 -x+-y-2=()22,取Z=TI.解得=(0,4.0)设点B到平面OCD的距离为d,那么d为OB在向量=(0,4,2
5、)上的投影的绝对值.0BIiV0=(1.0.-2).AOA2+AD2-DPz,AP=DP=-2巫,:AQ=生竺=工，所以点B到平面OCD的距离为工OP3233方法二(向量法)作AP1.CDF点P.如图,分别以AB./P.AO所在宜规为x.y.z轴建立坐标系4(0,0,0),m.O,O),P(O,*,O),-*,g),0(0,0,2),W(0,0,1),Na-f,g),22244()MN=(-,-1.),OP=(0.-.-2).OD=2y-2z=0冬一2z=0ODCP9*所N设1.OCD的法向量为w=(x,Z).那么n.OP=0.nOD=O取Z=应.解得“=(0,4.0)(2)设A8与儿步所成的
6、用为,A1.i=(W),MD=-i)A.VDI11：CoSe=J.I；1.=。.AB1.jMD网.|叫23成用的大小为2设点B到平面OCD的交流为4.那么d为。力在向量=().4.)上的投影的绝对值,22由Ofi=(1,0.-2).得d=1.r=:所以点B到平面OCD的跑离为上|333.12008北京文)如图，在三梭椎P-ABC中，AOBC=2.ZACB=90o,AP=BP=AB,PC1.AC.(I)求证：PC1.A8；(I1.)求二面由B-AP-C的大小.3.解法一：(1)取八8中点。，连结PD,CD.：AP=BP.：.PDAR.；AC=BC.：.CD1.AB.：PDQCD=D.AB上平面P
7、CD.：PCc1.ftPCD.：.PC1.AR.(I1.)-C=BCAPBP.：.&APe4BPC.又PCA.AC.PC1.BC.又AC8=90,aPAC1.BC,且ACnPC=C,AB=BP,：.BE1.AP./EC是在平面小。内的射影.：.CE1AP.；.NBEC是:面角SePC的平面角.在Z8Cfi1中，NKE=90；BC=2.BE=gAB=庭,2也RE3.二面角J-APC的大小为arcsin里.解法二：(1)-AC=BCAP=IiP.APCRPC.又PC1.AC.：.PC1BC.,.CBC=C.APC1.平面A8CAB平面48C.PC1.ABB（三）如图,以C为原点建立空间宜角坐标系G
8、jqx那么C(O.O.O),(0.2.O),B(2.0,0).设P(0.0.r).,/IPfiI=IBI=22,：.r=2.P(0.0.2).取AP中点连结CE./AC=PC,B=BPt：.CE1AP.BE1.AP.：.ZBEC是二面角/MP-C的平面角.,.E.平面APBJ_平面PCD.过C作CH1.PD.垂足为Y1.ft1.iAPBT1.ff1.PCD=PD.J平面AP8.CH的长叩为点C到平面APB的距离.由(I)PCAB.又PCJ.AC,f1.4C=A,.PCJ平面ABC.CDU平面ABC,:.PC1.CD.在RtZPC)中,CD=；AB=近.PD,B=6.：,PC=4P-CD=2.P
9、CCD二26PD.点C到平面AIiH的距离为W解法二：(1).AC=HC.AP=BIi.APCBPC.又PC_1.AC,.PCBC.v4CfiC=C.PC1.平面AeC.A5u平面ABC,.-.PC1.AH.(II)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-RZ.那么C(OQ,0),A(0,2,0),3(2Ia0).设P(Okok/).PH=AB=22.r=2,P(0,02).取AP中点E,连结8ECE.AC=PC,AB=BF.CEAP.BE1.AP.BEC凫:面角B-AP-C的平面角.(0,1,1),fC=(O-1.,-1.),8=(2,-ztt,.z.-Cf-B23cosZBhC=J11?=1
10、eceb263.二面角A-AP-C的大小为arccos今.(111)-.AC=BC=PC.C在平面APB内的射影为正AAPB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.如(I1.)建立空间出角坐标系。一).BH=IHE.二点H的坐标为.cw=平.点C到平面APB的距离为苧.5. (2008福建丈)如图，在四楂锥中，侧面MD，底面ABCD则梭M=PD=0欣面ABCD为口角梯形,其中BCAD.AB_1.CD.AD=2AB=2BC=2Q为AD中点。(1)求证：PO_1.平面ABCD:(2；求异面直线PBCD所成角的氽弦值：(3)求点A到平面KD的距离5.解:如图，A(0.-1.0).B11.
11、1.0,C(1.0.0),D(0.1.0).R0.0.1)所以CD=(-IJO),PB=O-1.-D所以异面更浅所成的角的余弦伯为：WH-CP=OH-CD=O-+Z=0-.v+V=O(2)设平面PCD的法向眼为h=(x,y,z),CP=(-1,0,1),CD=(-1,1,0)那么，点A到平面PcD的距离为：d令x=1.那么y=z=1.所以“=(1.JJ)又AC=(1.1,0)6. (2008福建理)如图，在四枝堆/M8C7)中，那么向PAD底面BCD.kPA=PD=2,底面ASCC为H角梯形,其中BC/ADAIi1ADAD=2AB=2BC=2.O为AD中点.(I)求证：POUFiIijABC
12、/):(II)求弁面直筏PD与CD所成用的大小：(I1.I)戏段Az)上是否存在点Q,使得它到平面Pe的印恩为,？假设存在，求出器的值;假设不存在,请说明理由.6 .本小应主要考资直线与平面的位置关系、界面宜线所成角、点到平面的距离等根本知识，考查空间想象能力、逻班思维能力和运算能力,总分值12分.解法一：(1)证明:在中=PD。为AD中点,所以PouD.乂蒯面用。_1.底面A8CC.平面PA。C平面A8C)=A),POU平面PAD,所以PO1.平面AHC/).(I1.)连结BO,在口角悌形ABCO中、BCAD,AD2AB=2BC.有ODnBC且OD=Bc所以四边形OBCD是平行四边形.所以O
13、B/DC.It1.(I)知.PO1.CB.NPB。为锐角.所以/P8。是异面直线PH,-iCD所成的角.因为AAX8=28C=2,在RtA0中,AB=MO=I.所以。B=在RtAPOA中.因为AP=J.AO=I,所以P=I.在RtP1.P.IanZPifO-=-!=-,NPBo=arctanWBC022所以封面11践PBCD所成的角是arcian.2(III)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为孚.设QD=X,那么SAoOc=：*，由（三）如CD=OB=0,在Rt尸OC中，Pc=HocroF=所以PC=CD=DP.Sua)=争后考由1.me=VO得2,所以存在点。满足题意，此时兴=(.解法
14、二：(I)同解法一.(ID以。为坐标晚点，OUOnoP的方向分别为X轴、y他、Z轴的正方向.建立空间直角坐标系O-Xyz,依题意,易得4(0,-1.,Q),6U,T,Q),C,0,Q),P(0,1.,0),MO,O,1),所以CD=(-I,1O),PB=(1.-1.,-1.).所以异面之战加与所成的角是arccosy.(W)假设存在点使得它到平面也的距离为中.2(I1.)=(-10.i)ftD=(-1.1.0).设平面灯。的法向R为11=(X11Jt,.%).nCP=O,-a+=0.那么1所以勺个即/=%=n.CD=O,ITi)+)O=0,设Q(0,y,OM-1.y1.),C=(-1,y,0)
15、由得胃考解T或尸部取=1,得平面PCD蝴一个法向量为店(I,1,1).去)，此时H0=.Qq=所以存在点满足题意，此时卷=g.7、(2(X)8海南、宁夏理)如图点P在正方体ABCD-ABCD的对角纹BD,NPDA=60.(11求DP与CC所成角的大小：(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.7 .斛；如图，以。为原点，QA为单位长建立空间直角坐标系。-X*.那么OA=(1,0,0),CC=(0.0.1).ri1BD.BD.在平面BBDD中,廷长DP交BfDFH.设。二(nnu)(m0)，1.h=6(),由MO=DADHcos可得2，=J1.w?+1.好得m=*,所以。=2(1)因为COS
16、220+-0+1.1.E,22_也K2，所以=45.即OP与CC所成的角为45.(II)平面A/力)的一个法向量是DC=(0,1,0).因为COS=冬+冬*1x0所以=60.空设A8=c(ca=.那么例0.0.0),A(O.c.O).C(Ja2-c.).A(O.w).于JBC=(Ja2-C?,0,0).BA1=(O.,).AC=(ai-C2-c.0),AAi-(Oea)设平面AiBC的一个法向盘为n=(x.yiz).那么由”,竺小nBC=0.Cy+az=0.C-c2x=O.可取n=(O.a.O.AC-n的夹角为锐角.届么供的互为余角.nAC(0.-,c).(rt2-c2,-c,O)sin。=
17、COSB=7-nAC后”府a可得DP与平面/VTO7)所成的角为30.8 .(2008湖北文)如图,在直三棱柱八8C-A4C中，平面ABCJ1.0面AAB%(I)求证：AB1.BC-,(II)假谀U1=AC=.直线AC与平面A1BC所成的角为。，二面角a-BC-幽大小为在求证：0+(Pq8 .本小题本要考费线面关系、宜战与平面所成角、二面角等有关知识，考查间想家能力和推理论证能力.(总分值12分)(I)证明：如右图，过点A在平面AA89内作八。,A必于D那么由平面A/C1.俯面且平面AIBCC侧面AiABBi=A1.B.得Aoj.平面A出C.又成匚平面48C所以AO1.BC因为三核柱ABC-A
18、fB1.C1.是直三梭柱.那么底面A8C.所以/UBC.乂AAInAD=A.从而8CJ.侧面AiAHB1.又Af1.C侧面A1.ABM,AB1.BC所成（三）证法1：连接Ca加么由(I)知NaC。就是直线AC与平面A4C的m，NAZMi就是二面地八-8C-A的顺角，即NAC=,ZBi=.ADADA)A于是在RtAAOC中，sin=,在RtADA中，si11zAD=sinO=SinAA由于。与AA。都是脱角.所以O=ZAAtD.又由RtAAIAB知,ZAAD+=ZA4+=,故0+=一.证法2：由(1)知.以点B为坐标原点,以BCBA,。协所在的直线分别为*轴、V轴、Z轴,建立如下图的空间出角坐标
19、系.BA.BA(O.-.c)(O.O.)CCOSCp-=(-=-1-BA,.BA-+r.w2+c2所以SinO=COS=sin(-e),又00,.所以0+=.2229 .(2008湖北理)如图,在直三棱柱ABCABC中，平面ABC1.恻面AIABB.(I)求证：ABBC:(I1.)假设直线AC与平面AIBC所成的角为O“二面角A1-BC-A的大小为嫉的大小关系,并予以证明.9.本小麴上要考查比极柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.(总分值12分)(I)证明；如右图，过点A在平面A*8加内作AD_1./I归于以加么由平面MiC侧面A1.ABBif且平
20、面4C侧面AiABR,=A1BMAD1.平面AiBC,又BCU平面AiBC.所以月A1.成因为三棱柱ASC-A1B1G是直三棱柱.那么从底面ABC.所以Ai_1.BC又/W.AD=A.从而8CJ.侧面小月圈.又ABC侧面AiAHB1.微AB工BC(II)解法1：连接CD,那么由(I)如NACf)是H找AC与平面AIBC所成的角,ZABA,是：面角At-BC-的平面角,即/ACQ=O,ZABA,=,A。AD于是在R1.ZSADC中，sin=,在R1.z1.AC8中，sinp=ACAB由A8VIC,fi)sinsin.X0,vg,所以V,法分为:由(I)知，以点8为坐标原点，以8C、BA、8所所在
21、的出X轴、,v轴、Z轴，建立如下图的空间直角坐标系,A8=c.那么B(0.0.0).(O,t-.O),C(yb2-C2.0.0).1(0.c.),于是设平面A18C的一个法向量为=(.v.y.-),部么,nBA.=0.cy+z=0.Ih到1._-nBC-0.b-cX=0.设A4=rt,C=,为=i,所以于是由CV尻得可取M=(0.w,),于是AC=0.4C与的夹角B锐珀,那么P与0互为余角.即sinsin,又0V0,V,所以9V.10.(2(X)8湖南理)如下图，四梭铢P-ABa)的底面ABCT)是边长为1的菱形,ZBCD=W0.E是(7)的中点，掰1.底面八8CQ,PA=2.(.I)证明：平
22、面P8E_1.平面用8;(II)求平面例。和平面P8E所成二面角(锐角)的大小.10 .解：解法一(I)如下图.连结8”.IA8C)是婺形且N8d)=60c知.8C。是等边：角形.因为K是CO的中点，所以BK1.CTX乂AHCD.所以8E/3.-1.0).-X,+-y,+0z,=0.于是-腼=黑=孚故平面H和平面内郎所成二面用(锐角)的大小是arccos孚.I1.(2008湖南文)如下图.四棱椎P-ABCD的底面A8CQ是边长为I的菱形，ZBCD=60.E是CD的中点.PAJ.底面ABCD,PA=S(I)证明:平面PBEJ.平面PAB：(II)求二面角ABEP和的大小。11 .解：解法一(I)
23、如卜图.连结由人8。力是菱形且/8CD=60知，ABCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以8_1.CD.又ABrCD.所以8_1.AB.又因为PA_1.平面ABCD,BEu平面ABCD,所以PABE,而PAA8=A,因此BE平面PAB.又BEU平面PBE,所以平面PBEJ.平面PAB.(II)由知，8：_1_平面/也.尸Bu平面PAB.所以Hij.BE.又AB_1.BE,所以NPBA是二面向A-BE-P的平面地.在R1.AEAjM1.p_IanZPBA=-=y3,ZPBA=6().AB故二面角A-BE尸的大小为6().解法：如下图,以A为原点，建立空间总角坐标系.那么相关各点的坐标分别是(
24、I)因为BZt=(0,WQ),平面PAB的一个法向域是nn=(04,0),所以BE和时共设从而BEJ_平面隙8.又因为BEu平面PBE,所以平面PBE_1.平面MB.（三）易知PQ=(1,0,-我,BE=(OwQh设“；=(x,.vfZ1.)是平面PBE的一个法向量,那么由x1.+0y1.-J31.=0,0x1.X+0z1.=0所以);=0,故可取；=(6J).而平面ABE的B一个法向量是%=(0Q,1.)于是,COS=，=.UO1.M2I2故.面角A-BE-P的大小为60.np12. (2008江苏)记动点P是梭长为1的正方体ACO-A%C)的对角戏/JR上一点，记=久.当D、BAAPC为钝
25、角时，求2的取值范1乩12.解：由题i殳可知，以加、DC.Z)A为单位正交基底，建立如下图的空间直角坐标系。-qz.那么有A(1.o.0).8(1.1.0).C(0.1.0),D(0,0,1)由Q用=(U1.I)，得/)/=/8=(4九一2)，所以PA=PDt+DtA=(-,-)+(hO,-1.)=(1.-1.)显然NAPC不是平角，所以NAPC为钝角等价于ps9PrcosZAPC=cos=0,那么等价于a*peo即(1-X-)+(-X1-)+(-1)2=(A-1M3-1)O,得-AOAyz+OB-=-5.那么，()N=5=:2AiB1.5所以tanNoNG=空=有，放二面地O-AG-G为ar
26、ctan5ON解法二：(I)以H战。4、OC.08分别为泉八Z轴,建立空间直.向坐标系，O-2那么所以A方=(一I)。=。).8。=(0.2,-2)2222所以八BC=0,0BC=O所以3CJ.平面QAH由EF/8C得BBC,故：&CJ.平面。人(2)由A(*)设g(0.0.z)那么A,E=(-,O,),EB1.=(-1.,O,z-1.)由AE与EB1.共践得:存在2R行A七=aEB得问理:G(0.3.0)设ni=(A1.,y1.,z,)是平面A耳G的一个法向S1.那么令x=2得y=X=1Am1=(2.1.1).又n2=(0,1.0)是平面OAq的一个法量所以二面角的大小为arccos14.(
27、2008辽宁文)如图，在校长为1的正方体ABS-AfC。中，AP1.fQ=b(Xb2AP,PH=2PA.乂截面心处产和截面P0G”都是矩形,且PQ=1,所以极面P0以和截而PGHIM积之和是(P+2Pr)P=2,ffi.8分(111)解：设AO交PF于点N,连结EN,因为AQrjJFSiPQKb.所以NDEN为CfE与平面PQEF所成I的角.因为。=；,所以P，。，E.尸分别为A/V.BB,BC.AO的中点.3j，3可知OW=,DE=.4232所以sin/DEV=，=史.12分322解法二：以。为原点，射线DA,DC.D1.y分别为X,y,二轴的正半轴建立如图的空间口角坐标系。一D。由DF-b
28、故4(1.0.0),A*(1A1),D(O,O1O),D,(04).P(1.ab,a1,1,b),E(I-A1.O),F(I-WW)fGS,1.1),“S,O1).(1)证明：在所建立的坐标系中，可得PQ=(O,1,O),P尸=(-b,O,-b).PH=S-1,0,1-Z).AD=(-1,0,1),AT)=(-I,-1.).因为AD,.PQ=0,AD,.PF=0,所以4。是平面PQEF的法向吊.因为八7)Q=O/=0,所以A。是平面PQGH的法向赋.因为Aiy-SD=0,所以DAD,所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.4分(I1.)证明：因为EF=(O1,0),所以-QK-P0.又P_1
29、PQ.所以久阳,为旋形.问理PQCH为矩形.在所建立的坐标系中可求汨I/H=2(1.-),尸H=2,所以回+M=,又IPQI=I，所以截而20以,和截面P(K汨面积之和为是定值8分(111)解:由(1)知M=(-1.(M)是平面PQE尸的法向量.由尸为AV中点可知，Q,E,分别为88.BC,AD的中点.所以4：,1.0；,DE=,-i因此DE与平面PQE产所成角的正弦值等于cos2AP+42PA)PQ=42.是定值.8分(111)解：连结8C交EQ干点M.因为PHHhU、PQ/AB.所以平面ABCD和平面PQGH互相平行,因此D1E与平面PQGH所成角与。泥与平面ABCD所成角相等.与(1)
30、同埋可证EQ1.平面PQG从可知EMj平面ABC-。.因此M与OE的比值就是所求的正弦值.设八交4.于点N,连结M由FD=I-知D,E=y(-b)i+2,NU=专十号(b).因为A。_1.iPQEF.又IyE与T1IfiiPQ呼成45角.所以OE=NO,即2+(1.-)=J(I-Z+2解得b=1.,可知K为8C中点.2所以EW=乎,又以=J(I-W2+2故OE与平面PQCH所成角的正弦值为3,2EM2万TK12分解法二：以。为原点,射线/，XO/)分别为X,y,2轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系/)一冷2由得DF=-b.Ai4(1,0,0),A(I,O,I),O(DOQ),O(OQ,1),P
31、1,O.b),QI1.h),E(I-ZMQ),F(1.-bJ0J0),G(MA),H(h,OA).(1)证明：在所建立的坐标系中,可得PQ=(0.1.0),PF=(-b,O,-b),PH=(b-M-b).D,=(-1.().1).,D=(-1.(),-1).因为AD.PQ=Q,ADPF=O,所以AD是平面PQEF的法向用.因为AD.PQ=O,ADPH=Q,所以A。是TftPQGH的法向歌.因为八OA7)=0,所以4仍1八。，所以平面PQEF和平面PQGN互相垂直.4分(I1.)证明：因为”=(0.-1.0),所以E尸P0EF=PQ,又即IPQ.所以PQG=为矩形,同理PQGH为矩形.在所建立
32、的坐标系中可求得|/*=y2(-h),Ia1.=-J1.h.所以P+PF=1.又P0=1.,所以嵌面PQEF和截面PQGH面枳之和为8.是定值.8分(111)好：也得/)%与A。成45角,又。=(1-1.-1)./W?=(TQJ)可行DEAffb-2可ifHf1.2-bI即=1,d-2+2所以ZyE=(1,1.-,解得/，=;.又A7J=(-1,0,-1),所以。E与平面PQG”所成角的正弦位为cos=立6,12分16.(2(X)8全国H卷文、理)如图，正四梭柱4?Co-AqGR中，AA=2AB=4,点E在CG上且C1E=3EC.%一刁G(I)ifBf1.：A1C1.平面BED：4,pH(II)求二面角A-OE-8的大小.弋：16.解法一：三XJe依SS设，AB=2,CE=.z1.yc(I)连结AC交8。干点尸，那么BD1AC.1.-J由三重城定理知.BD1.AiC.3分在平面ACA内，连结Ef交ACf点G，1.hM=2=22,FCCE故RtAA1ACsRtZAAC=ZCFf.NCFE与/CA互余.于是AC_1.EF.AC与平面8。内两条相交直线8。EF都垂口，所以AC，平面8ED6分(II)
免费区 
