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1、空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1(2008 全国卷理 )已知三棱柱 111 ABCA B C的侧棱与底面边长都相等， 1 A在底面ABC 内的射影为ABC的中心，则 1 AB与底面ABC所成角的正弦值等于（C ） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 1.解： C由题意知三棱锥 1 AABC为正四面体，设棱长为a，则 1 3ABa，棱柱的高 2222 1 236 () 323 AOaAOaaa（即点 1 B到底面ABC的距离），故 1 AB与 底面ABC所成角的正弦值为 1 1 2 3 AO AB . 另解：设 1 ,AB AC AA为空间向量的一组基底， 1 ,AB A
2、C AA的两两间的夹角为 0 60 长度均为a，平面ABC的法向量为 11 11 33 OAAAABAC, 11 ABABAA 2 1111 26 ,3 33 OAABaOAAB 则 1 AB与底面ABC所成角的正弦值为 11 11 2 3 OA AB AO AB . 二、填空题： 1(2008 全国卷理 )等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角 CABD的余弦值为 3 3 ，MN，分别是ACBC，的中点，则EMAN，所成角的余 弦值等于 6 1 1.答案： 1 6 .设2AB，作COABDE面， OHAB，则CHAB，CHO为二面角CABD的平面角 3,cos1CHOHCHC
3、HO，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，则3ANEMCH 11 (), 22 ANACABEMACAE, 11 () () 22 AN EMABACACAE 1 2 故EMAN，所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM 另解：以O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， z y H o M BD E C N A x 1 题图（ 2） H o M BD E C N A 1 题图（ 1） M A B D C O Q M A B D C O P x y z M A B D C O P 则点( 1, 1,0),(1, 1,0),( 1,1,0),(0,0,2)ABEC,
4、 112112 (,),(,) 222222 MN, 则 3 121321 (,),(,),3 2 222222 ANEMAN EMANEM, 故EM AN， 所成角的余弦值 1 6 AN EM AN EM . 三、解答题： 1 （ 2008 安徽文）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的 菱形， 4 ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点。 （）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小； （）求点B 到平面 OCD 的距离。 1方法一（综合法） （1）CDAB, M D C为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作,APCDP于连接MP 平面ABCD，OACDM
5、P 2 , 42 ADPDP= 22 2MDMAAD， 1 cos, 23 DP MDPMDCMDP MD 所以AB与MD所成角的大小为 3 （）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等， 连接 OP,过点 A 作AQOP于点 Q， ,APCD OACDCDOAP平面 ,AQOAPAQCD平面 又,AQOPAQOCD平面, 线段 AQ 的长就是点A 到平面 OCD 的距离 2222213 2 41 22 OPODDPOAADDP ， 2 2 APDP 2 2 2 2 3 32 2 OA AP AQ OP ，所以点B 到平面 OCD 的距离为 2 3 方法二 (向量法 )作A
6、PCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z 轴建立坐标系 222 (0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0, 0,1) 222 ABPDOM, Q E N M A B D C O P (1)设AB与MD所成的角为, 22 (1,0,0),(, 1) 22 ABMD 1 c o s, 23 AB MD ABMD , AB与MD所成角的大小为 3 (2) 222 (0, 2),(, 2) 222 OPOD 设平面 OCD 的法向量为( , )nx y z,则0,0n OPn OD 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz
7、 取2z,解得(0,4,2)n 设点 B 到平面 OCD 的距离为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, (1, 0 ,2 )OB, 2 3 OB n d n . 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 2 （ 2008 安徽理）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1 的菱形， 4 ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点。 （）证明：直线MNOCD平面； （）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小； （）求点B 到平面 OCD 的距离。 2 方法一（综合法） （1）取 OB 中点 E，连接 ME ，NE MECDMECD， AB,
8、 AB 又,NEOCMNEOCD平面平面 MNOCD平面 （2）CDAB, MDC为异面直线AB与MD所成的角（或 其补角） 作,APCDP于连接MP 平面ABCD，OA CDMP 2 , 42 ADPDP= 22 2MDMAAD ， N M A B D C O xy z N M A B D C O P 1 c o s, 23 DP MDPMDCMDP MD 所以AB与MD所成角的大小为 3 （3）AB平面OCD,点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，连接OP,过点 A 作 AQOP于点 Q，,APCD OACDCDOAPAQCD平面 又,AQOPAQOCD平面,线段 AQ 的长就是点
9、A 到平面 OCD 的距离 22222 13 2 41 22 OPODDPOAADDP， 2 2 APDP 2 2 2 2 33 2 2 OA AP AQ OP ，所以点B 到平面 OCD 的距离为 2 3 方法二 (向量法 ) 作APCD于点 P,如图 ,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x y z轴建立坐标系 22222 (0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0, 2),(0,0,1),(1,0) 22244 ABPDOMN , (1) 22222 (1, 1),(0, 2),(, 2) 44222 MNOPOD 设平面 OCD 的法向量为( , , )nx
10、y z,则0,0n OPn OD 即 2 20 2 22 20 22 yz xyz 取2z,解得(0,4,2)n 22 (1, 1) (0,4,2)0 44 MN n MNOCD平面 (2)设AB与MD所成的角为 , 22 (1,0,0),(, 1) 22 ABMD 1 c o s, 23 AB MD ABMD ,AB与MD所成角的大小为 3 (3)设点 B 到平面 OCD 的交流为d,则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OB, 得 2 3 OB n d n .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 3 3 （ 2008 北京文）如图，在三棱锥P-ABC 中
11、， AC=BC=2， ACB=90， AP=BP=AB，PC AC. （）求证： PCAB； （）求二面角B-AP-C 的大小 . 3解法一：（）取AB 中点 D，连结 PD，CD. AP=BP， PDAB. AC=BC. CDAB. PDCDD. AB平面 PCD. PC平面 PCD， PCAB. （） AC=BC,AP=BP, APC BPC. 又 PCAC， PCBC. 又 ACB90，即 ACBC， 且 ACPC=C， ABBP， BEAP. EC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， CEAP. BEC 是二面角B-AP-C 的平面角 . 在 BCE 中， BCE=90 ,BC= 2,BE=6 2 3 AB， sinBEC=. 3 6 BE BC 二面角 B-AP-C 的大小为aresin. 3 6 解法二： （） AC=BC,AP=BP, APC BPC. 又 PCAC. PCBC. ACBC=C, PC平面 ABC. AB平面 ABC， PCAB. ()如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则 C（0，0，0） ，A（0，2，0） ，B（2，0，0）. 设 P（ 0，0，t）, PB=AB 22， t=2,P(0,0,2). 取 AP 中点 E，连结 BE，CE. AC=PC ,AB =BP, CEAP,BEAP.