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1、江苏省南通市通北片2012-2013 学年八年级（下）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题： （每小题2 分，共 20 分） 1 （ 2 分）若分式有意义，则x 的取值范围是（） Ax 2 B x 2 Cx 2 Dx2 考点 ： 分 式有意义的条件 分析：分 式有意义的条件是分母不为0， 解答：解 ：分式有意义，则x2 0， x 2 故选 A 点评：本 题比较简单，考查了分式有意义的条件：分母不能为0 2 （ 2 分）在式子，+，中，分式的个数是（） A5B 4C3D2 考点 ： 分 式的定义 分析：判 断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母 则不是
2、分式 解答：解： ，+的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式 ，分母中含有字母，因此是分式 故选 C 点评：本 题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有 未知数的式子即为分式 3 （ 2 分）下列函数是反比例函数的是（） A y= B y= C y= D y= 考点 ： 反 比例函数的定义 分析：此题应根据反比例函数的定义，解析式符合 y=（k 0）的形式为反比例函数 解答：解： A、y= 是正比例函数，错误； B、y=是反比例函数，正确； C、y=不符合反比例函数的定义，错误； D、y=不符合反比例函数的定义，错误 故选 B 点评：本题考查了反比例函
3、数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式 （k 0） 4 （ 2 分）现修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，征集到设计方案有平行四 边形、正三角形、等腰三角形、矩形、菱形、正方形等图案，你认为符合条件的有（） A3 个B 4 个C5 个D6 个 考点 ： 中 心对称图形；轴对称图形 分析：根 据轴对称图形与中心对称图形的概念并分析各图形的特征求解 解答：解 ：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； 等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形； 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形； 正方形是轴对
4、称图形，也是中心对称图形； 综上可得符合条件的有3 个 故选 A 点评：本 题考查了轴对称及中心对称的知识，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念轴对 称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要 寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合 5 （ 2 分）如果把分式中的 x，y 都扩大 3 倍，那么分式的值（） A扩大 3 倍B 不变C缩小 3倍D扩大 2 倍 考点 ： 分 式的基本性质 分析：依 题意，分别用3x 和 3y 去代换原分式中的x 和 y，利用分式的基本性质化简即可 解答：解 ：分别用3x 和 3y 去代换原分式中的x 和 y， 得=， 可见新分式与原分
5、式相等 故选 B 点评：解 题的关键是抓住分子、分母变化的倍数 规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较， 最终得出结论 6 （2 分）如图，一棵大树在离地面9 米高的 B 处断裂，树顶A 落在离树底BC 的 12 米处， 则大树断裂之前的高度为（） A9 米B 15 米C21 米D24 米 考点 ： 勾 股定理的应用 专题 ： 应 用题 分析：根 据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可 解答：解：由题意得 BC=9，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：AB=15 米 所以大树的高度是15+9=24 米 故选 D 点评：本 题考查
6、了勾股定理熟记9，12， 15 这组勾股数，计算的时候较快 7 （ 2分） （2001?哈尔滨）直角三角形的两条直角边长分别为6cm 和 8cm，则连接这两条直 角边中点线段的长为（） A3cm B 4cm C5cm D12cm 考点 ： 三 角形中位线定理；勾股定理 分析：由 题意可知： BC=6 ，AC=8 根据勾股定理得：BA=10 D、E 是两直角边的中点， 即为三角形中位线，根据中位线性质即可解答 解答：解 ：如图所示，在RTABC 中， BC=6 ，AC=8 ， 根据勾股定理得：AB=10， 又 D、E 是两直角边的中点， 所以 DE=AB=5 故选 C 点评：此 题不但考查了勾股
7、定理，还考查了三角形中位线定理，所以学生要把学过的知识融 合起来要培养整体思维的能力 8 （ 2 分）下列命题中不正确的是（） A直角三角形斜边中线等于斜边的一半 B矩形的对角线相等 C矩形的对角线互相垂直 D矩形是轴对称图形 考点 ： 命 题与定理 分析：根 据直角三角形斜边上的性质对A 进行判断； 根据矩形的性质对B、C、D 进行判断 解答：解 ：A、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以A 选项的命题正确； B、矩形的对角线相等，所以B 选项的命题正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C 选项的命题不正确； D、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，所以D 选项的命题正确 故选 C 点评
8、：本 题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命 题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理 9 （ 2 分）顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（） A平行四边形B 矩形C菱形D梯形 考点 ： 中 点四边形 分析：因 为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去 证明四条边都相等，从而说明是一个菱形 解答：解 ：连接 AC 、BD ， 在 ABD 中， AH=HD ，AE=EB EH=BD， 同理 FG=BD ，HG=AC，EF=AC ， 又在矩形ABCD 中， AC=BD ， EH=HG=GF=FE ， 四边形EFGH 为菱形
9、 故选 C 点评：本 题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用 三种方法：定义，四边相等，对角线互相垂直平分 10 （2 分）如图， 过四边形ABCD 的各顶点作对角线BD ，AC 的平行线围成四边形EFGH， 若四边形 EFGH 是菱形，则原四边形一定是（） A菱形B 平行四边形 C矩形D对角线相等的四边形 考点 ： 菱 形的性质 分析：推 出四边形EFGH、 HGCADGFB是平行四边形，推出GH=GF，则可求解 解答：解 ： EHBD，GFBD ， EHGF， EFAC ，GHAC， EFGH， 四边形EFGH 是平行四边形， GHAC，EHCG， 四边形
10、HACG 是平行四边形， GH=AC ， 同理 GF=BD ， GH=GF， 平行四边形EFGH 是菱形， 故选 D 点评：此 题主要考查平行四边形和菱形的判定 二、填空题： （每空 3 分，共 30 分） 11 （3 分） 1 纳米 =0.000000001 米，则 7.5 纳米用科学记数表示为7.5 10 9 米 考点 ： 科 学记数法 表示较小的数 分析：首 先把 7.5 纳米化为0.0000000075 米，再用科学记数法表示，绝对值小于1 的正数利 用科学记数法表示，一般形式为a 10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的 是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0
11、 的个数所决定 解答：解 ：7.5 纳米 =0.0000000075 米=7.5 10 9 米， 故答案为： 7.5 10 9 米 点评：本 题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a 10 n，其中 1 |a|10，n 为 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定 12 （3 分）若反比例函数y=的图象分布在第一、三象限，则k 的取值范围是 k 2 考点 ： 反 比例函数的性质 专题 ： 计 算题 分析：让 反比例函数的比例系数大于0 列式求值即可 解答：解：反比例函数 y=的图象分布在第一、三象限， k+2 0， 解得 k 2 故答案为： k 2 点评：考 查反比例函数的
12、性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系 数大于 0 13 （3 分）已知正方形的边长为10cm，则对角线的长为10cm 考点 ： 正 方形的性质 分析：作 一个边长为4cm 的正方形， 连接对角线， 构成一个直角三角形如下图所示：由勾股 定理得 AD 2=AB2+BD2，求出 AD 的值即可 解答：解 ：如图所示： 四边形 ABCD 是边长为4cm 的正方形， 在 RtABD 中，由勾股定理得： AD=10cm 所以对角线的长：AD=10cm 点评：本 题主要考查勾股定理的应用，应先构造一个直角三角形，在直角三角形中斜边的平 方等于两直角边的平方和，作图可以使整个题变得简洁
13、明了 14 （3 分）已知反比例函数的图象经过A（2，6） ，那么点B（ 3，一 4）是否在这个函数 的图象上在（填 “ 在” 或“ 不在） 考点 ： 待 定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征 分析：计 算点 B 的横纵坐标的积与点A 的横纵坐标的积是否相等即可 解答：解 ：反比例函数的图象经过A（2，6） ， k=2 6=12 又 3 （一 4）=12=k ， 点 B（ 3，一 4）在这个函数的图象上 故答案为：在 点评：考 查反比例函数的图象上的点的坐标的特征用到的知识点为：反比例函数图象上点 的横纵坐标的积相等 15 （3 分） （2013?资阳）在矩形ABCD 中，
14、对角线AC 、BD 相交于点O，若 AOB=60 ， AC=10 ，则 AB=5 考点 ： 含 30 度角的直角三角形；矩形的性质 分析：根 据矩形的性质，可以得到AOB 是等边三角形，则可以求得OA 的长，进而求得 AB 的长 解答：解 ：四边形ABCD 是矩形， OA=OB 又 AOB=60 AOB 是等边三角形 AB=OA=AC=5 ， 故答案是： 5 点评：本 题考查了矩形的性质，正确理解AOB 是等边三角形是关键 16 （3 分）若方程=无解，则m=1 考点 ： 分 式方程的解 专题 ： 计 算题 分析：分 式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 的值使最简公分母为0，据此
15、进行解答 解答：解 ：方程两边同乘x2，得 x 1=m， x=1 m 由于此整式方程一定有解，则此解使最简公分母为0 当 x 2=0 时， x=2， 1m=2 时， m=1 故若方程=无解，则m=1 点评：分 式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根本题将分式方程 化成整式方程以后，发现是一元一次方程，一定有解，则只能是整式方程的根使最简 公分母为0 17 （3 分）若菱形两条对角线长分别为6cm 和 8cm，则它的周长为20cm，面积是 24cm 2 考点 ： 菱 形的性质 专题 ： 计 算题 分析：根 据菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形的周长为20cm；根据菱形的面积等
16、于 对角线积的一半，可得菱形的面积为24cm 2 解答：解 ：四边形ABCD 是菱形， ACBD ，OA=OC ，OB=OD ，AB=BC=CD=AD， AC=8cm ，BD=6cm ， AD=5cm ，S菱形ABCD= AC ?BD=24cm 2 故答案为： 20cm、24cm2 点评：此 题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等解题 的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半 18 （3 分） （2005?杭州）当 m=3时，分式的值为零 考点 ： 分 式的值为零的条件 专题 ： 计 算题 分析：要 使分式的值为0，必须分式分子的值为0 并且分母的值不
17、为0 解答：解 ：要使分式由分子（m1） （m3）=0解得： m=1 或 3； 而 m=3 时，分母m23m+2=2 0； 当 m=1 时分母 m23m+2=1 3+2=0，分式没有意义 所以 m 的值为 3 故答案为3 点评：要 注意分母的值一定不能为0，分母的值是0 时分式没有意义 19 （3 分）如图所示，一个梯子AB 长 5m，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端B 与墙角 C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为 1m，则梯子顶端A 下落了1m 考点 ： 勾 股定理的应用 专题 ： 应 用题 分析：根 据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答
18、即可 解答：解：在 RtABC 中， AB=5m ，BC=3m ，根据勾股定理得 AC=4 米， RtCDE 中， ED=AB=5m ， CD=BC+DB=3+1=4米， 根据勾股定理得CE=3，所以 AE=AC CE=1 米， 即梯子顶端下滑了1m 点评：连 续运用两次勾股定理，分别求得AC 和 CE 的长，进一步求得AE 的长 20 （3 分） （2009?莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5， 过点 A1、A2、A3、A4、A5分别作 x 轴的垂线与反比例函数y=（x 0）的图象相交于点P1、 P2、 P3、P4、P5，得直角三角形 OP1
19、A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积 分别为 S1、S2、S3、S4、S5，则 S5的值为 考点 ： 反 比例函数系数k 的几何意义 专题 ： 压 轴题；规律型 分析：根据反比例函数 中 k 的几何意义再结合图象即可解答 解答：解 ：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直 角三角形面积S 是个定值， S=|k| S1=1，SOA2P2=1， OA1=A1A2， SOA2P2= ， 同理可得， S2= S1=，S3=S1=，S4=S1=，S5=S1= 点评：主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、
20、y 轴垂 线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做 此类题一定要正确理解k 的几何意义图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐 标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=|k| 三、解答题： （共 50 分） 21 （5 分）已知y 是 x 的反比例函数，当x=2 时， y=6 （1）写出 y 与 x 的函数关系式； （2）求当 x=4 时 y 的值 考点 ： 待 定系数法求反比例函数解析式 专题 ： 待 定系数法 分析：（ 1）因为函数经过一定点， 将此点坐标代入函数解析式（k 0）即可求得k 的值， 从而求得反比例函数的解析式 （ 2）把 x=4
21、 代入函数的解析式，求出y 的值 解答：解： （1）设 当 x=2 时， y=6 解得 k=12 （ 2）把 x=4 代入，得 点评：本 题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单 22 （5 分） （2013?武汉）解方程： 考点 ： 解 分式方程 分析：观 察可得最简公分母是x（x 3） ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整 式方程求解 解答：解 ：方程两边同乘以x（x 3） ，得 2x=3（x3） 解这个方程，得x=9 检验：将x=9 代入 x（x3）知， x（x3） 0 所以 x=9 是原方程的根 点评：本 题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的
22、解进行检验 23 （6 分）判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=15，b=8， c=17； （2）a=13，b=14，c=15 考点 ： 勾 股定理的逆定理 分析：根 据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是， 分别进行判断， 即可求出答案 解答：解 ： （1） 152+82=172，即 a2+b 2=c2 ，则是直角三角形； （ 2）13 2 +14 2 152，则不是直角三角形 点评：此 题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的 大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系， 进而作出
23、判断 24 （6 分）先化简，然后选取一个你喜欢的x 的值代入计 算 考点 ： 分 式的化简求值 专题 ： 计 算题；开放型 分析：先 对 x 22x+1 分解因式，再进行通分化简，最后求值 解答： 解： = =， （ x 1） 当 x=2 时， 原式 =2 点评：主 要考查分式的化简求值比较简单，不过选择喜欢的值时，一定要使分母有意义 25 （6 分）某空调厂的装配车间计划组装9000 台空调： （1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台 /天）与生产时间t（单位：天）之间 有怎样的函数关系？ （2）原计划用2 个月时间，（每月以30 天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批 空调
24、提前10 天上市，那么原装配车间每天至少要组装多少空调？ 考点 ： 反 比例函数的应用 专题 ： 应 用题 分析：首 先根据题意，因总工作量为9000 台空调，故每天组装的台数m 与生产时间t 之间 成反比例关系，即m?t=9000；进一步求解可得答案 解答：解 ： （1）每天组装的台数m（单位：台 /天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关 系：； （ 2）当 t=50 时， 所以，这批空调提前10 天上市，那么原装配车间每天至少要组装180 台空调 点评：本 题考查反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间 的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据
25、题意求解答案 26 （6 分）如图，在海上观察所A，我边防海警发现正北6km 的 B 处有一可疑船只正在向 东方向 8km 的 C 处行驶我边防海警即刻派船前往C 处拦截若可疑船只的行驶速度为 40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？ 考点 ： 勾 股定理的应用 分析：首 先利用勾股定理求得线段AC 的长， 然后利用行驶时间相等求得边防海警船的速度 解答：解 ： AB=6 ，BC=8 AC=10km， 可疑船只的行驶速度为40km/h ， 可疑船只的行驶时间为8 40=0.2 小时， 我边防海警船的速度为10 0.2=50km/ 小时， 我边防海警船的速度为
26、50km/h 时，才能恰好在C 处将可疑船只截住 点评：本 题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的找到OB，AB 的等量关系， 并且根据该等量关系在直角OAB 中求解是解题的关键 27 （6 分） （2010?黔南州）已知：如图，在?ABCD 中， E、F 分别为边AB 、CD 的中点， BD 是对角线， AG DB 交 CB 的延长线于G （1）求证： ADE CBF； （2）若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论 考点 ： 全 等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定 专题 ： 几 何综合题 分析：（ 1）在证明全等时常根据已
27、知条件，分析还缺什么条件，然后用 （SAS，ASA ，SSS） 来证明全等； （ 2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE ，再通过角之间的关系求出2+3=90 即 ADB=90 ，所以判定四边形AGBD 是矩形 解答：（ 1）证明：四边形ABCD 是平行四边形， 4=C，AD=CB ，AB=CD 点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， AE=AB，CF=CD AE=CF 在 AED 与 CBF 中， ， ADE CBF（SAS） （ 2）解：当四边形BEDF 是菱形时，四边形AGBD 是矩形 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AD BC AGBD， 四边形AGBD 是平行四边形 四边形B
28、EDF 是菱形， DE=BE AE=BE ， AE=BE=DE 1=2， 3=4 1+2+ 3+4=180 ， 22+23=180 2+3=90 即 ADB=90 四边形AGBD 是矩形 点评：主 要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定平行四边形基 本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平 行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分三角形全等的判定 条件： SSS，SAS，AAS ，ASA 28 （10 分）如图，已知反比例函数的图象经过第二象限内的点A（ 2， m） ，AB x 轴于 B，AOB 的面积为3， （1）求 k，m 的值
29、； （2）若直线y=ax+b 经过点 A，并且经过反比例函数的图象上另一点 求直线y=ax+b 的解析式； 设直线y=ax+b 与 x 轴交于点M，求 AM 的长； 根据图象写出使反比例函数y=ax+b 的值 x 的取值范围 考点 ： 反 比例函数综合题 专题 ： 综 合题 分析：（ 1）利用 AOB 的面积可求出点A 的坐标，把点A 的坐标代入反比例函数解析式 即可求得k 的值； （ 2）把 C 坐标代入反比例函数就能求得C 完整的坐标： 把 A、C 代入一次函数解析式就能求得解析式； 求出 M 的坐标，利用勾股定理即可求得AM 长； 应从 A、C 两点入手，判断出反比例函数的值 y=ax+
30、b 的值 x 的取值范围 解答：解 ： （1）点 A（ 2，m）在第二象限内 AB=m ，OB=2 即：，解得 m=3 A（ 2， 3） 点 A（ 2，3）在反比例函数的图象上， ，解得： k=6； （ 2）由（ 1）知，反比例函数为， 又反比例函数的图象经过 ， 解得： n=4 直线y=ax+b 过点 A（ 2， 3） 、 解方程组得直线 y=ax+b 的解析式为 当 y=0 时，即，解得： x=2，即点 M（2，0） 在 RtABM 中， AB=3，BM=BO+OM=2+2=4 由勾股定理得：AM=5 由图象知：当2x0 或 x4 时， 反比例函数的值的值 点评：过 某个点， 这个点的坐标应适合这个函数解析式求一次函数的解析式需知道它上面 的两个点的坐标；求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自 变量不能取0