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1、2.2 向量的线性运算（数学苏教版必修4） 建议用时实际用时满分实际得分 45 分钟100 分 一、填空题 （每小题5 分，共 30 分） 1.设AB=a，AD=b，BC=c， 则DC等于 . 2.在 ABC中，BC=a，CA=b，则AB= . 3.下列三个命题：若a+b=0，b+c0，则 a=c； AB=CD的等价条件是点 A与点 C重合，点 B与点 D 重合；若a+b=0 且 b=0，则 - a=0.其中正确命题 的个数是. 4.已知 O是四边形 ABCD 所在平面内的一点， 且OA、 OB、OC、OD满足等式OA+OC=OB+OD， 则四边形ABCD 是. 5.化简： （AB-CD） -
2、 （AC-BD） . 6.若向量 a,b 满足 | a|=8,| b|=12 ，则 a+b的最小 值为，| a- b| 的最大值为. 二、解答题 ( 共 70 分 ) 7.（ 15 分）已知OA=a，OB=b ,且 | a|=| b|=2, AOB = 3 ,求| a+b|,| a- b|. 8. （ 20 分 ） 已 知a 、 b 是 两 个 非 零 向 量 ， 且 | a|=| b|=| a- b| ，求 ab ab . 9. （15 分）已知非零向量a、b、c 满足 a+b+c=0， 问表示 a、 b、c 的有向线段能否构成三角形？ 10. （20 分）已知非零向量a、b 满足 | a|
3、=7+1， | b|=7- 1，且 | a- b|=4 ，求 | a+b| 的值 . 2.2 向量的线性运算（数学苏教版必修4） 答题纸 得分： 一、填空题 1 2 3 4 5 6 二、解答题 7. 8. 9. 10. 2.2 向量的线性运算（数学苏教版必修4） 答案 一、填空题 1. a +c- b解析： 利用封闭图形的向量关系，得AB+BC+CD=AD， DC=-CD=- AD- （AB+BC） =AB+BC-AD=a+c- b. 2. - a- b解析： BC+CA=a+b=BA，AB=- a- b. 3.2 解析： 中，a+b=0， a、b 的长度相等且方向相反.又 b+c=0， b、
4、c 的长度相等且方向相反, a、c 的长度相等且方向相同，故a=c，正确 .中，当AB=CD时，应有 |AB|=| CD| 及由 A到 B与 由 C到 D的方向相同，但不一定要有点A与点 C重合、点B与 点 D重合，故错 .显然正确 . 4. 平行四边形解析： OA-OB=BA,OD-OC=CD, 而OA+OC=OB+OD， OA-OB=OD-OC，BA=CD， 即 AB CD且 AB =CD ， 四边形 ABCD为平行四边形. 5.0 解析 1： （AB-CD）- （AC-BD） （AB+BD）+(DC+CA) AD+DA=0. 解析 2： （AB-CD）- （AC-BD） =AB-CD-A
5、C+BD =(AB-AC)+（DC-DB） =CB+BC=0. 解析 3：设 O为平面内任意一点，则有 （AB-CD）- （AC-BD） =AB-CD-AC+BD =(OB-OA)- (OD- OC)- ( OC-OA)+(OD-OB) =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0. 6. 4 20 解析： 设 a=AB,b=AC， 则当 a 与 b 共线且同向时，| a+b|=| a| +| b| ，| a-b|=| a| - | b|. 当 a 与 b 共线且反向时，a+b=| a| - | b|,| a- b|=| a| +| b|. 当 a 与 b 不共线时， | a| - |
6、 b| | a+b| | a| +| b|,|a| - | b| | a-b| | a| +| b| ， 如图所示，因此当a 与 b 共线且反向时，a+b| 取最小值为12- 84； 当 a 与 b 共线且反向时，| a- b| 取最大值为12+8=20. 二、解答题 7.解： 以 OA 、OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA ， 由向量的三角形法则和平行四边形法则，可知a+b=OC,a- b=BA. 又 | a|=| b|, 可知该平行四边形OBCA 为菱形， | a+b|=|OC|=2| OM|=23,| a- b|=|BA|=2. 8.解： 设OA=a，OB=b，则BA=OA-OB=
7、a- b. | a|=| b|=| a- b|, BA =OA =OB . OAB 为正三角形 .设其边长为1，则 | a- b|=|BA|=1,| a+b|=2 3 2 =3. ab ab = 3 1 =3. 9.解： （1）当 a、b 不共线时，在平面上任取一点A，作AB=a，再以 B为起点作BC=b，则AC=a+b. a+b+c=0，c=- （a+b）=-AC=CA. 当 a+b+c=0 时，表示a、b、c 的有向线段能构成三角形. （2）当 a、b 共线时，即使a+b+c=0 成立，也不能构成三角形. 综上所述，只有a、b、c 均不共线时，它们的有向线段才能构成三角形. 10.解： 设OA=a，OB=b，则 |BA|=| a- b|.以 OA 、OB为邻边作平行四边形OACB ，则 |OC|=| a+b|. （7+1） 2+（ 7- 1） 2=42， |OA| 2+| OB| 2=| BA| 2. OA OB . 平行四边形OACB 是矩形 . 矩形的对角线相等， |OC|=| BA|=4 ，即 | a+b|=4. A B C D b a+ b a- b a