2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析).pdf

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1、第二节等差数列及其前n 项和 知识能否忆起 一、等差数列的有关概念 1定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN *，d 为常数 ) 2等差中项：数列a，A，b 成等差数列的充要条件是A ab 2 ，其中 A 叫做 a， b 的 等差中项 二、等差数列的有关公式 1通项公式：ana1(n1)d. 2前 n 项和公式： Snna1 n n1 2 d a1ann 2 . 三、等差数列的性质 1若 m，n，p，qN *，且 mnpq，a n 为等差数列，则aman ap aq. 2在等差数列an中， ak，a2k，

2、a3k，a4k，, 仍为等差数列，公差为 kd. 3若 an 为等差数列，则Sn，S2nSn， S3nS2n，, 仍为等差数列，公差为 n2d. 4等差数列的增减性：d0 时为递增数列，且当a10 时前 n 项和 Sn有最大值 5等差数列 an的首项是a1，公差为 d.若其前n 项之和可以写成SnAn 2Bn，则 A d 2，Ba1 d 2，当 d0 时它表示二次函数，数列 an的前 n 项和 SnAn 2 Bn 是 a n成等 差数列的充要条件 小题能否全取 1(2012 福建高考 )等差数列 an 中， a1a510，a47，则数列 an 的公差为 () A1B2 C3 D4 解析： 选

3、B法一 ：设等差数列 an 的公差为 d，由题意得 2a14d10， a13d 7. 解得 a11， d2. 故 d2. 法二 ：在等差数列an中， a1a52a310， a35. 又 a47，公差d752. 2(教材习题改编)在等差数列 an 中， a2a6 3 2 ，则 sin 2a4 3 () A. 3 2 B.1 2 C 3 2 D 1 2 解析： 选 D a2a6 3 2 ， 2a4 3 2 . sin 2a4 3 sin 3 2 3 cos 3 1 2. 3 (2012 辽宁高考 )在等差数列 an中，已知 a4a816， 则该数列前 11 项和 S11 () A58 B 88 C

4、143 D 176 解析： 选 BS11 11 a1a11 2 11 a 4a8 2 88. 4在数列 an中，若 a11，an1an2(n1)，则该数列的通项 an_. 解析： 由 an1 an2 知an为等差数列其公差为 2. 故 an1(n1)22n1. 答案 ：2n1 5(2012 北京高考 )已知 an为等差数列， Sn为其前 n 项和，若 a11 2，S2a3，则 a2 _，Sn_. 解析： 设 an的公差为 d， 由 S2a3知， a1a2a3，即 2a1da12d， 又 a1 1 2，所以 d 1 2，故 a 2a1 d1， Snna1 1 2n(n1)d 1 2n 1 2(n

5、 2n)1 2 1 4n 21 4n. 答案 ：1 1 4n 21 4n 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方 程思想 (2)Snd 2n 2 a 1 d 2 nAn 2Bn? d2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的 纵坐标不一定是最小值 2设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元， 若奇数个数成等差数列且和 为定值时，可设为, ，a 2d，a d，a，ad，a2d，,； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为,，a3d，ad，a

6、d，a3d，, ，其 余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 等差数列的判断与证明 典题导入 例 1在数列 an中， a1 3，an2an12 n3(n2，且 nN* ) (1)求 a2，a3的值； (2)设 bn an 3 2 n (nN *)，证明： b n是等差数列 自主解答 (1) a1 3， an2an12 n3(n2，且 nN*)， a 22a1 2 231， a32a22 3313. (2)证明：对于任意nN *， bn1bn an13 2 n1 an3 2 n 1 2 n1(an12an)3 1 2 n1(2 n13)31， 数列 bn是首项为 a13 2 33 2 0，公差为

7、1 的等差数列 由题悟法 1证明 an 为等差数列的方法： (1)用定义证明：anan1d(d 为常数， n2)? an为等差数列； (2)用等差中项证明：2an1anan2? an为等差数列； (3)通项法： an为 n 的一次函数 ? an 为等差数列； (4)前 n 项和法： SnAn 2Bn 或 S n n a1an 2 . 2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an1 and 和 anan1d，但它们的 意义不同，后者必须加上“n2”，否则n1 时， a0无定义 以题试法 1已知数列 an的前 n项和 Sn是 n 的二次函数，且 a1 2，a22， S3 6. (1)求 Sn； (

8、2)证明：数列 an 是等差数列 解： (1)设 SnAn2 BnC(A0)， 则 2ABC， 04A 2BC， 69A 3BC， 解得 A2，B 4，C0.故 Sn2n24n. (2)证明：当n1 时， a1S1 2. 当 n2 时， anSnSn12n24n2( n1)24(n1)4n6. an4n6(nN *) a n1 an4， 数列 an是等差数列 . 等差数列的基本运算 典题导入 例 2(2012 重庆高考 )已知 an 为等差数列，且a1a38，a2a412. (1)求 an的通项公式； (2)记 an的前 n 项和为 Sn，若 a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数 k 的值

9、自主解答 (1)设数列 an的公差为d，由题意知 2a12d8， 2a14d12， 解得 a12， d2. 所以 ana1(n1)d22(n1)2n. (2)由(1)可得 Sn n a1an 2 n 22n 2 n(n1) 因为 a1，ak，Sk2成等比数列，所以a2 ka1Sk2. 从而 (2k)22(k2)(k3)，即 k25k60， 解得 k6 或 k 1(舍去 )，因此 k6. 由题悟法 1 等差数列的通项公式ana1 (n 1)d及前 n 项和公式 Sn n a1an 2 na1 n n 1 2 d， 共涉及五个量a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想

10、 2数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和 d 是等差数列 的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 以题试法 2(1)在等差数列中，已知a610， S55，则 S8_. (2)(2012江西联考 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S4 12 S3 9 1，则公差为 _ 解析： (1) a610，S55， a15d 10， 5a110d5. 解方程组得 a1 5， d 3. 则 S88a128d8(5)28344. (2)依题意得S44a1 43 2 d4a16d，S33a1 32 2 d3a13d，于是有 4a16d 12 3a13d 9 1，由此解

11、得d 6，即公差为6. 答案 ：(1)44(2)6 等差数列的性质 典题导入 例 3(1)等差数列 an中， 若 a1 a4 a739， a3a6a927， 则前 9项和 S9等于 ( ) A66 B 99 C144 D 297 (2)(2012天津模拟 )设等差数列 an的前 n 项和 Sn，若 S48，S8 20，则 a11a12a13 a14() A18 B17 C16 D15 自主解答 (1)由等差数列的性质及a1a4a739， 可得 3a439，所以 a413.同理， 由 a3a6a927，可得 a69. 所以 S99 a 1a9 2 9 a 4a6 2 99. (2)设 an的公差

12、为d，则 a5 a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8) S416d，解 得 d 1 4，a11a12a13 a14S440d18. 答案 (1)B(2)A 由题悟法 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广 与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系 以题试法 3(1)(2012江西高考 )设数列 an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则 a5b5_. (2)(2012海淀期末 )若数列 an满足： a119，an1an3(nN *)，则数列

13、a n的前 n 项 和数值最大时，n 的值为 () A6 B7 C8 D9 解析： (1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且 c17， c321，则 c52c3c12217 35. (2)an1an 3，数列 an 是以 19 为首项， 3 为公差的等差数列，an19(n 1)(3)22 3n.设前 k 项和最大，则有 ak0， ak10， 即 223k0， 223 k1 0， 解得 19 3 k 22 3 .kN *， k7.故满足条件的 n 的值为 7. 答案 ：(1)35(2)B 1(2011 江西高考 ) an为等差数列，公差d 2，Sn为其前 n 项和若S1

14、0S11，则 a1( ) A18B 20 C22 D 24 解析： 选 B由 S10S11，得 a11 S11S10 0，a1a11(111)d0(10)( 2) 20. 2(2012 广州调研 )等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a58，S3 6，则 S10S7的值 是() A24 B 48 C60 D 72 解析： 选 B设等差数列 an的公差为 d， 由题意可得 a5a14d8， S33a13d 6， 解得 a10， d2， 则 S10S7a8a9 a103a124d48. 3(2013 东北三校联考)等差数列 an中， a5 a64，则 log2(2a1 2a2 , 2a1

15、0)() A10 B 20 C40 D 2log25 解析： 选 B依题意得，a1 a2a3, a10 10 a1a10 2 5(a5 a6)20，因此有 log2(2a1 2a2 , 2a10)a1a2a3, a1020. 4(2012 海淀期末 )已知数列 an满足： a11，an0，a 2 n1a 2 n1(nN *)，那么使 a n0， an n.an0，S110，S110，d0，所 以 a50，即数列的前 5 项都为正数，第5 项之后的都为负数，所以S5最大，则 k5. 6数列 an的首项为 3， bn为等差数列且bnan1an(n N *)若 b 3 2，b1012， 则 a8()

16、 A0 B 3 C8 D 11 解析： 选 B因为 bn是等差数列，且 b3 2，b10 12， 故公差 d 12 2 103 2.于是 b1 6， 且 bn2n8(nN *)，即 a n1an2n8. 所以a8 a76a6 46a5246,a1(6) ( 4)(2)0 246 3. 7(2012 广东高考 )已知递增的等差数列an 满足 a11，a3a 2 24，则 an _. 解析： 设等差数列公差为d，由 a3a2 24，得 12d(1d) 2 4，解得 d24，即 d 2.由于该数列为递增数列，故d2. an1(n1)2 2n1. 答案 ：2n1 8 已知数列 an为等差数列， Sn为

17、其前 n项和，a7a54， a1121， Sk 9， 则 k_. 解析： a7a52d 4，则 d2.a1a1110d21201， Skk k k1 2 2k29.又 kN*，故 k3. 答案： 3 9设等差数列 an，bn的前 n 项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数 n 都有 Sn Tn 2n3 4n3， 则 a9 b5 b7 a3 b8b4的值为 _ 解析： an， bn为等差数列， a9 b5b7 a3 b8b4 a9 2b6 a3 2b6 a9 a3 2b6 a6 b6. S11 T11 a1a11 b1b11 2a6 2b6 211 3 411 3 19 41， a6 b6 19

18、41. 答案 ：19 41 10(2011 福建高考 )已知等差数列an 中， a11，a3 3. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 an的前 k 项和 Sk 35，求 k 的值 解： (1)设等差数列 an 的公差为 d，则 ana1(n1)d. 由 a11，a3 3，可得 12d 3，解得 d 2. 从而 an1(n1)(2)32n. (2)由(1)可知 an32n， 所以 Snn1 32n 2 2nn2. 由 Sk 35，可得 2kk 2 35， 即 k22k35 0，解得 k 7 或 k 5. 又 kN *，故 k7. 11设数列 an的前 n 项积为 Tn，Tn1 an，

19、 (1)证明 1 Tn 是等差数列； (2)求数列 an Tn 的前 n 项和 Sn. 解： (1)证明：由Tn1an得，当 n 2 时， Tn1 Tn Tn1， 两边同除以Tn得 1 Tn 1 Tn11. T11 a1a1， 故 a1 1 2， 1 T1 1 a12. 1 Tn 是首项为2，公差为1 的等差数列 (2)由(1)知 1 Tnn1，则 Tn 1 n 1 ， 从而 an1Tn n n1.故 an Tnn. 数列 an Tn 是首项为1，公差为 1 的等差数列 Sn n n 1 2 . 12已知在等差数列an中， a131， Sn是它的前 n 项和， S10S22. (1)求 Sn；

20、 (2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值 解： (1)S10a1a2, a10， S22a1a2, a22，又 S10S22， a11a12,a220， 即 12 a11a22 2 0，故 a11a222a131d0. 又 a131， d 2， Snna1n n1 2 d31nn(n1) 32nn 2. (2)法一 ：由 (1)知 Sn32nn 2， 故当 n16 时， Sn有最大值， Sn的最大值是256. 法二 ：由 Sn 32nn2n(32n)，欲使 Sn有最大值， 应有 10，a10 a110，a10 a110，a110，故 T18a1, a10a11, a18S10(S1

21、8S10)60. 3数列 an 满足 an1an4n3(nN * ) (1)若 an是等差数列，求其通项公式； (2)若 an满足 a12， Sn为an的前 n 项和，求 S2n1. 解： (1)由题意得an1an4n 3， an2an14n1， 得 an2 an4， an是等差数列，设公差为 d， d2. a1a21， a1a1d1， a1 1 2， an2n5 2. (2)a12，a1a21， a2 1. 又 an2an4，数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， a2n14n 2，a2n4n5， S2n1(a1 a3, a2n1)(a2a4,a2n) (n1)2 n1 n 2 4

22、n(1) n n1 2 4 4n2n2. 1已知数列 an中， a13 5，an2 1 an1(n2，n N *)，数列 b n 满足bn 1 an1(n N *) (1)求证：数列 bn 是等差数列； (2)求数列 an中的最大项和最小项，并说明理由 解： (1)证明： an2 1 an1(n2，nN *)，b n 1 an1. n2 时， bnbn1 1 an1 1 an11 1 2 1 an1 1 1 an11 an1 an11 1 an1 11. 又 b1 1 a11 5 2. 数列 bn是以 5 2为首项， 1 为公差的等差数列 (2)由(1)知， bnn 7 2， 则 an1 1

23、bn1 2 2n7， 设函数 f(x)1 2 2x7， 易知 f(x)在区间 ， 7 2 和 7 2， 内为减函数 故当 n3 时， an取得最小值1；当 n4 时， an取得最大值3. 2已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足： a2a414， S770. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn 2Sn48 n ，数列 bn的最小项是第几项，并求出该项的值 解： (1)设等差数列 an 的公差为 d，则有 2a14d14， 7a121d70， 即 a12d 7， a13d 10， 解得 a1 1， d3. 所以 an3n 2. (2)因为 Sn n 21(3n2) 3n 2

24、n 2 ， 所以 bn3n 2n48 n 3n 48 n 12 3n 48 n 1 23， 当且仅当 3n 48 n ，即 n4 时取等号， 故数列 bn的最小项是第 4 项，该项的值为23. 3已知数列 an ，对于任意n2，在 an1与 an之间插入 n 个数，构成的新数列bn 成 等差数列，并记在an1与 an之间插入的这n 个数均值为Cn1. (1)若 an n 2 3n8 2 ，求 C1，C2， C3； (2)在(1)的条件下是否存在常数 ，使 Cn1Cn是等差数列？如果存在，求出满足条 件的 ，如果不存在，请说明理由 解： (1)由题意 a1 2，a21，a35， a410， 在 a1与 a2之间插入 1,0，C1 1 2. 在 a2与 a3之间插入2,3,4，C23. 在 a3与 a4之间插入6,7,8,9，C315 2 . (2)在 an1与 an之间插入 n 个数构成等差数列，d anan1 n1 1， Cn1 n an1an 2 n an1 an 2 n 22n9 2 . 假设存在 使得 Cn1C n 是等差数列 (Cn1Cn) (CnCn1) Cn1Cn (CnCn1) 2n5 2 2n3 2 (1 )n5 2 3 2 常数， 1. 即 1 时， Cn1 C n是等差数列