2014挑战中考数学压轴题_1.6因动点产生的面积问题.pdf

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1、1.6 因动点产生的面积问题 例 1 2013 年苏州市中考第29 题 如图 1，已知抛物线 21 2 yxbxc（b、c 是常数，且 c0）与 x 轴交于A、B 两点 （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的负半轴交于点C，点 A 的坐标为 (1,0) （1）b_，点 B 的横坐标为 _（上述结果均用含c 的代数式表示） ； （2）连结 BC，过点 A 作直线 AE/BC，与抛物线交于点E点 D 是 x 轴上一点，坐标 为(2,0) ，当 C、D、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下， 点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连结 PB、PC设 PBC 的面

2、积为S 求 S的取值范围； 若 PBC 的面积 S为正整数，则这样的PBC 共有 _个 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“13 苏州 29” ，拖动点C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到， EHA 与 COB 保持相似点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时 EHD COD拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有11 个 请打开超级画板文件名“13 苏州 29” ，拖动点C 在 y 轴负半轴上运动，可以体验到， EHA 与 COB 保持相似点击按钮“C、D、E 三点共线”，此时 EHD COD拖动 点 P 从 A 经过 C 到达 B，数一数面积的正整数值共有11

3、 个 思路点拨 1用 c 表示 b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB2OC 2当 C、D、 E 三点共线时，EHA COB， EHD COD 3求 PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在 BC 上方或下方 4 求得了 S的取值范围， 然后罗列P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中， 面积的正整数值， 再数一数个数注意排除点A、C、B 三个时刻的值 满分解答 （1）b 1 2 c，点 B 的横坐标为2c （2）由 2 111 ()(1)(2 ) 222 yxcxcxxc，设 E 1 ( ,(1)(2 ) 2 xxxc 过点 E 作 EHx 轴于 H 由于 OB2OC，

4、当 AE/BC 时， AH2EH 所以 1(1)(2 )xxxc 因此 1 2xc所以(12 ,1)Ecc 当 C、D、E 三点在同一直线上时， EHCO DHDO 所以 1 212 cc c 整理，得 2c 23c20解得 c 2 或1 2 c（舍去） 所以抛物线的解析式为 213 2 22 yxx （3）当 P 在 BC 下方时，过点P 作 x 轴的垂线交BC 于 F 直线 BC 的解析式为 1 2 2 yx 设 213 (,2) 22 P mmm，那么 1 (,2) 2 F mm， 21 2 2 FPmm 所以 SPBCSPBF SPCF 221 ()24(2)4 2 BC FP xxF

5、Pmmm 因此当 P 在 BC 下方时， PBC 的最大值为4 当 P 在 BC 上方时，因为SABC5，所以 SPBC5 综上所述， 0S5 若 PBC 的面积 S为正整数，则这样的PBC 共有 11 个 考点伸展 点 P 沿抛物线从A 经过 C 到达 B 的过程中， PBC 的面积为整数，依次为（5） ，4，3， 2，1， （0） ， 1，2，3，4， 3，2，1， （0） 当 P 在 BC 下方， S4 时，点 P 在 BC 的中点的正下方，F 是 BC 的中点 例 2 2012年菏泽市中考第21 题 如图 1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、

6、O(0, 0)， 将此三角板绕原点O 逆时针旋转90，得到三角形ABO （1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式； （2）设点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PBAB 的面 积是 A B O 面积的 4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（ 2）的条件下，试指出四边形PBAB 是哪种形状的四边形？并写出它的两条 性质 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 菏泽 21” ，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形PBAB 是等腰梯形时，四边形PBA B 的面积是 A BO 面积的 4 倍 请打开超级画板

7、文件名“12 菏泽 21” ，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以 体验到，当四边形PBAB 是等腰梯形时，四边形PBA B 的面积是 A BO 面积的 4 倍 思路点拨 1四边形PB A B 的面积是 ABO 面积的 4 倍，可以转化为四边形PB OB 的面积是 ABO 面积的 3 倍 2联结 PO，四边形PBOB 可以分割为两个三角形 3过点向x 轴作垂线，四边形PBOB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形 满分解答 （1） AOB 绕着原点O 逆时针旋转90，点 A 、B的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2) 因为抛物线与x 轴交于 A (1, 0)、B(2, 0)，设解析

8、式为ya(x1)(x2)， 代入 B(0, 2)，得 a1 所以该抛物线的解析式为y (x1)(x2) x 2x2 （2）SA BO 1 如果 S四边形 PBAB4 SAB O4，那么 S 四边形 PBOB3 SABO3 如图 2，作 PDOB，垂足为 D 设点 P 的坐标为(x， x2 x2) 232 1111 ()(22)2 2222 PB OD SDO B OPDxxxxxx 梯形 232 1113 (2)(2)2 2222 PDB SDBPDxxxxx 所以 2 2 +2 PDB PB A DPB OD SSSxx 四边形梯形 解方程 x22x23，得 x1x21 所以点 P 的坐标为

9、 (1，2) 图 2 图 3 图 4 （3）如图 3，四边形 PBAB 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰 梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线 考点伸展 第（2）题求四边形PBOB 的面积， 也可以如图4 那样分割图形， 这样运算过程更简单 11 2 22 PB OP SB O xxx 22 11 2(2)2 22 PBOP SBO yxxxx 所以 2 2 +2 PB OPBOPB A D SSSxx 四边形 甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P： 作 AOB 关于抛物线的对称轴对称的BOE，那么点E 的坐标为 (1，2

10、) 而矩形 EBOD 与 AOB 、BOP 是等底等高的，所以四边形EB A B 的面积是 ABO 面积的 4 倍因此点E 就是要探求的点P 例 3 2012年河南省中考第23 题 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx 与抛物线yax 2 bx3 交于 A、B 两点， 点 A 在 x 轴上，点B 的纵坐标为3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A、 B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、 b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为m 用含 m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长

11、的最大值； 连结 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三 角形的面积比为910？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河南 23” ，拖动点 P 在直线 AB 下方的抛物线上运动，可以 体验到， PD 随点 P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是 AB 的中点时， PD 达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9 10， 也可以是109 思路点拨 1第（ 1）题由于CP/y 轴，把 ACP 转化为它的同位角 2第（ 2）题中， PDPCsinACP，第（

12、1）题已经做好了铺垫 3 PCD 与 PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与 BM 的比 4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论 满分解答 （1）设直线 1 1 2 yx 与 y 轴交于点E，那么 A(2,0)，B(4,3)，E(0,1) 在 RtAEO 中， OA2，OE1，所以 5AE 所以 2 5 sin 5 AEO 因为 PC/EO，所以 ACP AEO因此 2 5 sin 5 ACP 将 A(2,0)、B(4,3)分别代入yax2bx3，得 4230, 16433. ab ab 解得 1 2 a ， 1 2 b （2）由 211 ( ,3) 22 P m

13、mm ， 1 ( ,1) 2 C mm ， 得 221111 (1)(3)4 2222 PCmmmmm 所以 22 2 52 5159 5 sin(4)(1) 55255 PDPCACPPCmmm 所以 PD 的最大值为 9 5 5 （3）当 SPCDSPCB 910 时， 5 2 m ； 当 SPCDSPCB 109 时， 32 9 m 图 2 考点伸展 第（ 3）题的思路是：PCD 与 PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 而 2 52 511 coscos(4)(2)(4) 5525 DNPDPDNPDACPmmmm ， BM4m 当 SPCDSPC

14、B9 10 时， 19 (2)(4)(4) 510 mmm 解得 5 2 m 当 SPCDSPCB109 时， 110 (2)(4)(4) 59 mmm 解得 32 9 m 例 4 2011年南通市中考第28 题 如图 1， 直线 l 经过点 A(1， 0)， 且与双曲线 m y x (x0)交于点 B(2， 1) 过点( ,1)P p p(p 1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x 0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMB PNA； （3）是否存在实数p，使得 SAMN4SAMP？若存在，

15、请求出所有满足条件的p 的值； 若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“11 南通 28” ，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，当直 线 MN 经过（ 0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN 和 AMP 是两 个同高的三角形，MN4MP 存在两种情况 思路点拨 1第（ 2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（ 3）题把 S AMN4SAMP转化为 MN4MP，按照点M 与线段 NP 的位置关系分 两种情况讨论 满分解答 （1）因为点B(2，1)在双曲线 m y x 上，所以m2设直线l 的解析式为ykx b ， 代入点 A(1，0)和点

16、B(2，1)，得 0, 21. kb kb 解得 1, 1. k b 所以直线l 的解析式为1yx （2）由点( ,1)P p p(p1)的坐标可知，点P 在直线1yx上 x 轴的上方如图2， 当 y2 时，点 P 的坐标为 (3，2)此时点M 的坐标为 (1，2)，点 N 的坐标为 (1，2) 由 P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB 为等腰直角三角形 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA 为等腰直角三角形 所以 PMB PNA 图 2 图 3 图 4 （3） AMN 和 AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和 MP 在同一条

17、直线上 当 SAMN4SAMP时， MN 4MP 如图 3，当 M 在 NP 上时， xMxN4(xPxM)因此 222 ()4 (1)x xxx 解 得 113 2 x 或 113 2 x （此时点P 在 x 轴下方，舍去） 此时 113 2 p 如 图4 ， 当M在NP的 延 长 线 上 时 ， xM xN 4(xM xP) 因 此 222 ()4(1 )x xxx 解得 15 2 x 或 15 2 x （此时点P 在 x 轴下方， 舍去）此 时 15 2 p 考点伸展 在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图5， AMN90，此时点M 的坐标为（ 1，2） ，点 P 的坐

18、标为（ 3，2） 情形二，如图6， MAN90，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半 不存在 ANM90的情况 图 5 图 6 例 5 2010年广州市中考第25题 如图 1，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为 (3,0)，(0,1)点 D 是线段 BC 上 的动点（与端点B、C 不重合），过点 D 作直线 1 2 yxb交折线 OAB 于点 E （1）记 ODE 的面积为S，求 S与 b 的函数关系式； （2） 当点 E 在线段 OA 上时，若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1， 试探究四边形O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发

19、生变化？若不变，求出重叠 部分的面积；若改变，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“10 广州 25” ，拖动点D 由 C 向 B 运动，观察S随 b 变化的函 数图象，可以体验到，E 在 OA 上时， S随 b 的增大而增大；E 在 AB 上时， S随 b 的增大而 减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点D 由 C 向 B 运动，可以观察到，E 在 OA 上时，重 叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换 思路点拨 1数形结合，用b 表示线段OE、CD、AE、BE 的长 2求 ODE 的面积，要分两种情况当E 在 OA 上时， OE 边对应的高等于OC；当 E

20、在 AB 边上时，要利用割补法求ODE 的面积 3第（ 3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形 4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理 满分解答 (1)如图 2，当 E 在 OA 上时，由 1 2 yxb可知，点 E 的坐标为 (2b,0)，OE2b此 时 SSODE 11 21 22 OE OCbb 如图 3，当 E 在 AB 上时，把 y1 代入 1 2 yxb可知，点D 的坐标为 (2b2,1)， CD2b2，BD52b把 x3 代入 1 2 yxb可知，点E 的坐标为 3 (3,) 2 b，AE 3 2 b， BE 5 2 b此时 SS矩形 OABCSOAE SBDE

21、 SOCD 131 51 33()()(52 )1 (22) 222 22 bbbb 2 5 2 bb (2)如图 4，因为四边形O1A1B1C1与矩形 OABC 关于直线 DE 对称，因此DMDN，那 么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形 作 DH OA，垂足为H由于 CD 2b2， OE2b，所以 EH2 设菱形 DMEN 的边长为m在 RtDEH 中， DH 1，NH 2m，DNm，所以 12 (2m) 2m2解得 5 4 m所以重叠部分菱形DMEN 的面积为 5 4 图 2 图 3 图 4 考点伸展 把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状

22、是菱形（如图 5） ， 那么这个菱形的最小面积为1，如图 6 所示；最大面积为 5 3 ，如图 7所示 图 5 图 6 图 7 例 6 2010年扬州市中考第28 题 如图 1，在 ABC 中， C90， AC3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点E 在斜 边 AB 上，过点 E 作直线与 ABC 的直角边相交于点F，设 AEx， AEF 的面积为y （1）求线段AD 的长； （2）若 EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， 求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ； 当 x 取何值时， y 有最大值？并求出最大值 （3）若点 F 在直角边AC 上（点 F 与 A、

23、C 不重合），点 E 在斜边 AB 上移动，试问， 是否存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出 x 的值；若不存 在直线 EF，请说明理由 图 1 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“10 扬州 28” ，拖动点 E 在 AB 上运动，从y 随 x 变化的图象可 以体验到，当F 在 AC 上时， y 随 x 的增大而增大；当F 在 BC 上时， y 随 x 变化的图象是 开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的顶点双击按钮“第（3）题” ，我们 已经设定好了EF 平分 ABC 的周长，拖动点E，观察图象，可以体验到，“面积 AEF”的 值可以等于3，

24、也就是说， 存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分双击按钮 “第（ 2） 题”可以切换。 思路点拨 1第（ 1）题求得的AD 的长，就是第（2）题分类讨论x 的临界点 2第（ 2）题要按照点F 的位置分两种情况讨论 3第（ 3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的 情况作出判断 满分解答 (1) 在Rt ABC中 ，AC 3 ， BC 4 ， 所 以AB 5 在Rt ACD中 ， 39 cos3 55 ADACA (2) 如图 2，当 F 在 AC 上时， 9 0 5 x 在 RtAEF 中， 4 tan 3 EFAEAx所 以 2 12 23 yAE E

25、Fx 如图 3，当 F 在 BC 上时， 9 5 5 x在 RtBEF 中， 3 tan(5) 4 EFBEBx所 以 2 1315 288 yAE EFxx 当 9 0 5 x时， 22 3 yx的最大值为 54 25 ； 当 9 5 5 x时， 2 315 88 yxx 2 3575 ) 8232 x(的最大值为 75 32 因此，当 5 2 x时， y 的最大值为 75 32 图 2 图 3 图 4 (3)ABC 的周长等于12，面积等于6 先假设 EF 平分 ABC 的周长，那么AEx，AF6x，x 的变化范围为3x5因 此 1142 sin(6)(6) 2255 AEF SAE AF

26、Axxx x解方程 2 (6)3 5 x x，得 1 36 2 x 因为 1 36 2 x在 3x5 范围内 （如图 4） ，因此存在直线EF 将 ABC 的周长和面 积同时平分 考点伸展 如果把第（ 3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上” ，那么就 不存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分 先假设 EF 平分 ABC 的周长，那么AE x，BE5 x，BFx1 因此 2 1133 sin(5)(1)(45) 22510 BEF SBE BFBxxxx 解方程 2 3 (45)3 10 xx整理，得 2 450xx此方程无实数根 例 7 2009年兰州市中

27、考第29题 如图 1，正方形ABCD 中，点 A、B 的坐标分别为 （ 0， 10） ，（8， 4） ， 点 C 在第一象限 动 点 P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿 A BCD 匀速运动，同时动点Q 以相同速 度在 x 轴上运动，当P 点到 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒 （1）当 P点在边 AB 上运动时，点Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间t（秒）的 函数图象如图2 所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P运动速度； （2）求正方形边长及顶点C 的坐标； （3）在（ 1）中当 t 为何值时，OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标 （4）如果点P、Q

28、 保持原速度速度不变，当点P 沿 AB CD 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“09 兰州 29” ，拖动点Q 在 x 轴上运动，可以体验到，点Q 运 动的起点为（ 1，0） ；当 P在 AB 上时， OPQ 的面积随x 变化的图象是开口向下的抛物线 的一部分； 观察点 P 与 OQ 的垂直平分线的位置关系，可以体验到， 有两个时刻， PO=PQ 双 击按钮“ POPQ，P 在 AB 上”和“ POPQ，P 在 CD 上” ，可以准确显示POPQ 思路点拨 1过点 B、C、P 向 x 轴

29、、 y 轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出 现相等、成比例的线段，用含有t 的式子表示这些线段是解题的基础 2求点 C 的坐标，为求直线BC、CD 的解析式作铺垫，进而为附加题用两点间的距离 公式作准备 3不论点P 在 AB、BC 还是 CD 上，点 P 所在的直角三角形的三边比总是345， 灵活运用方便解题 4根据二次函数的解析式求函数的最值时，要注意定义域与对称轴的位置关系 满分解答 （1） Q (1,0)，点 P 每秒钟运动1 个单位长度 （2）过点 B 作 BEy 轴于点 E，过点 C 作 x 轴的垂线交直线BE 于 F，交 x 轴于 H 在 RtABE 中，BE8，A

30、E 104 6，所以 AB10由 ABE BCF，知 BFAE 4，CFBE6所以 EF86 14，CH8412因此点 C 的坐标为（ 14，12） （3）过点 P 作 PMy 轴于 M，PN x轴于 N因为 PM/BE，所以 APAMMP ABAFBF ， 即 1068 tAMMP 因此 34 , 55 AMtPMt 于是 34 10, 55 PNOMtONPMt 设 OPQ 的面积为 S(平方单位 )， 那么 2113347 (1)(10)5 2251010 SOQ PNtttt， 定义域为0 t 10 因为抛物线开口向下，对称轴为直线 47 6 t，所以当 47 6 t时， OPQ 的面

31、积最大此 时 P 的坐标为 ( 94 15 ， 53 10 ) （4）当 5 3 t或 295 13 t时,OP 与 PQ 相等 图 3 图 4 考点伸展 附加题的一般思路是：点Q 的横坐标是点P 的横坐标的2 倍先求直线AB、BC、CD 的解析式，根据直线的解析式设点P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程POPQ 附加题也可以这样解： 如图 4，在 RtAMP 中，设 AM3m，MP 4 m，AP5m，那么 OQ8m根据 AP、 OQ 的长列方程组 5, 81, mt mt 解得 5 3 t 如图 5，在 RtGMP 中，设 GM3m，MP4 m，GP 5m，那么 OQ8m在 Rt GAD中， GD 7.5根据 GP、OQ 的长列方程组 537.5, 81, mt mt 解得 295 13 t 如图 6，设 MP4m，那么 OQ8m根据 BP、OQ 的长列方程组 51010, 81, mt mt 解得 5 3 t，但这时点P 不在 BC 上 图 5 图 6