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1、20142015 学年度第一学期期中考试 高三数学试题 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1.设集合,40,21xxBxxA则BA. 2.已知iRaiiaz,)(21)(为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则 a. 3.若命题“02,“ 2 mmxxRx是假命题，则实数m的取值范围是. 4.已知向量),1,0(),1 ,2(ba若,/)(aba则实数. 5.若等差数列 n a的前 5 项和,25 5 S且,3 4 a则 7 a. 6.若直线bxy是曲线xxyln的一条切线，则实数b. 7.已知函数)(xf是奇函数，当
2、0x时，, 2 sin3)( 2 x axxf且,6)3(f则a. 8.在ABC中，角CBA,的对边分别是cba,， 若,2,30,sin3sinbBCA则ABC的 面积是. 9.如图，ABC中，DCBCAC,90,4,3是BC的中点，则 ADBA的值为. 10. 已 知 n a是 分 比 为q的 正 项 等 比 数 列 ， 不 等 式 0 43 2 axax的解集是, 21 axax则q. 11.在平面直角坐标系中，已知角 4 的终边经过点),4 ,3(P则 cos. 12.已知点BA,分别在函数 x exf)(和 x exg3)(的图象上， 连接BA,两点，当AB平行于x轴 时，BA,两点
3、的距离是. B A C D 第 9 题图 13. 已 知 三 个 实 数cba,， 当0c时 满 足 ：,32cab且, 2 abc则 ca b 2 的 取 值 范 围 是. 14.已知函数,0,3)( 2 mxxxxf，其中,Rm当函数)(xf的值域为2,0时，则实数m 的取值范围. 二、解答题：本大题共6 分，共计90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14 分 )在 ABC 中，已知).sin(2)sin(BABA （1）若, 6 B求:A （2）若,2tan A求Btan的值 . 16. (本题满分 14 分)已知集合033,3
4、,2,2 22 aaxxxBxyyA x （ 1）当4a时，求;BA（2）若命题“Ax”是命题“Bx”的充分不必要条件，求实 数a的取值范围 . 17. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系中，已知三点ORttCtBA,),6(),2,(),0,4(为坐标原点 . (1) 若ABC是直角三角形，求t的值； (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形，求OD的最小值 . 18.（本小题满分16 分） 如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场， 5 26 PQ,km某旅游团 浏览完岛屿后，乘游船回停车场,Q已 知游船以hkm /13的速度沿方位角的方向行驶， . 13 5
5、sin游船离开观光岛屿3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车 地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处 （设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小 船行驶的方位角是，出租车的速度为./66hkm （1）设, 5 4 sin问小船的速度为多少hkm /时，游客甲才 能和游船同时到达点;Q （2）设小船速度为hkm /10， 请你替该游客设计小船行驶的 方位角,当角的余弦值的大小是多少时，游客甲能 按计划以最短时间到达Q. 19.（本小题满分16 分） 已 知 二 次 函 数cbxaxxh 2 )(（ 其 中),3c
6、其 中 导 函 数)( xhy的 图 象 如 图 ， 设 )(ln6)(xhxxf （1）求函数)( xf在2x处的切线斜率； （2）若函数)( xf在区间) 2 1 ,1(m上是单调函数， 求实 数m的取值范围； （3）若 函 数)6 ,0(, xxy的 图 象 总 在 函 数 )(xfy图象的上方，求c的取值范围 . B Q P A M )( xh )0,4( )8,0( x y O 20. （本小题满分16 分） 设等比数列 n a的首项为,2 1 a公比为qq(为正整数），且满足 3 3a是 1 8a与 5 a的等差中项； 数列 n b满足).,(0 2 3 )(2 *2 NnRtbn
7、btn nn （1）求数列 n a的通项公式； （2）试确定t的值，使得数列 n b为等差数列； （3）当 n b为等差数列时，对每个正整数,k在 k a与 1k a之间插入 k b个 2，得到一个新 数列 n c.设 n T是数列 n c的前n项和，试求满足 1 2 mm cT的所有正整数.m 20142015 学年度第一学期期中考试 高三数学试题参考答案与评分标准 10, 22. 1 2 30,1405-36 -175 8391710 15 2 11 7 2 10 12ln3 3,09,41,2 15 解:（1）由条件，得 sin()2sin() 66 AA 3131 sincos2(si
8、ncos) 2222 AAAA ,3 分 化简，得s i n3 c o sA A tan3A ,6 分 又(0, )A， 3 A ,7 分 （2）因为 sin()2sin()ABAB ， sincoscossin2(sincoscossin)ABABABAB 化简，得3 c o ss i ns i ncoABAB ,11 分 又c o sco s0AB， tan3tanAB 又 tan2A， 2 tan 3 B ,14 分 7解 ： （1）由条件，4,2 ,2,6,2ABtACtBCt t， - 若直角ABC 中，90A，则0ABAC，即 2420tt， 2t；-2分 若直角ABC 中，90B
9、，则0AB BC，即46220ttt，62 2t； 若直角ABC 中，90C，则0AC BC，即 2 620tt t，无解， 所以，满足条件的t的值为2或 62 2 -8分 （2）若四边形ABCD 是平行四边形，则ADBC ，设 D 的坐标为( , )x y 即4,6,2xyt t， 466 2 x yt 即(10,2)Dt t 222 (10)(2)224104ODtttt， 所以当6t时，OD的最小值为4 2，-14分 18 解： () 如图，作 PNAB ,N 为垂足 13 5 sin， 4 sin 5 a， 在 Rt PNQ 中， sinPQPN 265 2 513 ( km), co
10、sPQQN= 2612 4.8 513 ( km) 在 Rt PNM 中， 2 1.5 4 tan 3 PN MN a ( km) ,3分 设游船从 P 到 Q 所用时间为 1 t h，游客甲从P经M到 Q 所用时间为2 t h，小船的速度为 1 vkm/h，则 1 26 2 5 13135 PQ t(h), 2 111 2.53.351 6666220 PMMQ t vvv （ h） ,5 分 由已知得： 21 1 20 tt ， 1 5112 220205v ， 1 25 3 v ,7 分 小船的速度为 25 3 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达 Q ()在 Rt PMN 中， 2
11、sinsin PN PM aa ( km), 2cos tansin PN MN a aa ( km) 2cos 4.8 sin QMQNMN a a ( km) ,9 分 14cos 10665sin5533sin PMQM t a aa 1335cos4 165sin55 a a ,11 分 2 22 15sin(335cos )cos533cos 165sin165sin t aaaa aa , ,13 分 令0t得： 5 cos 33 a 当 5 cos 33 a时，0t；当 5 cos 33 a时，0t cosa在) 2 ,0(上是减函数， N Q P M B A 当方位角a 满足
12、5 cos 33 a时， t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q , 16 分 19解： ( )28fxx- 2 分 cxxxxf8ln6)( 2 82 6 )( x x xf (2)1f，所以函数)3(, 3()(fxf在点处的切线斜率为-1 - 4 分 x xx x x xf )3)(1(2 82 6 )( 0x x（0，1）1 （1，3）3 ), 3( )( xf + 0 0 + )(xf )(xf的单调递增区间为（0，1）和),3( )(xf的单调递减区间为（1，3）- 7 分 要使函数)(xf在区间 1 (1,) 2 m上是单调函数， 则 1 1 2 1 3 2 m m ，解得
13、15 22 m - 9分 由题意，恒成立， 得恒成立， 即 2 76lncxxx恒成立， 设 2 min ( )6ln7 ,0,6 ,( )g xxxx xcg x则 - 13 分 x xx x xx x xxg )2)(32(672 7 6 2)( 2 因为为增函数时当)(,0)( ,)2, 2 3 (,0xgxgxx 当 3 (0,)(2,),( )0,( ) 2 xg xg x和时为减函数 )(xg的最小值为)6() 2 3 (gg和的较小者 3933333 ( )6ln76ln, 242242 (6)366ln 64266ln 6, 3939 ( )(6)6ln6ln 612ln 20, 2424 g g gg .6ln66)6()( min gxg - 15 分 又已知3c， 66ln 6c - 16 分 20【解析】（）因为,所以， 解得（舍），则- 3 分 又，所以-5分 （）由，得， 所以,则由，得 - 8 分 而当时，由（常数）知此时数列为等差数列 - 10 分