2015年中考数学一轮复习系列专题11_二次函数.pdf

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1、- 1 - 基础知识 知识点一、二次函数的有关概念 1、二次函数的概念：一般地，我们把形如 cbxaxy 2 （其中cba，是常数，0a） 的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x称为自变 量，y称为因变量。 知识点二、二次函数的基本性质 1、二次函数的图像：抛物线。 2、二次函数的常见的几种表达式 、一般式：cbxaxy 2 、顶点式：khxay 2 a b h 2a bac k 4 4 2 3、抛物线的三要素：开口方向（与a有关系）、对称轴（与a、b有关系）、顶点kh ,。 4、二次函数的基本性质 - 2 - 表达式开口方向对称轴顶点y随着x的变化 2 ax

2、y 0a开口向 上 0a 开口向 下 a越大，开口越 大 对称轴为 y轴 0,0 当0a时，对称 轴的左边y随着 x的增大而减小； 对称轴的右边 y 随着x的增大而 增大。 当 0a 时，对称 轴的左边y随着 x的增大而增大； 对称轴的右边 y 随着x的增大而 减小。 caxy 2 c,0 2 hxay 对称轴为 hx 0,h khxay 2 kh, cbxaxy 2 对称轴为 a b h 2 a bac a b 4 4 , 2 2 - 3 - 5、二次函数cbxaxy 2 与khxay 2 之间的转化 6、二次函数的平移 7、二次函数cbxaxy 2 中a、b、c正负的判定 a：看开口方向0

3、a开口向上；0a开口向下。 b：看对称轴对称轴在y轴左边， 则与a正负相同， 对称轴在y轴右边， 则与a正负相反。 - 4 - c：看于y轴的交点0c于y轴交于正半轴；0c于y轴交于负半轴。 知识点四：二次函数解析式的求法 1、设一般式：cbxaxy 2 一般题目提供已知三个点坐标，则设所求抛物线解析式一般式，将已知条件带入解析式，得 到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值即可得到解析式。 2、设顶点式：khxay 2 一般题目提供已知一个点和顶点坐标，则设所求抛物线解析式顶点式，将已知条件带入解析 式，得到一个关于a的一元一次方程，求出a即可得到解析式。 知识点四：二次

4、函数的实际问题 二次函数的实际应用题解题步骤： 1、分析：分析此题的类型：行程问题、销售问题 2、提取：提取题目中的已知条件，并标记：如行程问题，则跟速度、时间、路程有关，应 标清楚是什么量。 3、设题：一般是求什么设什么，但部分题目应先考虑已知条件进行设题。 4、列：将2、3 中的关系用数学式子表示清楚，列出式子。 5、解：解出式子中未知数的解即可 6、答：答题。 知识点五：二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（ a0）的根。 抛物线 y=ax 2 +bx+c，当 y=0 时，抛物线便转化为

5、一元二次方程ax 2 +bx+c=0 2 4bac0 时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有两个交点； 2 4bac=0 时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有一个交点； 2 4bac0 时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴没有交点。 知识点六：二次函数与不等式的关系 、使得二次函数cbxaxy 2 的函数值0y的自变量x的取值范围，即求 0 2 cbxax的解集；反之，求0 2 cbxax的解集，即求二次函数cbxaxy 2 的函数值0y的自变量x的取值范围。（此处常用图解法求一元二次不等式的解集） - 5 - 、用图像法求一元二次不等式0

6、 2 cbxax04,0 2 acba（例子） 的解集步骤： a、设：设cbxaxy 2 ，则求0 2 cbxax，即求二次函数cbxaxy 2 的函数 值0y的自变量x的取值范围。 b、作：根据五点作图法，作出一次函数cbxaxy 2 的图像 c、求：求出二次函数与x轴的交点坐标 d、解：根据直角坐标系特点，x轴上方，0y恒成立；反之，x轴下方，0y恒成立， 故求0 2 cbxax，即看图像在x轴下方部分时，x的取值范围即可。 重点例题分析 例 1：若函数y(m3) 2 213mm x 是二次函数，则m_. 例 2：将抛物线y3x 2 向左平移 2 个单位，再向下平移1 个单位，所得抛物线为

7、( ) Ay3(x 2) 21 B y3(x2) 21 Cy3(x 2) 21 D y3(x2) 21 例 3：(2014 年四川资阳，第10 题 3分)二次函数 y=ax 2+bx+c（a0 ）的图象如图 11-1，给出 下列四个结论：4acb20； 4a+c2b； 3b+2c0； m（am+b）+ba（m 1） ， 其中正确结论的个数是（） - 6 - A 4 个B 3 个C2 个D1 个 例 4： （2014 年山东泰安，第20 题 3 分）二次函数y=ax 2+bx+c（ a，b，c 为常数，且 a0 ） 中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X1 0 1 3 y1 3 5 3 下列

8、结论： （1）ac0； （2）当 x1 时， y 的值随 x 值的增大而减小 （3）3 是方程 ax 2+（b1）x+c=0 的一个根； （4）当 1x 3时， ax2+（b1）x+c0 - 7 - 其中正确的个数为（） A4 个B 3 个C2 个D1 个 例 5： （2014?舟山，第10 题 3 分）当 2 x1时，二次函数y=（ xm） 2+m2+1 有最大值 4，则实数m 的值为（） A.B.或C.2 或D.2 或或 例 6：（2014浙江金华， 第 9 题 4 分） 如图 11-2 是二次函数 2 yx2x4的图象，使y1 - 8 - 成立的x的取值范围是（） A1x3Bx 1 4

9、Cx1Dx1或x3 答案： D 解析：由图象可知，当y1时，x1或x3. 故选D 例 7： （2014 年山东泰安，第17 题 3 分）已知函数y=（x m） （xn） （其中 mn）的图象 如图 11-3 所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=的图象可能是（） - 9 - 例 8： （2014?广西贺州，第26 题 12 分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点 A（ 1， 1 4 ） ； 点 F（ 0，1）在 y 轴上直线y= 1 与 y 轴交于点H （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 是（ 1）中图象上的点，过点P 作 x 轴的垂线与直线y=1 交于点 M，求证： FM 平分

10、 OFP； （3）当 FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标 - 10 - 例 9： (2014 年四川资阳， 第 22 题 9 分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20 台， 空调的采购单价y1（元 /台）与采购数量x1（台）满足 y1=20x1+1500（0x1 20 ，x1为整数）； 冰箱的采购单价y2（元 /台）与采购数量x2（台）满足 y2=10x2+1300（0x2 20 ，x2为整数） - 11 - （1） 经商家与厂家协商， 采购空调的数量不少于冰箱数量的， 且空调采购单价不低于1200 元，问该商家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以1760 元/台和 1700 元

11、/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完在 （1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润 答：采购空调15 台时，获得总利润最大，最大利润值为10650 元 - 12 - 例 10：(2014?襄阳，第26 题 12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE 的三个顶点 分别是 C（3，0） ，D（3， 4） ，E（ 0，4） 点 A 在 DE 上，以 A 为顶点的抛物线过点C，且 对称轴 x=1 交 x 轴于点 B连接 EC，AC点 P，Q 为动点，设运动时间为t 秒 （1）填空：点A 坐标为；抛物线的解析式为 （2）在图 1 中，若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C

12、 以 1 个单位 /秒的速度运动， 同时， 点 Q 在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位 /秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随 之停止运动当t 为何值时，PCQ 为直角三角形？ （3）在图 2 中，若点 P 在对称轴上从点A 开始向点 B 以 1 个单位 /秒的速度运动，过点P 做 PFAB，交 AC 于点 F，过点 F 作 FGAD 于点 G，交抛物线于点Q，连接 AQ，CQ当 t 为何值时， ACQ 的面积最大？最大值是多少？ - 13 - - 14 - 巩固练习 1、下列函数中，不是二次函数的是() Ay12x 2 By2(x 1) 24 C.y= 1 2(x1)

13、(x4) Dy(x2) 2 x 2 2、二次函数y 2x2mx 8 的图象如图11-4，则 m 的值是 () A 8 B8 C 8 D6 3、在同一平面直角坐标系内，一次函数yax b与二次函数yax 28xb 的图象可能是 () A B C D 4、 （ 2014?孝感，第12 题 3 分）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为 D（ 1，2） ，与 x 轴的一个交 点 A 在点（ 3，0）和（ 2，0）之间，其部分图象如图11-5，则以下结 论： b24ac0； a+b+c0； ca=2； - 15 - 方程 ax2+bx+c2=0 有两个相等的实数根 其中正确结论的个数为（） A.1 个

14、B.2 个C.3 个D.4 个 5、抛物线y2x 2 bx3 的对称轴是直线x1，则b的值为 _ 6、已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y 5 x与二次函数 y x22xc 的图象交 于点 A(1，m) (1)求 m，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标 7、（2014?武汉2014?武汉，第29 题 10 分）九（ 1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理 出某种商品在第x（1x90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天）1x50 50x90 售价（元 / 件）x+40 90 每天销量（件）2002x 已知该商品的进价为每件30 元，设销售该商品的每天利润为y元 （1）

15、求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800 元？请直接写出结果 8、 （ 2014?安徽省 ,第 22 题 12 分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这 两个二次函数为“ 同簇二次函数 ” （1）请写出两个为“ 同簇二次函数 ” 的函数； （2）已知关于x 的二次函数y1=2x24mx+2m2+1 和 y2=ax2+bx+5，其中 y1的图象经过点A （1，1） ，若 y1+y2与 y1为“ 同簇二次函数” ，求函数y2的表达式，并求出当0 x3时， y2的 最大值 中考

16、预测 - 16 - 1、已知二次函数yax 2bx c(a 0)的图象如图11-6，当 5x0时，下列说法正确的 是( ) A有最小值5、最大值0 B有最小值3、最大值6 C有最小值0、 最大值 6 D有最小值2、 最大值 6 2、二次函数 2 yaxbxc的图象如图11-7 所示，则一次函数 2 4ybxbac与反比 例函数 abc y x 在同一坐标系内的图象大致为（） 3、(2014 年天津市， 第 12 题 3 分) 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a 0） 的图象如图11-8， 且关于x的一元二次方程ax 2+bx+c m=0 没有实数根，有下列结论：b 24ac0； abc0

17、；m2 其中，正确结论的个数是（） A 0 B 1 C2 D3 4、（ 2014?邵阳，第26 题 10 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 nmmnxnmxy 2 与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴 相交于点C （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（ 0， 1），求ACB的大小； （3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值 图 11-7 - 17 - 5、我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是 )0( 2 abxaxy （1）对于这样的抛物线： 当顶点坐标为（1，1）时，a=_； 当顶点坐标为 （m，m） ，0

18、m时，a与m之间的关系式是_ （2）继续探究， 如果0b，且过原点的抛物线顶点在直线)0(kkxy上，请用含k 的代数式表示b； （3）现有一组过原点的抛物线，顶点 1 A， 2 A， n A在直线xy上，横坐标依次 为 1，2，n（为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为 1 B， 2 B， n B，以线段 nnB A为边向右作正方形 nnnn DCBA，若这组抛物线中有一条经 过 n D，求所有满足条件的正方形边长。 - 18 - - 19 - 5.4 - 20 - - 21 - 中考预测 1.B - 22 - 2.D 3.D 4. 解：（ 1）y=x 2（ m+n）x+mn=（xm）（xn）， x=m或x=n时，y都为 0， - 23 - mn，且点A位于点B的右侧， - 24 - 5. - 25 -