2015年数学中考精选：北师大九年级下册解答题(含答案)要点.pdf

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1、第 1 页（共 17 页） 2015 年数学中考精选：北师大九年级下册解答题 一解答题（共16 小题） 1计算：2计算：sin45 +tan45 2cos60 3（ 2015?河北模拟）已知ABC 中的 A 与 B 满足（ 1tanA） 2+|sinB |=0 （1）试判断 ABC 的形状 （2）求（ 1+sinA ） 22 （ 3+tanC ） 0 的值 4（ 2015?长宁区一模）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到 B 地须经 C 地沿折现A CB 行驶， 现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶已知AC=120 千米， A=30 ， B=135 ，则隧道开通后，汽车从A 地

2、到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 第 2 页（共 17 页） 5（2015?崇明县一模）如图，在Rt ABC 中， C=90 ，点 D 是 BC 边上的一点， CD=6 ，cos ADC=，tanB= （1）求 AC 和 AB 的长； （2）求 sinBAD 的值 6（ 2015?宝山区一模）已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）和点 B（0，6）， C（4，6），求这个抛物线的 表达式以及该抛物线的顶点坐标 7（ 2015?普陀区一模）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点C（0，6），对 称轴为直线x=2 ，求二次函数解析式并写出图象最

3、低点坐标 第 3 页（共 17 页） 8 （2015?广东模拟）（1）已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（b2 4ac0 ）的根分别为 x1，x2，求证：x1+x2= ， x1?x2=； （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为 （ 1，9） ，它与 x 轴有两个交点为 A（ x1，0），B （x2，0）， 且 x1 2+x 2 2=20， 求 a、b、c 的值 9（ 2014?南京）已知二次函数y=x 22mx+m2+3（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只

4、有一个公共点？ 10（ 2014 秋?官渡区期末）如图，用一段长为40 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为22 米 （1）设矩形菜园的宽为x 米，面积为y 平方米，请写出y 与 x 之间的函数关系式； （2）当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 11（2015?本溪模拟）某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20 元，调查发现当销售价为24 元时， 平均每天能售出32 件，而当销售价每上涨2 元，平均每天就少售出4 件 （1）若公司每天的现售价为x 元时则每天销售量为多少？ 第 4 页（共 17 页） （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每

5、件28 元，该公司想要每天获得150 元的销售利润，销售价应 当为多少元？ 12（ 2014 秋?大城县期末）商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件可盈利40 元为了扩大销售，减少库存， 决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件 （1）设每件降价x 元，每天盈利y 元，写出y 与 x 之间的函数关系式 （2）若商场每天要盈利1200 元，每件衬衫降价幅度不能超过18 元，那么每件衬衫应降价多少元？ （3）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利能达到最大，盈利最大是多少元？ 13（ 2014 秋?江都市期末）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴

6、交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，且 A（ 3，0）， C （0， 3），对称轴为直线x=1 （1）求抛物线的函数关系式 第 5 页（共 17 页） （2）若点 P是抛物线上的一点（不与点C 重合）， PAB 与ABC 的面积相等，求点P 的坐标 14（ 2015?广东模拟）如图，AB 是 O 的直径，弦CDAB ，垂足为 E，如果 AB=10 ，CD=8 ，求 tanOCE 的值 15（ 2014 秋?南昌期末）如图，边长为4cm 的等边三角形ABC 与 O 等高（即高与直径相等），O 与 BC 相切 于点 C， O 与 AC 相交于 E 求：（ 1）CE 的长；（ 2）阴影部分的面积

7、 第 6 页（共 17 页） 16（ 2015?吉林模拟）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点E， BF CD， BF 与弦 AD 的延长线相 交于点 F，且 AD=3 ，cosBCD= （1）求证： BF 是 O 的切线； （2）求 O 的半径； （3）求弦 CD 的长 第 7 页（共 17 页） 2015 年数学中考精选：北师大九年级下册解答题 参考答案与试题解析 一解答题（共16 小题） 1（ 2015?普陀区一模）计算： 考点 ： 特殊角的三角函数值 分析：根据特殊角三角函数值，可得答案 解答： 解：原式 =4 + =1+3 点评：本题考查了特殊角三角函数值，解决此类

8、题目的关键是熟记特殊角的三角函数值 2（ 2015?常州模拟）计算：sin45 +tan45 2cos60 考点 ： 特殊角的三角函数值 分析：将特殊角的三角函数值代入求解即可 解答： 解：原式 =+12 =1+1 1 =1 点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值 3（ 2015?河北模拟）已知ABC 中的 A 与 B 满足（ 1tanA） 2+|sinB |=0 （1）试判断 ABC 的形状 （2）求（ 1+sinA ） 22 （ 3+tanC ） 0 的值 考点 ： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 分析：（1）根据绝对

9、值的性质求出tanA 及 sinB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出A 及 B 的度数，进而可 得出结论； （2）根据（ 1）中 A 及 B 的值求出 C 的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可 解答： 解：（ 1） |1tanA） 2 +|sinB |=0， tanA=1 ， sinB=， A=45 ， B=60 ， C=180 45 60 =75 ， ABC 是锐角三角形； （2） A=45 ， B=60 ， C=180 45 60 =75 ， 原式 =（1+）221 第 8 页（共 17 页） = 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键

10、 4（ 2015?长宁区一模）如图，A、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到 B 地须经 C 地沿折现A CB 行驶， 现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶已知AC=120 千米， A=30 ， B=135 ，则隧道开通后，汽车从A 地到 B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号） 考点 ： 解直角三角形的应用 分析：利用锐角三角函数关系得出AB ，AE ，BC 的长，进而求出汽车从A 地到 B 地比原来少走的路程 解答：D 解：如图所示：过点C 作 CEAB 延长线于点E， A=30 ，AC=120km ， EC=60km ，AE=120 cos30 =60（km）， B=135 ，

11、BE=EC=60km ， BC=60km ， AB=6060=60（1） km， AC+BC= （120+60）km， AC+BC AB=120+6060+60=（180+6060）km， 答：隧道开通后，汽车从A 地到 B 地比原来少走（180+6060） km 点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，分别求出AB ，AE， BC 的长是解题关键 5（2015?崇明县一模）如图，在Rt ABC 中， C=90 ，点 D 是 BC 边上的一点， CD=6 ，cos ADC=，tanB= （1）求 AC 和 AB 的长； （2）求 sinBAD 的值 第 9 页（共 17 页） 考点 ： 解直角

12、三角形 分析：（1）通过解 Rt ACD 得到 AD 边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC 的长度；然后通过 解 RtABC 可以求得BC 的长度，再利用勾股定理求线段AB 的长度 （2）如图，过点D 作 DEAB 于点 E，构建 RtADE ，通过解该直角三角形来求sinBAD 的值 解答： 解：（ 1）如图，在RtACD 中， ACD=90 ，CD=6 ，cosADC=， =，即=， 则 AD=10 ， 由勾股定理知，AC=8 又 tanB=， =，即=， 则 BC=12 在 RtABC 中，利用勾股定理知，AB=4 综上所述，AC=8，AB=4； （2）如图，过点D 作 D

13、EAB 于点 E 由（ 1）易知， BD=6 tanB=， =则 BE=DE 则由勾股定理得到：6 2=DE2+ DE 2， 解得DE=， sinBAD= 点评：本题考查了解直角三角形要熟练掌握好边角之间的关系 6（ 2015?宝山区一模）已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）和点 B（0，6）， C（4，6），求这个抛物线的 表达式以及该抛物线的顶点坐标 考点 ： 待定系数法求二次函数解析式 第 10 页（共 17 页） 分析：把点 A（ 1，0）和点 B（0，6）， C（4，6）代入 y=ax 2+bx+c，即可求出二次函数的解析式及它的图象的顶 点坐标 解答：解：设抛物线的表达式为y=

14、ax 2+bx+c ， 把点 A（ 1，0）和点 B（0，6）， C（4，6）代入得， 解得， 所以抛物线的表达式为y=2x 28x+6=2 （x2）22， 所以顶点的坐标为（2， 2） 点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式 7（ 2015?普陀区一模）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点C（0，6），对 称轴为直线x=2 ，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标 考点 ： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值 专题 ： 计算题 分析：根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A 与

15、 C 坐标代入求出a 与 k 的值，确定出二次 函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可 解答：解：设二次函数解析式为y=a（x2） 2+k， 把 A（1，0）， C（0，6）代入得：， 解得：， 则二次函数解析式为y=2 （x2） 22=2x28x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（ 2， 2） 点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 8 （2015?广东模拟）（1）已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（b2 4ac0 ）的根分别为 x1，x2，求证：x1+x2= ， x1?x2=； （2）已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶

16、点坐标为 （ 1，9） ，它与 x 轴有两个交点为 A（ x1，0），B （x2，0）， 且 x12+x22=20， 求 a、b、c 的值 考点 ： 抛物线与x 轴的交点；根与系数的关系 第 11 页（共 17 页） 分析：（1）由一元二次方程ax2+bx+c=0 （b24ac0 ）的根分别为x1，x2，可得（ xx1）（ xx2）=0，化简得 x 2 （x1+x2） x+x1?x2=0， 由 ax2+bx+c=0 两边同时除以 a， 得 x 2+ x+=0， 两式对照即可得出x1+x2=， x1?x2=； （2）由抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（ 1， 9），可用顶点式表示，再化

17、简为yax 22ax+a 9，利用韦 达定理得x1+x2=2，x1?x2= ；由 x12+x22=20，可得 a=1，再利用顶点坐标即可求出b，c 的值 解答：解：（ 1）一元二次方程ax2+bx+c=0 （ b24ac0 ）的根分别为x1，x2， （ xx1）（ xx2）=0， x2（ x1+x2）x+x1?x2=0， ax2+bx+c=0 两边同时除以 a，得 x 2 +x+=0 比较可得，x1+x2= ，x1?x2=； （2）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（ 1， 9）， y=a（x1） 29=ax2 2ax+a9， x1+x2=2，x1?x2= ； x12+x22=20，

18、42=20，解得 a=1， =1， b=2， =9， c= 8 点评：本题主要考查了抛物线与x 轴的交点及根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系及二次函数的顶 点式 9（ 2014?南京）已知二次函数y=x 2 2mx+m 2+3（m 是常数） （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？ 考点 ： 抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与几何变换 专题 ： 代数综合题 分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案； （2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可 解答：（1）

19、证明：=（ 2m） 24 1 （m2+3）=4m24m212=120， 方程 x22mx+m 2+3=0 没有实数解， 即不论 m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）解： y=x 22mx+m2+3= （xm）2+3， 把函数 y=（xm） 2+3 的图象沿 y 轴向下平移3 个单位长度后，得到函数y=（x m） 2 的图象，它的顶点 坐标是（ m， 0）， 因此，这个函数的图象与x 轴只有一个公共点， 第 12 页（共 17 页） 所以，把函数y=x 22mx+m2+3 的图象沿 y 轴向下平移3 个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个 公共点 点评：本题考查了二次函数

20、和x 轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主 要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度 10（ 2014 秋?官渡区期末）如图，用一段长为40 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为22 米 （1）设矩形菜园的宽为x 米，面积为y 平方米，请写出y 与 x 之间的函数关系式； （2）当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 考点 ： 二次函数的应用 专题 ： 几何图形问题 分析：（1）先表示出矩形的长，再由矩形的面积公式就可以得出结论； （2）将（ 1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以得出结论 解答：解：（

21、 1）由题意，得 y=x （402x）， y=2x 2+40x 答： y 与 x 之间的函数关系式为y=2x 2+40x ； （2） y=2x 2+40x y= 2（x10） 2+200 a= 20， x=10 时， y 最大=200 长为： 402 10=20 米 答：这个矩形的长为20 米，宽为10 米时，菜园的面积最大，最大面积是200 平方米 点评：本题考查了矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时求出函数 的解析式是关键 11（2015?本溪模拟）某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20 元，调查发现当销售价为24 元时， 平均每天能售

22、出32 件，而当销售价每上涨2 元，平均每天就少售出4 件 （1）若公司每天的现售价为x 元时则每天销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28 元，该公司想要每天获得150 元的销售利润，销售价应 当为多少元？ 考点 ： 二次函数的应用 分析：（1）由原来的销量每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论； （2）由每件的利润 数量 =总利润建立方程求出其解即可 解答：解：（ 1）由题意，得 32 4=802x 答：每天的现售价为x 元时则每天销售量为（802x）件； （2）由题意，得 第 13 页（共 17 页） （x20）（ 802x）=150， 解得： x

23、1=25，x2=35 x28 ， x=25 答：想要每天获得150 元的销售利润，销售价应当为25 元 点评：本题考查了销售问题的数量关系每件的利润 数量 =总利润的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元 二次方程的解法的运用，解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键 12（ 2014 秋?大城县期末）商场销售一批衬衫，每天可售出20 件，每件可盈利40 元为了扩大销售，减少库存， 决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1 元，每天可多售出2 件 （1）设每件降价x 元，每天盈利y 元，写出y 与 x 之间的函数关系式 （2）若商场每天要盈利1200 元，每件衬衫降价幅度

24、不能超过18 元，那么每件衬衫应降价多少元？ （3）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利能达到最大，盈利最大是多少元？ 考点 ： 二次函数的应用；一元二次方程的应用 专题 ： 销售问题 分析：（1）商场降价后每天盈利=每件的利润 卖出的件数 =（40降低的价格） （20+增加的件数），把相关数值 代入即可求解； （2）利用衬衣平均每天售出的件数 每件盈利 =每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可 解答：解：（ 1）每件衬衫降价1 元，商场平均每天可多售出2 件， 每件衬衫降价x 元，商场平均每天可多售出2x 件， 原来每件的利润为40 元，现在降价x 元， 现在每件的利润为（40x）元， y=（

25、 40x）（ 20+2x）=2x2+60x+800 ； （2）设每件衬衫应降价x 元 根据题意，得（40x）（ 20+2x ）=1200 整理，得x230x+200=0 解得 x1=10，x2=20 降价不能超过18 元， x2=20 应略去， x=10 答：每件衬衫应降价10 元 （3） y=2x 2+60x+800= 2（x15）+1250， 降价 15 元时有最大利润1250 元； 点评：考查了二次函数及其应用问题，是中学数学中的重要基础知识之一，是运用数学知识解决现实中的最值问题 的常用方法和经典模型；应牢固掌握二次函数的性质 13（ 2014 秋?江都市期末）如图，抛物线y=ax 2

26、+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，且 A（ 3，0）， C （0， 3），对称轴为直线x=1 （1）求抛物线的函数关系式 （2）若点 P是抛物线上的一点（不与点C 重合）， PAB 与ABC 的面积相等，求点P 的坐标 第 14 页（共 17 页） 考点 ： 抛物线与x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式 分析：（1）先求出点B 的坐标，再运用待定系数法求二次函数的解析式即可， （2）分两种情况x2+2x 3= 3， x2+2x3=3，求解点 P 的坐标即可 解答：解：（ 1） A（ 3，0），对称轴为直线x= 1 B（1，0）， 把

27、A（ 3，0）， B（1，0）， C（0， 3）代入 y=ax 2+bx+c 得， ，解得， 抛物线的函数关系式为y=x 2+2x3 （2） PAB 与ABC 的面积相等， x2+2x3=3，解得 x1=0，x2=2 P1（ 2， 3）， x2+2x3=3，解得 x1=1+ ，x2=1， P2=（ 1+，3）， P3（ 1 ，3） 综上所述： P1（ 2， 3）， P2=（ 1+ ，3）， P3（ 1 ，3） 点评：本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，抛物线图象上点的坐标特征及待定系数法求二次函数关系，解题的关 键是分两种情况讨论求解 14（ 2015?广东模拟）如图，AB 是 O 的直径，弦

28、CDAB ，垂足为 E，如果 AB=10 ，CD=8 ，求 tanOCE 的值 考点 ： 垂径定理；解直角三角形 分析：先根据垂径定理求出CE 的长，再根据勾股定理求出OE 的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论 解答：解： AB 是 O 的直径， AB=10 ， OC=5 弦 CDAB ，CD=8 ， CE=4， 第 15 页（共 17 页） OE=3， tanOCE= 点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键 15（ 2014 秋?南昌期末）如图，边长为4cm 的等边三角形ABC 与 O 等高（即高与直径相等），O 与 BC 相切 于

29、点 C， O 与 AC 相交于 E 求：（ 1）CE 的长；（ 2）阴影部分的面积 考点 ： 切线的性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算 分析：（1）由等边三角形ABC 求出 O 的直径，得出半径OC 的长，在RtOCF 中求出 CF 的长得出CE 的长； （2）阴影部分的面积=扇形的面积OCE 的面积 解答：解：（ 1）连接 OC、OE，作 OF CE 于 F，作 AD BC 于 D，如图所示： O 与 BC 相切于点 C， BCO=90 ， ABC 是等边三角形， ACB=60 ，AB=BC=4 ， OCF=90 60 =30 ， BD=CD=2 ，AD=， OC=AD=， OF=OC=

30、， CF=1， OFCE， CE=2CF=2 ； （2）S扇形OCESOCE= = 点评：本题考查了等边三角形的性质、切线的性质以及扇形面积的计算方法；主要培养学生综合运用有关定理进行 推理计算的能力 第 16 页（共 17 页） 16（ 2015?吉林模拟）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点E， BF CD， BF 与弦 AD 的延长线相 交于点 F，且 AD=3 ，cosBCD= （1）求证： BF 是 O 的切线； （2）求 O 的半径； （3）求弦 CD 的长 考点 ： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形 专题 ： 证明题 分析：（1）由于直径AB 与弦 CD 互相

31、垂直， BF CD，根据平行线的性质得AB BF，于是根据切线的判定定理 得到 BF 是 O 的切线； （2） 连结 BD ， 如图，根据圆周角定理得BCD= A， 则 cosA=cos BCD=， 再由 AB 为直径得到ADB=90 ， 在 RtABD 中利用余弦的定义可计算出AB=4 ，从而得到O 的半径为2； （3）连结 OD ，如图，先在 Rt AED 中利用余弦的定义可计算出AE=，则 OE=AE OA=，再在 RtODE 中利用勾股定理计算出DE=，然后根据垂径定理得到CD=2DE= 解答：（1）证明：直径AB 与弦 CD 互相垂直， BF CD， AB BF， BF 是 O 的切

32、线； （2）解：连结BD，如图， BCD= A， cosA=cos BCD=， AB 为直径， ADB=90 ， 在 RtABD 中， cosA=， AB=4， O 的半径为2； （3）解：连结OD，如图， 在 RtAED 中， cosA=， AE= 3=， OE=AE OA=2=， 第 17 页（共 17 页） 在 RtODE 中， OD=2 ，OE=， DE=， AB CD， CE=DE ， CD=2DE= 点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知 此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了勾股定理、垂径定理和解直角三 角形