《2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题二开放探究型问题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题二开放探究型问题.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题二开放探究型问题 开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问 题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、 推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法 (1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的， 它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间； (2)解决此类问题的方法， 可以不拘形式 ， 有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能 多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等 对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充 分运用已学过的
2、数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正 确的结论 在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭 性问题 三个解题方法 (1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发， 结合图形挖掘条件，逆向追索 ，逐步探寻 ，是一种分析型思维方式它要求解题者善于从问 题的结论出发 ，逆向追索 ，多途寻因； (2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理 或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论； (3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有 多样性 ，需将已知的信息集中
3、进行分析， 探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该 有什么结论 ，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性 条件开放型问题 【例 1】已知四边形ABCD ，AB CD，要得出四边形ABCD 是平行四边形的结论， 还应具备什么条件？ 解：如图 ，当 ABCD 时 ，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD 是平行四 边形 (1)AD BC； (2)AB CD；(3)A C；(4)B D；(5)A B180, 【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定 理， 而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：两组对边分别平行；
4、一组对边平行且相等；一组对边平行，一组对角相等都能得到平行四边形的结论 1(2014巴中 )如图 ，在四边形ABCD 中 ，点 H 是 BC 的中点 ，作射线 AH ，在线段 AH 及其延长线上分别取点E，F，连结 BE，CF. (1)请你添加一个条件，使得 BEH CFH， 你添加的条件是_EH FH_，并证明 (2)在问题 (1)中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形 ，请说明理由 解：(1)答：添加：EHFH， 证明：点 H 是 BC 的中点 ， BH CH， 在 BEH 和 CFH 中， BH CH BHE CHF EHFH ， BEH CFH( SAS )
5、(2)解： BH CH，EHFH，四边形BFCE 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形 为平行四边形 )，当 BH EH 时，则 BC EF，平行四边形BFCE 为矩形 (对角线相等的 平行四边形为矩形) 结论开放型问题 【例 2】(2014 襄阳 )如图 ，A，P，B，C 是 O 上的四个点 ，APC BPC60， 过点 A 作 O 的切线交BP 的延长线于点D. (1)求证： ADP BDA ； (2)试探究线段PA，PB，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若 AD 2，PD1，求线段 BC 的长 解： (1)证明：作 O 的直径 AE， 连接 PE， AE 是 O 的直径
6、，AD 是 O 的切线 ， DAE APE 90， PAD PAE PAE E90， PAD E， PBA E， PAD PBA ， PAD PBA，ADP BDA ， ADP BDA (2)PAPBPC， 证明：在线段 PC 上截取 PFPB， 连接 BF， PFPB， BPC60， PBF 是等边三角形，PB BF，BFP60， BFC180 PFB 120， BPA APC BPC120 ， BPA BFC ，在 BPA 和 BFC 中， PAB PCB BPA BFC PBBF ， BPA BFC( AAS)，PAFC，AB BC，PA PBPF FCPC (3)解： ADP BDA
7、，AD BD DP DA AP AB ，AD 2，PD1BD 4，AB 2AP， BPBD DP3， APD 180 BPA60， APD APC ， PAD E，PCA E，PAD PCA， ADP CAP， AP CP DP AP ，AP 2CP PD， AP 2(3AP) 1，解得： AP1 13 2 或 AP 113 2 (舍去 )，BCAB 2AP113. 【点评】 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、 归纳、类比 ， 透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型 思维 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律
8、，得出结论 ，这类题主 要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力 2(2013杭州 )(1)先求解下列两题：如图，点 B， D 在射线 AM 上，点 C，E 在射 线 AN 上，且 AB BCCDDE，已知 EDM 84，求 A 的度数； 如图 ，在直角坐标系中， 点 A 在 y 轴正半轴上 ，AC x 轴，点 B，C 的横坐标都 是 3，且 BC2，点 D 在 AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y k x(x0)的图象经过点 B， D，求 k 的值 (2)解题后 ， 你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出 解：(1) AB BCCD DE， A BCA ，CBD BDC ，ECD C
9、ED， 根据三角形的外角性质，A BCA CBD ， A CDB ECD ，A CED EDM ，又 EDM 84 ， A3A84，解得 ，A21；点B 在反比 例函数 y k x图象上 ，点 B，C 的横坐标都是 3，点 B(3，k 3)， BC2，点 C(3， k 32)， AC x 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为1， D(1， k 32)， 点 D 也在反比例函数图象 上， k 32k，解得 ，k3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维 和方法 存在开放型问题 【例 3】(2014 龙东 )如图 ，在平面直角坐标系中， 正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正
10、 半轴上 ，顶点 B 在 x 轴正半轴上 ，OA ，OB 的长分别是一元二次方程x27x120 的两 个根 (OA OB) (1)求点 D 的坐标 (2)求直线 BC 的解析式 (3)在直线BC 上是否存在点P，使 PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的 坐标；若不存在， 说明理由 解： (1)x 27x120，解得 x 13，x24，OA OB， OA4，OB3，过 D 作 DEy 于点 E， 正方形ABCD ，AD AB ，DAB 90，DAE OAB 90 ， ABO OAB 90， ABO DAE ，DE AE， AED 90 AOB ， 在 DAE 和 ABO 中， ABO
11、 DAE AED AOB 90 AB AD ， DAE ABO( AAS)，DEOA 4， AEOB3，OE7，D(4，7) (2)过点 C 作 CMx 轴于点 M，同上可证得BCM ABO ，CMOB3，BM OA4，OM 7，C(7，3)，设直线 BC 的解析式为ykx b(k0，k， b 为常数 )， 代 入 B(3， 0)，C(7， 3)得， 7k b3 3k b0 ，解得 k 3 4 b 9 4 ，y 3 4x 9 4 (3)存在点P与点 B 重 合时 ，P1(3，0)，点 P 与点 B 关于点 C 对称时 ，P2(11，6) 【点评】本题是一道典型的“存在性问题 ”，主要利用了解一
12、元二次方程、正方形的 性质、 全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与 性质 ，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的 开放性 3已知一次函数y x4 和反比例函数y k x(k 0) (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ (2)设(1)中的两个交点为A，B， 试问 AOB 是锐角还是钝角？为什么？ 解： (1)解两个函数关系式构成的方程组 y x4， y k x（k 0）， 由此可求得： k90 ，是钝角 综合开放型问题 【例 4】(2012 南京 )看图说故事 请你编一个故事，使故事情
13、境中出现的一对变量x，y 满足图示的函数关系式，要求： 指出变量x 和 y 的含义； 利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及 “速度”这个量 解：该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位： min)的关系小明以400 m/ min 的速度匀速骑了5 min，在原地休息了6 min，然后以 500 m/ min 的速度匀速骑车回出发地(本题答案不唯一) 【点评】 解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合 理的数学模型 ，从而使问题得以解决综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不 明确 ，要求解题者不墨守成规，敢于
14、创新 ，积极发散思维，优化解题方案和过程 4已知两数4 和 8， 试写出第三个数，使三个数中 ， 其中一个数是其余两个数的比例 中项 ，则第三个数是4 2或 2 或 16(只需写出一个) 试题在五环图案中，分别填写五个数a，b， c，d，e，如图 ，其中 a， b，c 是三个连续偶数，abc，d，e 是两个连续奇数，d e，且满足abcde， 例 如，请你在 0 到 20 之间选择另一组符合条件的数填入图中： 错解 剖析(1)在 0 到 20 之间 ，符合条件的答案除例题外，还有两组 ，因题目要求只画一个 图， 为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接； (2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如：此题中可采用二元一次方程不定解的方 法来解答 ，设最小偶数为x，最小奇数为y，则三个连续偶数为x，x2，x4，两个连续 奇数为 y，y2.据题意 ，abc de，得 x(x2)(x4)y(y2)，3x 62y 2， 整理得 y 3 2x2，下面列表表示它的解：故符合条件的解有 x2， y 5， 或 x6， y11， 或 x10， y17. 正解