《信息论与编码》陈运部分作业详解资料.pdf

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1、第 2 章信源熵 2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍? 答：2 倍，3 倍。 2.2一副充分洗乱了的牌 (含 52 张牌)，试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？ (2) 若从中抽取13 张牌，所给出的点数都不相同, 能得到多少信 息量？解： (1) !52log 2 (2) 任取 13 张，各点数不同的概率为 13 52 !13 C ，信息量：9.4793(比 特/符号) 2.3居住某地区的女孩子有 %25 是大学生，在女大学生中有75%是身 高 160 厘米上的，而女孩子中身高160 厘米以上的占总数的一 半。假如我们得知 “ 身高 160 厘米以上的某女

2、孩是大学生” 的消 息，问获得多少信息量？ 答案： 1.415 比特/符号。 提示：设事件 A 表示女大学生，事件 C 表示 160CM 以上的女孩，则问题就是求p(A|C)， 8 3 2 1 4 3 4 1 )( )|()( )( )( )|( Cp ACpAp Cp ACp CAp 22 log(/)log 3/81.415p A C 2.4 设离散无忆信源 1234 0123 3/81/ 41/ 41/8 Xaaaa P X ， 其发出的消息 为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？ (2) 在

3、此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？ 解：(1)信源符号的自信息量为I(ai)=-log2p(ai)，故 0,1,2,3的自信息 量分别为 1.415、 2、 2、 3。 消息序列中 0，1，2，3 的数目分别为 14，13，12，6，故此消息 的自信息量为 1.415*14+2*13+2*12+3*6=87.81 比特， (2)87.81/45=1.951比特。 2.6 设信源 123456 0.20.190.180.170.160.17 Xaaaaaa P X ，求这信源的熵， 并解释为什么log6HX不满足信源熵的极值性。 提示：信源的概率之和大于1。 2.7 同时掷两个正常的骰子，

4、也就是各面呈现的概率都为1/ 6，求： (1) “3和 5 同时出现 ” 这事件的自信息量； (2) “两个 1 同时出现 ” 这事件的自信息量； (3) 两个点数的各种组合 (无序对 )的熵或平均信息量； (4) 两个点数之和 (即2,312构成的子集 )的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1 的自信息量。 解： (1) 4.17(比特 /符号 )，提示： 3 和 5 同时出现的概率为 2 6 1 6 1 =1/18 (2) 5.17(比特/符号)，提示：两个 1 同时出现的概率1/36 (3) “两个点数相同 ” 的概率:1/36,共有 6 种情况; “ 两个点数不同 ” 的概率 :1/

5、18,共有 15种情况 .故平均信息量 为: 22 61151 loglog 36361818 4.337 比特/符号 (4) 3.274(比特/符号)。提示：信源模型 234567891 01 11 2 55111111111 3618129366369121836 (5) 1.711(比特 /符号 )。提示：至少有一个1 出现的概率为 36 11 6 1 6 1 6 1 6 1 2.8 证明 12n HX XX 12n HXHXHX 提示： 由教材式 (2.1.26)和(2.1.28)可证 证明： 1212 123 1221 1221 ()()(),()( ) ()()( ) ()() (

6、)()() ()()()() ()()()()() nn n nnn nnn H XYH XH Y XH Y XH Y H XYH XH Y HX XXH XH XX H XH XH XX H XH XH XH XX H XH XH XH XH X 2.4证明 312 HXX X 31 HXX，并说明等式成立的条件。 提示：见教材第38 页 2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态， 气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状

7、态获得的关于忙闲的信息。 解：设 X、Y、Z 分别表示 忙 闲、晴 雨 和冷 暖， (1) 先 求 忙 闲的 概 率 分 布 103 40 103 63 )( 闲忙 XP X ， 无 条件 熵 22 63634040 ()loglog 103103103103 H X=0.9637(比特/符号) (2) () XYZ P XYZ 忙晴冷忙晴暖忙雨冷忙雨暖闲晴冷闲晴暖闲雨冷闲雨暖 1282716815512 103103103103103103103103 H(XYZ)=2.8357 20232832 () 103103 103103 YZ P YZ 晴冷晴暖雨暖雨冷 ，H(YZ)=1.9769

8、 ()H X YZH(XYZ)- H(YZ)=0.8588(比特/符号) (3) I(X;YZ)=H(X)-H(X/YZ)=0.1049 比特/符号 2.11 有两个二元随机变量XY和，它们的联合概率为 X Y 0 1 0 1 1/8 3/8 3/8 1/8 并定义另一随机变量 XYZ (一般乘积 )。试计算： (1) (),( ),(),(),()()H XH YH ZH XZH YZH XYZ和； (2) (),(),(),(),(),(),(),H X YH Y XH X ZH Z XH Y ZH Z YH X YZ H Y XZ和HZ XY； (3) ;,;,;,;,;IX YI X

9、ZI Y ZIX Y ZI Y Z XIX Z Y和。 解： (1) XY 的概率分布为 00011011 ()1/83/83/81/8 XY P XY 2222 11333311 ()loglogloglog1.8113 88888888 H XY 比特/符号 X 的概率分布 01 ()1/ 21/ 2 X P X ， 22 1111 ()loglog1 2222 HX比特/符号 X 的概率分布 01 ( )1/ 21/ 2 Y P Y ， H(Y)=1 比特/符号 Z=XY 的概率分布 8 1 8 7 10 )(ZP Z ， 22 7711 ()loglog0.5436 8888 H Z比

10、特/符号 XZ 的联合概率分布 8/18/302/1 11100100 )(XZP XZ ， H(XZ)=1.4056 比特/符号 YZ 的联合概率分布 8/18/302/1 11100100 )(YZP YZ ， H(YZ)=1.4056 比特/符号 XYZ的联合概率分布 8/1008/308/308/1 111110101100011010001000 )(XYZP XYZ ， H(XYZ)=1.8113 比特/符号 (2) H(X/Y)=H(XY)-H(Y)=1,8113-1=0.8113比特/符号； H(Y/X)=H(XY)-H(X)=1.8113-1=0.8113比特/符号 H(X/

11、Z)=H(XZ)-H(Z)=1.4056-0.5436=0.862 比特/符号； H(Z/X)=H(XZ)-H(X)=1.4056-1=0.4056比特/符号； H(Y/Z)=H(YZ)-H(Z)=1.4056-0.5436=0.862 比特/符号； H(Z/Y)=H(YZ)-H(Y)=1.4056-1=0.4056比特/符号； H(X/YZ)=H(XYZ)-H(YZ)=1.8113-1.4056=0.4057比特/符号； H(Y/XZ)=H(XYZ)-H(XZ)= 1.8113-1.4056=0.4057比特/符号； H(Z/XY)= H(XYZ)-H(XY)=1,8113-1.8113=0

12、比特/符号； (3) I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)=1-0.8113=0.1887比特/符号； or I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)=1+1-1.8113=0.1887比特/符号； I(X;Z)= H(X)-H(X/Z)=1-0.862=0.138比特/符号； or I(X;Z)=H(X)+H(Z)-H(XZ)=1+0.5436-1.4056=0.138比特/符号； I(Y;Z)= H(Y)-H(Y/Z)= 0.138比特/符号； or I(Y;Z)=H(Y)+H(Z)-H(YZ)= 1+0.5436-1.4056=0.138比特/符号； I(X;Y/Z)=H(X/Z)-

13、H(X/YZ)=0.4563比特/符号； I(Y;Z/X)=H(Y/X)-H(Y/XZ)=0.4056比特/符号； I(X;Z/Y)=H(Z/Y)-H(Z/XY)=0.4056比特/符号； 2.13 设有一个信源， 它产生0,1序列的信息。 它在任意时间而且不论 以前发生过什么符号，均按00.4,10.6pp的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算 2 312 ,lim N H XHXX XHX及； (3) 试计算 4 H X并写出 4 X信源中可能有的所有符号。 解：(1) 是平稳信源 (2) 信源熵 H(X)=-0.4log20.4-0.6log20.6=0.9

14、71 比特/信源符号， 2 ()2()1.942H XH X比特/信源符号，由题设知道这个信源 是无记忆信源，因此条件熵和极限熵都等于信源熵。 (3)884.3971.04)( 4 XH比特/信源符号， 4 X信源中可能的符号共16 个。 2.14 设 12 , N XXXX是 平 稳 离 散 有 记 忆 信 源 ， 试 证 明 ： 12N H X XX 1 ()H X 21321121NN HXXH XX XH XX XX。 提示：见教材第 44 页 证明：因为()()()H XYH XH Y X，故 12121121 1221122121 121122121 1211122121 ()()

15、 ()()() ()()() ()()()() NNNN NNNNN NNNN NNNN HX XXH X XXH XX XX H X XXHXX XXH XX XX H X XH XX XXHXX XX H XHXXH XX XXH XX XX 2.16 一阶马尔可夫信源的状态图如题2.16图所示。信源 X 的符号集 为0,1,2。 (1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H。 题 2.16 图 解：(1)由图得一阶马尔可夫信源的状态为s1=0，s2=1，s3=2。 对应的一步转移概率矩阵为 pp pp pp P 0 0 0 ， 由各态历经定理，有 3 1 ()()() jiji

16、 i p sp s p ss，即 113212323 ( )( )(),()( )(),()()()p sp s pp spp sp s pp spp sp spp sp 解方程组得状态极限概率满足 123 ()()()p sp sp s， 又由 123 ()()()1p sp sp s得(0)(1)(2)1/ 3ppp (2) 33 1 1222 11 ( ) ()log()(loglog)/ ijiji ij HHp s p ssp sspppp bit symbol 2.17 黑 白 气 象 传 真 图的 消 息 只 有黑 色 和 白 色 两 种 ， 即 信 源 X黑，白。设黑色出现的概

17、率为p(黑)=0.3，白色的出现概率 p(白)=0.7。 (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵HX； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为p(白/白)=0.9，p(黑/ 白)=0.1，p(白/黑)=0.2，p(黑/黑)=0.8，求此一阶马尔可夫 信源的熵 2( )HX； (3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较 2( )HXHX和的大小， 并说明其物理意义。 解：(1) 22 ()0.3log 0.30.7log 0.70.8813H X比特/信源符号 ; (2) 由各态历经定理，有 2 1 ()() () jiji i p sp s p ss，即 p(白)= p(白)p(白/白

18、)+ p(黑) p(白/黑)=0.9 p(白)+0.2 p(黑) p(黑)= p(白)p(黑/白)+ p(黑) p(黑/黑)= 0.1 p(白)+0.8 p(黑) 解方程组得： p(白)=2 p(黑)，又由于 p(白)+p(黑)=1， 所以p(白)=2/3， p(黑)=1/3 22 22 11 ()( ) ()log() ijiji ji HXp s p ssp ss=0.5533比特/符号; (3) H0(X)=log22=1，无关联信源剩余度为1-0.8813/1=11.87%， 一阶马尔可夫信源剩余度为1-0.5533/1=44.67% 这说明马尔可夫信源比无相关信源的冗余度大，编码时可

19、以获得更 高的压缩比。 第 3 章信道容量 3.1设信源 12 0.60.4() Xaa P X 通过一干扰信道， 接收符号为 12 ,Yb b， 信道传递矩阵为 51 66 31 44 ，求 (1) 信源 X 中事件12 aa和分别含有的自信息量。 (2) 收到消息1,2jbj后，获得的关于 1,2 i ai的信息量。 (3) 信源 X 和信宿 Y的信息熵。 (4) 信道疑义度H X Y和噪声熵H Y X。 (5) 接收到信息 Y后获得的平均互信息量。 解：(1) 1 ()0.737I a(比特/符号)， 2 ()1.322I a比特/符号， (2) 1212 51 3 2 66 (),()

20、(),(), 35 51 44 p bp bp ap a， 5 6 112 35 (;)log0.4739I a b(比特/符号), 1 6 122 2 5 (;)log1.263I a b(比特/符号), 14 212 35 (;)log1.263I ab(比特/符号), 3 4 222 2 5 (;)log0.9069I a b(比特/符号) (3) 0.971(比特/符号)，0.971(比特/符号)， (4) 0 . 50 . 1 () 0.10.3 P XY ()1.6856H XY(比特/符号)， ()()()0.7146H Y XH XYH X， (/)()()0.7146H XY

21、H XYH Y (5) I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X)=0.2564 比特/符号 3.2 设二元对称信道的传递矩阵为 21 33 12 33 (1) 若 (0)3 4,(1)1 4,(),(; )PPH XH X YH Y XI X Y求和 ； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。 解：(1) H(X)=H(3/4, 1/4)=0.8113比特/符号， 1212 21 75 33 (),()(),(), 1212 12 33 p bp bp ap a H(Y)= H(7/12, 5/12)=0.9799比特/符号, 11 24 () 11 126 P XY, H(

22、XY)=1.7296 比特/符号, H(X/Y)=H(XY)-H(Y)=0.7497比特/符号， H(Y/X)= 0.9183比特/符号， I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X)=0.0616 比特/符号， (2)C= 1-H(p)= 22 2211 1(loglog) 3333 =0.0817比特/符号， p(0)=p(1)=1/2 3.6 有一个二元对称信道，其信道矩阵为 0.980.02 0.020.98 。设该信源以 1500bit s的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000 个二 元符号，并设 1 01 2 pp，问从信息传输的角度来考虑， 10 秒 钟内能否将这消息序列无失真

23、地传递完？ 解：信道容量 C=1+0.98log20.98+0.02log20.02=0.8586比特/信道符号， 则每秒钟可传送的信息量为1500 0.8586=1287.9比特，10 秒钟最大 可传送的信息量为12879比特，而待传送的信息量为14000比特，因 此，10 秒钟内不能无失真的传送完毕。 3.7 求下列各离散信道的容量 (3) (4) X Y 0 1 (3) 按一般离散信道容量的计算步骤进行 1 11 22 1.37740.6226 2 12 111 22 1/ 21/ 211.3774 1/ 43/ 40.81130.6226 log (22)0.0488 ( )20.37

24、21,()0.6279 ()( )()1/ 21/ 4 ()()1/ 23/ 4 C C p bp b p ap bp a p ap bp 2 0.4884 ()0.5116a （4）信道为准对称离散信道， 当输入端取等概率， 即 p(a1)=p(a2)=1/2 时，达到信道容量，此时信宿端的概率为 1/ 31/ 31/ 61/ 61/ 2 1/ 41/ 31/ 61/ 4 1/ 61/ 31/ 61/ 31/ 2 T T ，则 H(Y)=H(1/4,1/3,1/6,1/4)=1.9591，故信道容量为 C= H(Y)-H(Y/X)=H(Y)-H(1/3,1/3,1/6,1/6) =1.959

25、1-1.9183=0.0408。 3.8 已知一个高斯信道， 输入信噪比 (比率)为 3。频带为 3kHz，求最 大可能传送的信息率。若信噪比提高到15，理论上传送同样的 信息率所需的频带为多少？ 提示：由式(3.5.13)可得。 (1) 最大可能传送的信息率是 3 2 3 2 106)31 (log103)1(log N X t P P wC比特/秒 (2) 3 2 6 10 log (1 15)w=1.5kHZ 3.11 已知离散信源 1234 ()0.1 0.3 0.2 0.4 aaaaX P X ，某信道的信道矩阵为 0 1/2 1/2 1 1/4 3/4 X Y 0 1 2 3 0

26、1/3 1/3 1/6 1/6 1 1/6 1/3 1/6 1/3 1234 1 2 3 4 0.20.30.10.4 0.60.20.10.1 0.50.20.10.2 0.10.30.40.2 bbbb a a a a 试求： (1) “输入3a，输出2 b ” 的概率； (2) “输出4 b” 的概率； (3) “收到 3 b的条件下推测输入 2a” 的概率。 解：(1) 32323 ()() ()0.04p a bp ap ba； (2) 4 44 1 ()() () ii i p bp ap ba=0.19； (3) 232 323 3 () () ()0.22,()0.1364 (

27、) p ap b a p bp ab p b 3.14 试求以下各信道矩阵代表的信道的容量： (1) 1234 1 2 1 3 4 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 bbbb a a P a a (2) 123 1 2 3 2 4 5 6 1 0 0 1 00 0 10 0 10 0 01 0 01 bbb a a a P a a a (3) 35678910124 1 32 3 0.10.20.30.4000000 00000.30.70000 0000000.40.20.10.3 bbbbbbbbbb a Pa a 解：一一对应的无噪无损信道，信道容量log2

28、4=2 比特 /信道符号， 归并性能的有损无噪信道，信道容量log23=1.585比特/信道符号， 扩展性能的有噪无损信道，信道容量log23=1.585比特/信道符号 3.18 设加性高斯白噪声信道中，信道带宽3kHz，又设( 信号功率 + 噪声功率 )/ 噪声功率 =10dB。试计算该信道的最大信息传输速率 t C。 提示：x的 dB 数: 10 10logx。 解: 由题意 , 110 X N P P , 故 33 22 log (1)3 10log 109.96 10 (/ ) X t N P Cwbit s P 第 4 章信息率失真函数 4.1 一 个 四 元 对 称 信 源 X P

29、 X 0123 1/ 41/ 41/ 41/ 4 ， 接 收 符 号 0,1,2,3Y ，其失真矩阵为 0111 1011 1101 1110 D 求 maxmin DDR D和及信源的 函 数，并画出其曲线 (取 4 至 5 个点)。 解： m i nm a x 3 0 ,()l n 4l n( 1) l n ( 1)/ 43 D DDR DDDD 奈特符号 ， 可作图）中令（在, 4 3 , 2 1 , 3 1 , 4 1 ,0DDR 。 4.2 若某无记忆信源 101 1/31/31/3 X P X ，接收符号 1 1 , 2 2 Y，其 失真矩阵为 12 11 21 D求信源的最大失真

30、度和最小平均失真度，并求 选择何种信道可达到该 maxmin DD和的失真度。 解：（1）令() (,) jiij i Dp a d a b，则 D1=D2=4/3，故 max 4 min 3 j j DD 当 p(bj/ai)=p(bj)时，有 H(Y/X)=H(Y)，即 I(X;Y)=0，此时平均 失真达到 Dmax，故实验信道矩阵满足 11 12 22 (/)() ( )()1 (/)() i i p bap b p bp b p bap b 即 1 101 1 aa aaa aa （2） min 111 ()min(,)1111 333 iij j i Dp ad a b 11 122

31、2 23 (/)1 (/)(/)1 (/)1 p ba p bap ba p ba 对应的试验信道不是唯一的，但满足 即 10 101 01 aaa 4.10 设离散无记忆信源 123 ()1/ 3 1/ 3 1/ 3 aaaX P X 其失真度为汉明失 真度。 (1) 求 minmin ,DRD ，并写出相应试验信道的信道矩阵； (2) 求 maxmax, DRD ，并写出相应试验信道的信道矩阵； (3) 若允许平均失真度 3/1D ，试问信源的每一个信源符号平均 最少由几个二进制码符号表示？ 解：(1)失真矩阵为 011 101 110 ， min 111 ()min(,)0000 333

32、 iij j i Dp ad a b min ()(0)()1.585/R DRH X比特 符号； 相应的试验信道矩阵为 100 010 001 (2) m a xm a x 2222 m i nm i n,()0 3333 j jj DDR D 当 p(bj/ai)=p(bj)时，有 H(Y/X)=H(Y)，即 I(X;Y)=0，此时平均 失真达到 Dmax，故实验信道矩阵满足 11 22 33 123 (/)() (/)() (/)() ()()()1 i i i p bap b p bap b p bap b p bp bp b 即 1 10, ,1 1 abab ababa b ab

33、abab (3) 符号奈特 /)1ln()1( 2 ln3ln)(DD D DDR，计算得 11 ()/ 33 R比特符号， 因此每个信源符号最少要用0.333个二进制码表示。 第 5 章信源编码 5.8 选择帧长N=63 (1) 对001000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000编 DL 码； 解：(1) Q值：2；Q的长度：6) 163(log2，Q的编码： 000010, 信息位34,3 21 nn，故530 2 134 1 13 T； T的长度：11 2 63 log2，T的编码： 01000010010 D

34、L码：00001001000010010 解码：因为N=63，故Q的长度为6)163(log 2 ，取 LD 码前 6 位 000010，得 Q=2；再取后面的所有位001000010010，得 T=530。 因为 3334 22 T，所以 n2=34，再令 33 2 TT，则 T=2；又因 为 23 11 T，所以 n1=3。所以该冗余位序列长为63，有 2 个信 息位，分别在第3 和 34 位。 5.12 采用 13 折线 A 律非均匀量化编码，设最小量化间隔为，已 知某采样时刻的信号值635x。 (1) 试求该非均匀量化编码c，并求其量化噪声e； (2) 试求对应于该非均匀量化编码的12

35、位均匀量化编码c。 解：(1) 由于 0x，极性码1 7 c； 取第 1 段与第 8 段的中位第5 段进行比较， 由于128635x， 所以1 6 c； 取第 5 段与第 8 段的中位第7 段进行比较， 由于512635x， 所以1 5 c； 取第 7段与第 8 段的中位第8段进行比较， 由于1024635x， 所以0 4 c， 段落码110 456 ccc； 第 7 段的起始量化值为512，量化间隔为32；与段内码最高位权值比较， 由于24016256123512635512x，所以0 3 c； 与段内码次高位权值比较，由于 11216128123512x，所以1 2 c； 与段内码次高位和

36、第三位权值之和比较，由于 1761664128123512x，所以0 1 c； 与段内码次高位和最低位权值之和比较，由于 1441632128123512x，所以00c， 段内码0100 0123 cccc； 因此，非均匀量化编码11100100 01234567 ccccccccc； 量化噪声640635516 q exx； 以上为计算机中的编码过程。 手工计算，可简化为如下过程： 6350，故极性码为 1。 因为 24+5=5126351024=24+6，所以 635在 第 7 个段落，段落码为110； 由(1024-512)/16=32，所以该段落内每个量化间隔为32， 635-512=

37、123最接近 32的 4 倍，所以段内码为0100。 故 13 折线 A 律非均匀量化编码为c=11100100。 量化噪声 640635516 q exx； (2) 12 位均匀量化编码 11 10987654321 0 101001111011cc c c c c c c c c c c c。 5.15 将正弦信号)400sin(25.0)(ttx输入采样频率为4kHz采样保持器 后通过增量调制器，设该调制器的初始量化0 0q d，量化增量 125.0。试求在半个周期内信号值9, 1 , 0),1.0sin(25.0iixi 的增量调制编码 i c和量化值9 , 1 , 0,ixi。 解：

38、采样频率是正弦信号频率的20 倍，半个周期内有10 个采样 点，采样值、增量调制编码及量化值如下表所示： i)1 .0(sin25.0ixi预测值 i x 量化 qi d增量调制编码 i c量化值 i x 0 0 0 -0.125 0 -0.125 1 0.0773 -0.125 0.125 1 0 2 0.1469 0 0.125 1 0.125 3 0.2023 0.125 0.125 1 0.25 4 0.2378 0.25 -0.125 0 0.125 5 0.25 0.125 0.125 1 0.25 6 0.2378 0.25 -0.125 0 0.125 7 0.2023 0.1

39、25 0.125 1 0.25 8 0.1469 0.25 -0.125 0 0.125 9 0.0773 0.125 -0.125 0 0 5.16 将正弦信号)400sin(25.0)(ttx输入采样频率为 4kHz采样保持器 后通过差分脉冲编码调制器， 设该调制器的初始值0 0q d，0 0 x， 采用码长为 4 的均匀量化编码，量化间隔 03125.0。试求在半 个周期内信号值9, 1 ,0),1 .0sin(25. 0iixi的差分脉冲编码 i c和 量化值9, 1 ,0,ixi。 解：采样频率是正弦信号频率的20 倍，半个周期内有10 个采样点， 采样值、差分调制编码及量化值如下表

40、所示： i )1.0(sin25.0ixi 预测值 i x 量化 qi d差分调制编码 i c量化值 i x 0 0 0 0 1000 0 1 0.0773 0 0.0625 1010 0.0625 2 0.1469 0.0625 0.0938 1011 0.1563 3 0.2023 0.1563 0.0313 1001 0.1876 4 0.2378 0.1876 0.0625 1010 0.2501 5 0.25 0.2501 -0 0000 0.2501 6 0.2378 0.2501 -0 0000 0.2501 7 0.2023 0.2501 -0.0625 0010 0.1876

41、 8 0.1469 0.1876 -0.0313 0001 0.1563 9 0.0773 0.1563 -0.0938 0011 0.0625 第 6 章信道编码 6.2 一个)2 ,6(线性分组码的一致校验矩阵为 01110 10100 11000 10001 4 3 2 1 h h h h H (1)求4, 3 ,2, 1,ihi使该码的最小码距 3 min d。 (2)求该码的系统码生成矩阵 s G及其所有 4 个码字。 解题提示： (1)要使最小码距大于等于3，只需使 H 的任意 2 列线性无关（见 P177定理） ，则只需第 1 列与其余各列均不相同。由上述关系可以求 得一组或多组

42、关于4, 3, 2, 1,ihi的解。如： h1=0, h2=1, h3=0, h4=0 (2)对 H 作行初等变换得 423 31 21 1 01000 10100 10010 10001 T k rr hhh hh HQI hh h 则由 G=Ik, Q即可得到系统码的生成矩阵， 设 h1=0, h2=1, h3=0, h4=0，则 Gs= 101010 010111 所有 4 个码字为 000000， 101010， 010111 ， 111101 6.3 一个纠错码消息与码字的对应关系如下： (00)(00000)，(01)(00111)，(10)(11110) ，(11)(11001

43、) (1)证明该码是线性分组码 (2)求该码的码长，编码效率和最小码距。 (3)求该码的生成矩阵和一致校验矩阵。 解：(1)任意两个码字的和是另一个码字且全零向量为码字。 (2)码长为向量长， 即5n。码字数为 4，故 2 log lo g 42 55 qM R n 。 最小码距即最小非零码字的重量为min3wd。 (3)在码字中取 10对应的码字和 01对应的码字即可组成生成矩 阵 G= 11110 00111 。 因为 G 与 H 正交， 即 GHT=0， 解得 H 的一种可能情况等于 11110 11000 01101 。 或：对生成矩阵做初等行变换，得 11110 11001 G，可表

44、示为 Q, I2， 则相应的一致校验矩阵H 可取为I3, QT，即 10011 01011 00110 H。 6.9 已知(8,5)线性分组码的生成矩阵为 11110000 10001000 01000100 00100010 11100001 G， (1)证明该码为循环码； (2)求该码的生成多项式)(xg，一致校验多项式)(xh和最小码距d。 解题提示： (1)生成矩阵作初等行变换：第5 行加到第 4 行，第 4 行加到第 3 行，第 3 行加到第 2 行，第 2 行和第 5 行加到第 1 行。得 5 8 11110000 01111000 00111100 00011110 00001111 (2)生成多项式为 23 ( )1g xxxx，一致校验多项式为 82345 ( )(1) (1)1h xxxxxxxx， 一致校验矩阵为 11001100 01100110 00110011 该矩阵的任意 1 列线性无关， 但存在某 2 列线性相关， 故最小码距为 2。