《北师大版数学必修四：《平面向量的概念与表示》导学案(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修四：《平面向量的概念与表示》导学案(含解析).pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 1课时平面向量的概念与表示 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和向量的几何表示. 3.理解相等向量的含义及向量的一些概念. 4.理解零向量的特点. 一只帆船刚开始在风平浪静的海上行驶, 但突遇 “热带风暴 ”, 使得它的航向发生了偏移, 没有按照规 定的航向行驶 , 虽然行驶了相同的路程但没有到达目的地.为什么 ? 问题 1: 向量的概念、向量与数量、向量与有向线段的区别: 在数学中 , 把既有大小又有方向的量叫作.如: 等. 数量与向量的区别: 只有大小没有方向, 是一个代数量 , 比较大小、进行运算 ; 有方向、大小的双重性, 比较大小 , 向量的大小是一个数量( 正数或
2、 0), 可以比较大小 . 向量与有向线段的区别: 有向线段是具有的线段 , 有向线段 AB 记作: , 起点一定写 在终点的前面 ; 的长度也叫作的长度 ; 有向线段的三要 素: 、; 向量只有和方向两个要素 , 与无关 ; 向量可以用有向线段来表示. 问题 2: 向量的表示方法: 几何表示法 : 用表示 , 即用表示向量的有向线段的来表示 , 如图 , 以A为起 点,B为终点的向量表示为向量; 字母表示法 : 向量可以用小写字母来表示 , 书写时用,等表示 ( 印刷时用黑体字 a、b、c表示 ), 如图 , 向量可表示为 a. 问题 3: 向量的有关概念: ( 1) 向量的模 :向量的大小
3、 , 也就是向量的长度 ( 或称模 ), 记作, 向量不能比较大小,但 向量的可以比较大小. ( 2) 零向量与单位向量:长度为零的向量叫作零向量, 记作 0. ( 3) 长度等于的向量叫作单位向量 . ( 4) 平行向量 :方向的两个非零向量叫作平行向量( 也称共线向量 );规定向量 0 与 任一向量平行 . ( 5) 相等向量与相反向量:的两个向量是相等向量;的两个向量互为 相反向量. 问题 4: 平行向量 ( 共线向量 ) 与平行线段、共线线段的区别: 平行向量 ( 共线向量 ) 不是几何图形 , 没有几何位置关系, 表示两个非零平行向量的有向线段可 以, 也可以在; 平行线段和共线线段
4、是几何图形, 有位置关系 , 两条平行线段所在的 直线一定, 不会共线 , 反过来 ,两条共线线段一定在, 不会平行. 1.给出下列物理量 :质量 ;速度 ;力;位移 ;路程 ;密度;功. 其中是向量的有 (). A.2 个B.3个C.4 个D.5 个 2.已知a,b为两个单位向量 , 下列结论正确的是(). A.a=b B.a=b或a=-b C.若ab, 则a=bD.|a|=|b| 3.下列命题中 , 正确的序号是. 平行向量的方向相同;不相等的向量一定不平行;零向量只能与零向量相等;若两个向量在同一条 直线上 , 则这两个向量一定共线;两个非零向量相等, 当且仅当它们的模相等且方向相同;单
5、位向量都相 等. 4.一辆货车从A点出发向东行驶了150 km到达B点, 然后又改变方向向北偏东30走了 300 km到达C点, 最后又改变方向 , 向西行驶了150 km到达D点. ( 1) 作出向量,; ( 2) 求| |. 与向量相关的概念 关于向量有下列说法: 方向相同或相反的非零向量是平行向量; 长度相等且方向相同的向量叫相等的向量; 有公共起点的向量叫共线向量; 零向量与任一向量共线; 若|a|=|b|, 则a=b或a=-b. 其中正确说法的序号是. 相等向量与共线向量 如图 , 四边形ABCD是正方形 , BCE为等腰直角三角形. ( 1) 找出图中与共线的向量 ; ( 2) 找
6、出图中与相等的向量 ; ( 3) 找出图中与|相等的向量 ; ( 4) 找出图中与相等的向量 . 向量概念的实际应用 已知飞机从甲地向北偏东30 的方向飞行2000 km到达乙地 , 再从乙地向南偏东30的方向飞行2000 km 到达丙地 , 再从丙地向西南方向飞行1000km 到达丁地 , 问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远 ? 下列说法中正确的是. 若|a|b|, 则ab; 共线向量一定相等; 起点不同 , 但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; 若|a|=0, 则a=0; 与非零向量a共线的单位向量是. 如图 , 四边形 ABCD中,= ,N、M分别是 AD、BC上的点 , 且=.
7、求证 :=. 已知两个力F1,F2的方向互相垂直 , 且它们的合力F的大小为 10 N, 其与力F1的夹角是 60, 求力F1,F2 的大小. 1.设O为等边三角形 ABC的中心 , 则向量 ,是(). A.有相同起点的向量B.平行向量 C.模相等的向量D.相等的向量 2.下列各命题中 , 正确的是 (). A.若|a|=|b|, 则a=bB.若|a|=|b|,|b|=|c|, 则a=c C.若|a|=|b|, 则ab或a-bD.若a=b,b=c, 则a=c 3.下列说法正确的是. 相等的向量 , 若起点不同 , 则终点一定不同 与非零向量共线的单位向量有两个 不相等的向量一定不平行 4.如图
8、 , 设O是正六边形ABCDEF的中心. ( 1) 模与的模相等的向量有多少个? ( 2) 是否存在与长度相等、方向相反的向量? ( 3) 请写出与共线的向量有哪些? ( 2013年四川卷 )如图 , 在平行四边形 ABCD中, 对角线AC与BD交于点O,+= , 则 =. 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第二章平 面 向 量 第 1 课时平面向量的概念与表示 知识体系梳理 问题 1:向量力、速度、加速度、位移 数量 能代数向量不能 方向 线段 AB 有向线段起点方向长度大小起点 问题 2:有向线段起点与终点字母 问题 3: ( 1)|模( 3) 1个单位( 4) 相同或相反( 5) 大小
9、相同 , 方向相同大小相同 , 方向相反 问题 4: 平行同一条直线上平行同一条直线上 基础学习交流 1.B判断一个量是不是向量, 就是看它是否同时具备向量的两个要素: 大小和方向.由于速度、 位移、力都是 由大小和方向确定的, 所以是向量 ; 而质量、路程、密度、功有大小而没有方向, 所以不是向量. 2.D单位向量的模为1, 但方向不确定. 3. 根据平行向量的定义, 它们的方向可以相反, 故不正确 ; 由于模不相等的向量, 它们也可以共线, 故不正确 ; 由于零向量只能与零向量相等, 故正确 ; 由共线向量的定义知, 当两个向量在同一条直线上时, 这两个向量不论方向如何, 它们一定共线 ,
10、 故正确 , 但是应注意当两个向量共线时, 它们却不一定在同一条 直线上 ; 由两向量相等的定义知,正确 ; 虽然单位向量的模都相等, 但它们的方向可以不相同, 因此不正 确. 4.解:( 1),如图. ( 2) 由图可知和方向相反 , 故与共线. 又|=|=150 km, 所以ABCD, 所以四边形 ABCD是平行四边形 , 故| |=|=300 km. 重点难点探究 探究一 : 【解析】 共线向量或平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量, 所以正确 ,不正确 ; 长 度相等且方向相同的向量叫相等的向量, 故正确 ; 规定零向量与任一向量平行,故正确 ;混淆了两个向 量的模相等和两个实数相
11、等的概念, 两个向量的模相等, 只能说明它们的长度相等, 并不意味着它们的方向 相同或相反 . 【答案】 【小结】对于涉及向量及相关概念的说法往往要抓住这些概念的实质,从概念去分析判断,并注意它们的 区别.规定 :零向量与零向量相等,零向量与任何向量共线. 探究二 : 【解析】 ( 1) 与共线的向量有、. ( 2) 与相等的向量有、; ( 3) 与|相等的向量有、. ( 4) 与相等的向量是 . 【小结】 非零向量共线或平行,有四种情形 :(1)两个向量方向相同且模相等;(2)两个向量方向相反且模相 等;(3)两个向量方向相同且模不相等;(4)两个向量方向相反且模不相等.注意向量共线与相等的
12、区别. 探究三 : 【解析】 如图 ,A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地, 依题意知 , 三角形ABC为正三 角形 , AC=2000 km. 又ACD=45,CD=1000, ACD为直角三角形 , 即AD=1000km, CAD=45. 所以丁地在甲地的东南方向, 距甲地 1000km. 【小结】 解决实际问题的关键是建立数学模型,将实际问题 “数学化 ”. 思维拓展应用 应用一 :由于向量是既有大小又有方向的量, 两个向量不能比较大小, 故不正确 ; 由于共线向量方 向相同或相反 ( 模不一定相等 ), 故不正确 ; 由于向量与起点位置无关, 故正确 ; 忽略了 0 与 0 的
13、区别 , 由 |a|=0, 知a是零向量 , 即a=0, 但a0, 故不正确 ; 因为与任一非零向量, 共线的单位向量有两个, 一个与a 方向相同 , 一个与a方向相反 , 所以不正确. 应用二 :=,|=|,且ABCD. 四边形ABCD是平行四边形. |=|, 且DACB. 又与的方向相同 , =. 同理可证 , 四边形CNAM是平行四边形 ,=. |=|,|=|, |=|, 且DNMB. 又与的方向相同 , =. 应用三 : 设表示力F1,表示力F2, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB, 则表示合力F, 因为F1 与F2垂直, 所以平行四边形OACB是矩形 , 所以|=|cos 60
14、 =5,|=|sin 60 =5, 因此 , 力F1和F2的大小分别为5 N 和 5N. 基础智能检测 1.C由正三角形的性质可知,的长度相等. 2.D向量是既有大小又有方向的量, 大小相等 , 但方向却不一定相同, 故 A、B 不正确 ; 向量不能比较大小, 故 C 不正确 ; 向量相等可以传递. 3. 认为错误是考虑到零向量, 对于零向量 , 虽然起点和终点重合, 但当起点不同时, 终点也是不同的; 认为错误是误以为与非零向量 a共线的单位向量只有 , 而把与方向相反的向量漏掉了,两个向量只要 方向相同或相反就是平行向量, 故不正确. 4.解:( 1) 因为在正六边形中, 各条边长与中心O到各顶点的距离都相等, 所以模与的模相等的向量有23 个. ( 2) 存在 ,如、等. ( 3) 与共线的向量有、和、. 全新视角拓展 2+=2,=2. 思维导图构建 大小方向长度为零同向单位 1平行或重合