《北师大版数学必修四：《平面向量的基本定理》导学案(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学必修四：《平面向量的基本定理》导学案(含解析).pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 4 课时平面向量的基本定理 1.掌握平面向量的基本定理及其意义, 理解基底的含义, 会运用基底表示任意向量. 2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题. 3.通过对平面向量基本定理的运用, 增强学生向量的应用意识, 让学生进一步体会向量是处理几何问题 强有力的工具之一 . 北京时间 2007年 10月 24日 18时 05 分左右 , 嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火 箭成功发射 .卫星发射后 , 将有 8 天至 9 天时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段飞行.经过 8 次变轨后 , 于 11月 7 日正式进入工作轨道 .11月 18 日卫星转为对月定向姿态
2、, 11月 20 日开始传回探测数据 . 假设火箭在飞行过程沿仰角为的方向起飞时的速度大小为v, 在某一时刻速度可以分解成竖直向上和 水平方向的两个速度. 问题 1: 向量共线定理 : 向量b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个 ,使 . 问题 2: 如图 , 已知向量 e1、e2是平面内的两个不共线的向量 ,a是平面内任一向量, 在平面内任取一点 O, 作=e1,=e2,=a, 过点C分别作平行于OB,OA的直线 , 交直线OA于点M,交直线OB于点N, 则 实数 1,2, 使得 = 1e1, = 2e2.因为 =+, 所以a=. 问题 3: 平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平
3、面内的两个向量 , 那么对于这一平面内的任一向量 a, 存在 一对实 数 1,2, 使得 a= 1e1+2e2. 问题 4: 平面向量的基底 ( 1) 只有不共线的两个向量 e1,e2才能当基底 , 在同一个向量平面内的基底 , 有无穷多组 , 即可选 择不同的基底来表示这个向量在平面内的同一向量 . ( 2) 选定基底后 , 这个平面内的任何向量都可以用这组基底来表示, 并且a= 1e1+2e2中的实数对 (1,2) 是确定的. ( 3) 若向量e1,e 2不共线 , 且a=1e1+2e2,b=1e1+2e2, 如果 a=b, 那么 ( 4)e1,e2是一组基底 , 若 1e1+2e2=0,
4、 则=. 1.设e1,e2是平面向量的一组基底 , 则下列四组向量中, 不能作为基底的是(). A.e1+e2和e1-e2B.3e1-2e2和 4e2-6e1 C.e1+2e2和e2+2e1D.e 2和 e 1+e2 2.如图所示 ,D是ABC的边AB上的中点 , 则向量等于 (). A.-+ B.- C.- D.+ 3.如图 , 已知M、N分别是矩形ABCD的边BC、CD的三等分点 ,MN与AC相交于点G, 若=a,=b, 则 =. 4.如图 , ?ABCD的两条对角线交于点M, 且=a,=b, 用a,b表示,和. 平面向量的几何表示 如图 , 设BO是ABC中AC边上的中线 , =a,=b
5、, 试用a、b表示 、 . 向量共线的性质定理的应用 已知 OAB, 若 =x+y , 且点 P在直线AB上,则x,y应满足什么条件 ? 平面向量基本定理的综合应用 已知A、B、C三点共线 ,且 = ,用表示 . 如图 , 已知梯形ABCD中,ABCD, 且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点 , 设=a,=b, 试以a、 b为基底表示、. 如图 , 在ABC中,=,P是BN上的一点 , 若=m+, 求实数m的值. 已知向量 a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3, 问:a能否表示成a= b+ c的形式 ?若能 , 写出表 达式 ; 若不
6、能 , 说明理由. 1.已知a、b不共线 ,=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b, 下列说法错误的是(). A.、可以作为一组基底B.、可以作为一组基底 C.、可以作为一组基底D.、可以作为一组基底 2.设O为? ABCD的对称中心 ,=4e1,=6e2, 则 2e1-3e2等于 (). A.B.C.D. 3.设e1,e2是平面内一组基向量 ,且a=e 1+2e2,b=-e1+e2, 则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合 , 即e1+e2= a+b. 4.如图 , 已知=3a,=3b, 若C,D是AB的三等分点 , 求,. ( 2010年全国卷) ABC中, 点D在AB上
7、,CD平分 ACB.若 =a,=b,|a|= 1,|b|=2, 则等于 (). A. a+ bB. a+ bC. a+ bD. a+ b 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第 4 课时平面向量的基本定理 知识体系梳理 问题 1: 非零实数 b= a 问题 2: 有且只有一对 1e1+2e2 问题 3: 不共线唯一 问题 4: ( 1) 不唯一( 2) 唯一( 3) 12( 4)12 0 基础学习交流 1.B在 B 中,3e1-2e2=-( 4e2-6e1), 则 3e1-2e2与 4e2-6e1共线 , 故不能作为基底. 2.A=+=-+. 3.(a+b)连接BD交AC交于点O, M 、N分
8、别是边 BC、CD的三等分点 , MNBD, 且=, =, 可知=, 又=+=a+b,=(a+b). 4.解: 在?ABCD中,=+=a+b, =-=a-b, 所以 =-=- (a+b)=- a- b, =(a-b)= a- b, = a+ b, =-=-=- a+ b. 重点难点探究 探究一 : 【解析】 ( 法一 ) 由=-=b-a. 如图 , 作?ABCD, 则=+=a+b. 点O是AC的中点 , 与共线 ,且|= |, =(a+b). ( 法二 ) 如图 , =-=b-a. BO是ABC边AC上的中线 , =, 又=+=2, =(b-a). =+=a+(b-a)=a+ b- a=(a+
9、b). 【小结】 在用基底向量表示其他向量时,要充分利用图形中的三角形,找到所求向量与基底向量的关系, 共线向量可根据方向及模的比值来确定实数. 探究二 : 【解析】 由 =x+y , 且点P在直线 AB上, 知存在实数使得=(- ), 而 =-, 故=( 1-)+. 在OAB中,不共线 , 所以x=1-,y=, 故有x+y=( 1-)+=1. 【小结】 如果A,B,C三点共线 ,点O在直线外 ,则有 =+ ,其中 += 1.反之也成立 ,这一结论应 记住并灵活运用. 探究三 : 【解析】 由已知 A、B、C三点共线 , 且= , =, AB= BC,=. 问题 B、C两点一定在点 A的同侧吗
10、 ? 结论 B、C两点不一定在点 A的同侧 , 还可能在点A的异侧. 于是 , 正确解答如下 : ( 1) 当B、C两点在点A的同侧时 , 如图 , 有 = ,AB= BC, 又与同向 , =. ( 2) 当B、C两点在点A的异侧时 , 如图 , 有=,AB= BC, 又与反向 ,=-. 综上所述 , 当B、C两点在点 A的同侧时 ,= ;当B、C两点在点 A的异侧时 ,=-. 思维拓展应用 应用一 : 连接DN,DCAB,AB=2CD, M、N分别是DC、AB的中点 , DC=NB, 四边形DCBN为平行四边形 , = b, =-=a- b, =-=- =-(a- b)- b= b-a. 应
11、用二 : 由图可知 =m+=m+ , 所以 = , 所以= . 又B,P,N三点共线 , 所以m+ =m+=1, 即m=. 应用三 : 假设a= b+ c, 将a、b、c代入a= b+ c中得 ,-e 1+3e2+2e3=( 4 -3 )e1-(6 -12)e2+( 2+11)e3, 则解得 即能 , 且a=- b+ c. 基础智能检测 1.A=+=-2a+8b+( 3a-3b)=a+5b=,、不可以作为一组基底. 2.B2e1-3e2=( 4e1-6e2)= ( - )=( - )= =. 3.-由题意得 , 设e1+e2=ma+nb. 又a=e1+2e 2,b=-e1+e2, e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+( 2m+n)e2. 由平面向量基本定理得,所以 4.解:C,D是AB的三等分点 , =(-)=( 3b-3a)=b-a. =+=3a+b-a=2a+b; =+=3a+2=3a+2b-2a=a+2b. 全新视角拓展 B因为CD平分 ACB, 由角平分线定理得,=, 所以D为AB的三等分点 , 且 =(-), 所以=+=+= a+ b, 故选 B. 思维导图构建 不共线唯一的a= 1e1+2e2