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1、第9课时探索函数y=Asin(x+) 的图像及性质 1.熟练掌握五点作图法的实质. 2.理解表达式y=Asin( x+), 掌握A、 x+的含义. 3.理解振幅变换和周期变换的规律, 会对函数y=sin x进行振幅和周期的变换. 4.会利用平移、伸缩变换方法, 作函数y=Asin( x+) 的图像. 5.结合函数y=Asin( x+) 的图像分析函数的性质. 在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如y=Asin(x+) 的函数 ,例如 : 在简谐振动中位移与时 间表示的函数关系就是形如 y=Asin(x+ ) 的函数.正因为如此 , 我们要研究它的图像、 性质及其应用 , 今天先 来学习它
2、的图像和性质 . 问题 1: 利用 “五点法 ”画函数 y=Asin x,y=sin(x+ ), y=sin x (0) 简图的五个关键点列表如下: y=Asin x( 0, 0)(, A)(, -A) y=sin(x+ )( - , 0) (- , 1)(, 0) (- ,) ( 2 - , 0) y=sin x( 0, 0)(, 1)(, 0) (, -1)(, 0) 问题 2: 如何由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin x,y=,y=sin x(A,0) 的图像 ? y=sin xy=, y=sin xy=, y=sin xy=. 问题 3: 在y=Asin(x+) 中,A,这
3、三个系数分别有什么意义和作用? 通常称A为,A决定了函数的; 称为,x+叫,决定了 时的函数值 ;决定了函数的, 周期T=. 问题 4: 如何由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin(x+) 的图像 ? 路径 1:y=sin xy=y=y=Asin( x+). 路径 2:y=sin xy=y=y=Asin( x+). 1.用“五点法 ”作y=2sin 2x的图像时 , 首先描出的五个点的横坐标是(). A.0, , 2 B.0, , C.0, , 2 , 3 , 4 D.0, , 2.要得到函数y=sin( 2x-)的图像 , 需将函数y=sin 2x的图像 (). A.向左平移个单位B
4、.向右平移个单位 C.向左平移个单位D.向右平移个单位 3.函数y=|sin x|的一个单调增区间是. (-, );(,);( ,);(, 2 ). 4.若函数y=a-bsin x的最大值为, 最小值为-,试求函数y=-4asin bx的最值及周期. 函数y=Asin(x+) 的图像及变换 用五点法画出函数y=2sin(2x+)(xR) 的图像 , 并指出它是由y=sin x图像如何变换得到的. 函数y=Asin(x+) 的性质及应用 右图为 y=Asin(x+ ) 的图像的一段 . ( 1) 求其解析式 ; ( 2) 若将y=Asin(x+) 的图像向左平移个单位长度后得y=f(x), 求f
5、(x) 的对称轴方程. 求函数y=Asin(x+) 的解析式或参数A、等 如图 , 给出的是函数y=2sin(x+)(0,| |0), xR 在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为. ( 1) 求的值; ( 2) 若将函数 f(x) 的图像向右平移 个单位后 , 再将得到的图像上各点横坐标伸长到原来的4 倍, 纵坐标 不变 , 得到函数 y=g(x) 的图像 ,求函数g(x) 的最大值及单调递减区间. 已知函数 f(x)=Asin(x+ )( A0,0,| |0) 的最小正周期为 , 则该函数的图像 (). A.关于点 (, 0) 对称B.关于直线x=对称 C.关于点 ( , 0) 对称D.关于直
6、线x=对称 3.已知函数f(x)=sin( x+)(0,- ) 的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2, 则 =. 4.已知函数f(x)=Asin( x+)(A0,00,0) 的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距 离为 . ( 1) 求函数 f(x) 的解析式 ; ( 2) 设( 0,),f( )=2, 求的值. 考题变式 ( 我来改编 ): 答案 第 9 课时探索函数 y=Asin( x+ )的 图像及性质 知识体系梳理 问题 1: ( , 0)(2 , 0)- -1 问题 2: sin(x+)Asin xsin(x+)sin x 问题 3: 振幅最值初相相位x=0周期 问题
7、 4: sin xsin(x+)sin(x+)sin(x+) 基础学习交流 1.B令 2x=0, , 2 得x=0, , .故选 B. 2.D y=sin( 2x-)=sin 2(x-),把函数y=sin 2x的图像向右平移个单位 , 就能得到函数y=sin( 2x-) 的图 像, 即选 D. 3. 作出函数y=|sin x|的图像.观察可知 , 函数y=|sin x|在( ,) 上递增. 4.解: 设t=sin x-1, 1, 当b0 时,a-ba-bta+b, 所求函数为y=-2sin x. 当b0 时, 同理可得 所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x. 综合得, 所求函数为y=
8、2sin x, 其最小值为-2, 最大值为 2, 周期为 2. 重点难点探究 探究一 : 【解析】 ( 1) 列表 : x- 2x+ 02 y020-20 ( 2) 描点. ( 3) 用平滑的曲线顺次连接各点所得图像, 如图所示 : 利用函数的周期性, 我们要把上面所得到的图像向左、右扩展 , 得到y=2sin( 2x+)( xR) 的简图 ( 图略 ). ( 法一 )y=sin xy=sin 2x y=sin2(x+)=sin( 2x+) y=2sin( 2x+). ( 法二 )y=sin xy=sin(x+) y=sin( 2x+)y=2sin( 2x+). 【小结】 五点法作y=Asin
9、(x+)+b的图像 ,是将x+看成一个整体 ,x+分别取 0, , ,2 ,求出的x 才是要取的五个关键点的x值. 探究二 : 【解析】 ( 1) 由图像知A=, 以M( , 0) 为第一个零点 ,N(, 0) 为第二个零点. 列方程组解之得 所求解析式为y=sin( 2x-). ( 2)f(x)=sin 2(x+)-=sin( 2x-), 令 2x- = +k (kZ), 则x=+(kZ), f(x) 的对称轴方程为x=+(kZ). 【小结】 (1)求函数解析式要找准图像中的“五点 ”,利用方程求解 ,;(2)讨论性质时将 x+ 视为一个 整体. 探究三 : 【解析】T=4-(-)= ,=2
10、. 又(-, 0) 在函数图像上 , 2sin(- 2+)=0, - =k ,kZ. 又| | ,=或=-. 问题 的两解都正确吗? 结论 不正确.点(-, 0) 只可能是 “五点法 ”中的第三点 , 所以应是 - =2k+ ,kZ. 于是 , 正确解答如下 : T=4-(-)= ,=2. 又(-, 0) 在函数图像上 , 2sin(- 2+)=0, - =2k+ (kZ), 即=2k+. 又| | ,=-. 【小结】 根据图像确定参数 A,的关键是要利用好图像确定 ,还要注意规定的 的取值范围. 思维拓展应用 应用一 : A本题的函数是一个分段函数, 其中一个是一次函数, 其图像是一条直线,
11、 由图像可判断该直 线的斜率k= .另一个函数是三角函数, 三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定, 由图像可知函数 的周期为T=4(-)=4 ,故= .将点 (,0) 代入解析式y=2sin(x+), 得+=k (kZ), 所以 =k-(kZ).结合各选项可知 , 选项 A 正确. 应用二 : ( 1)f(x)=sin(2x+)+, 令 2x+=, 将x=代入可得 =1. ( 2) 由( 1) 得f(x)=sin(2x+)+, 经过题设的变化得到函数 g(x)=sin(x- )+, 当x=4k+ (kZ) 时,函数 g(x)取得最大值. 令 2k+x-2k+ , 即 4k+, 4k+ (
12、kZ) 为函数g(x) 的单调递减区间. 应用三 : 由图像可知A=2,T=8. = = . ( 法一 ) 由图像过点 ( 1, 2), 得 2sin(1+)=2, sin(+)=1. | |,=, f(x)=2sin(x+). ( 法二 )点( 1, 2) 对应 “五点 ”中的第二个点 , 1+=,=, f(x)=2sin(x+). 基础智能检测 1.D正确表达三角函数的周期性和单调性. 2.A由已知 ,=2, 所以f(x)=sin( 2x+), 因为f()=0, 所以函数图像关于点(, 0) 中心对称 , 故选 A. 3.由已知两相邻最高点和最低点的距离为2, 而f(x) max-f(x)
13、min=2,由勾股定理可得 =2, T=4,= . 4.解:f(x) 是 R 上的偶函数 ,f(x) 关于 y轴对称 , 即当x=0 时, =k +(kZ), 又 0 ,= . 又f(x) 过点M( 0, 2),Asin=A=2, f(x)=2sin( x+)=2cos x. 又f(x) 的图像关于点N(, 0)对称 , f()=2cos( )=0, =k+(kZ), =(k+ )( kZ). 又 02,=或=2. 最后根据 f(x) 在区间 0, 上是减函数 , 可知只有 =满足条件.所以f(x)=2cos x. 全新视角拓展 ( 1)函数f(x) 的最大值为 3,A+1=3,即A=2. 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为, 最小正周期T= ,=2, 故函数f(x) 的解析式为y=2sin( 2x-)+1. ( 2)f()=2sin( -)+1=2, 即 sin( -)=, 0,- - , - =,故= . 思维导图构建 振幅频率 x+初相