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1、专题检测（二十四）破解电磁场压轴题 1.(2018届高三扬州调研) 如图所示，等量异种点电荷固定在水 平线上的M、N两点上， 电荷量均为Q，有一质量为m、电荷量为q( 可 视为点电荷 ) 的小球，固定在长为L的绝缘轻质细杆的一端，细杆另一 端可绕过O点且与MN垂直的水平轴无摩擦地转动，O点位于MN的垂直 平分线上距MN为L处，现在把杆拉到水平位置，由静止释放，小球经过最低点B时速度为 v，取O处电势为零，忽略q对Q、Q形成电场的影响。求： (1) 小球经过B点时对杆的拉力大小； (2) 在Q、Q形成的电场中，A点的电势A； (3) 小球继续向左摆动，经过与A等高度的C点时的速度。 解析： (1
2、) 小球经B点时，在竖直方向有 Tmg mv 2 L 即Tmg mv 2 L 由牛顿第三定律知，小球对细杆的拉力大小也为mgmv 2 L 。 (2)O点电势为零，而O在MN的垂直平分线上，所以B 0 小球从A到B过程中，由动能定理得 mgLq( AB) 1 2mv 2 解得 A mv 22mgL 2q 。 (3) 由电场对称性可知，C A， 即UAC2A 小球从A到C过程，根据动能定理得qUAC 1 2mv C 2 解得vC2v 24gL。 答案： (1)mgmv 2 L (2) mv 22mgL 2q (3) 2v 24gL 2如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂
3、直于纸面向里 的匀强磁场。 现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角为30、 大小为v0的带电粒子。已知粒子质量为m，电荷量为q，ad边长为l，重力影响忽略不计。 (1) 试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范围。 (2) 问粒子在磁场中运动的最长时间是多少？ 解析： (1) 带电粒子在磁场中运动轨迹的边界情况如图中的轨迹、所示。 轨迹与ab边相切于P点。设粒子的运动速率为v1， 则有：R1 mv1 qB， R1R1sin 30 l 2 解得：v1 qBl 3m 轨迹与cd边相切于Q点，设粒子的运动速率为v2，则有： R2R2sin 30 l 2， R2 mv2 Bq
4、 解得：v2 qBl m 所以粒子从ab边上射出磁场时的v0满足： qBl 3mh0.4 m 的区域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的 匀强磁场。一个带电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点获得一初速度，恰好能沿PO做 匀速直线运动 (PO与x轴负方向的夹角为45) ，并从原点O进入第一象限。已知重力 加速度g10 m/s 2，求： (1) 油滴在第三象限运动时受到的重力、电场力、洛伦兹力三力的大小之比，并指出油 滴带何种电荷； (2) 油滴在P点获得的初速度大小； (3) 油滴在第一象限运动的时间。 解析： (1) 根据受力分析(如图 ) 可知油滴带负电荷， 设油滴质量为m，由平衡条件可得F
5、cos mg， Fsin qE， 所以重力、电场力、洛伦兹力三力之比为 mgqEF112。 (2) 由第 (1) 问知：mgqE FqvB2qE 解得：v 2E B 42 m/s 。 (3) 进入第一象限，电场力和重力平衡，知油滴先做匀速直线运动，进入yh的区域后 作匀速圆周运动，轨迹如图所示，最后从x轴上的N点离开第一象限。 由OA匀速运动的位移为x1 h sin 45 2h 其运动时间：t1x 1 v 2h 2E B hB E 0.1 s 由几何关系和圆周运动的周期关系式T 2m qB 知， 由AC的圆周运动时间为t2 1 4T E 2gB 0.628 s 由对称性知从CN的时间t3t10
6、.1 s 油滴在第一象限运动的总时间tt1t2t3 0.828 s 。 答案： (1)1 12 油滴带负电荷(2)42 m/s (3)0.828 s 6(2017潍坊模拟) 如图甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的 磁场和电场， 变化规律分别如图乙、丙所示 ( 规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、y 轴方向为电场强度的正方向) 。在t0 时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴方 向的带负电粒子( 不计重力 ) 。其中已知v0、t0、B0、E0，且E0 B0v0 ，粒子的比荷 q m B0t0， x 轴上有一点A，坐标为 48v0t0 ，0 。 (1) 求t 0 2 时
7、带电粒子的位置坐标； (2) 粒子运动过程中偏离x轴的最大距离； (3) 粒子经多长时间经过A点。 解析： (1) 在 0t0时间内，粒子作匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得： qB0v0m 4 2 T 2r1m v0 2 r1 得：T 2m qB0 2t0，r1 mv0 qB0 v0t0 则在 t0 2 时间内转过的圆心角 2 ，所以在tt 0 2 时，粒子的位置坐标为： v0t0 ， v0t0 。 (2) 在t02t0时间内，粒子经电场加速后的速度为v，粒子的运 动轨迹如图所示。 vv0E 0q m t02v0 运动的位移：x v0v 2 t01.5v0t0 在 2t03t0时间内粒
8、子作匀速圆周运动，半径： r2 2r12v 0t0 故粒子偏离x轴的最大距离： hxr21.5v0t02v 0t0 。 (3) 粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0 一个周期内向右运动的距离：d2r12r2 6v0t0 AO间的距离为： 48v0t0 8d 所以，粒子运动至A点的时间为：t 32t0。 答案： (1) v0t0 ， v0t0 (2)1.5v0t02v 0t0 (3)32t0 教师备选题 1.(2017 全国卷) 如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy平面 ) 向里的磁场。 在x0区域，磁感应强度的大小为B0；x1) 。一质量为m、电荷量为q(q0)的带电粒子以速度v0
9、从坐标原点O沿x轴正向射入 磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求：( 不计重力 ) (1) 粒子运动的时间； (2) 粒子与O点间的距离。 解析： (1) 在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在x0 区域，圆周半径为R1；在x 0 区域，圆周半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿定律得 qB0v0m v0 2 R1 qB0v0m v0 2 R2 粒子速度方向转过180时，所需时间t1为 t1 R1 v0 粒子再转过180时，所需时间t2为 t2 R2 v0 联立式得，所求时间为 t0t1t2 m B0q1 1 。 (2) 由几何关系及式得，所求距离为 d0 2(R1R2) 2mv
10、0 B0q 1 1 。 答案： (1) m B0q 1 1 (2) 2mv0 B0q 1 1 2(2018 届高三孝感六校联考) 如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上、下两 部分， 上部分充满垂直纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应 强度大小皆为B。一质量为m、带电荷量为q的带正电的粒子从P点进入磁场，速度与边MC 的夹角 30，MC边长为a，MN边长为 8a，不计粒子重力，求： (1) 若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大是多少； (2) 若该粒子从P点射入磁场后开始计数，则当粒子第五次穿越PQ线时，恰好从Q点经 过射出磁场，粒子运动的速度又是多少？ 解析
11、： (1) 设该粒子恰不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，轨 迹如图所示，由几何关系得： rcos 60 r1 2a，解得 ra 又由qvmBm vm 2 r 解得最大速度vmqBa m 。 (2) 当粒子第五次穿越PQ线时，恰好从Q点经过射出磁场时，由几何关系得 52rsin 60 8a， 解得r 83 15 a 又由qvBm v 2 r 解得速度v 83qBa 15m 。 答案： (1) qBa m (2) 83qBa 15m 3. 如图所示，在竖直平面内建立坐标系xOy，第象限坐标为(x， d) 位置处有一粒子发射器P，第、 、象限有垂直纸面向里的匀强 磁场和竖直向上的匀强电场。某时刻粒
12、子发射器P沿x轴负方向以某 一初速度发出一个质量为m、 电荷量为q的带正电粒子。 粒子从yd 2处 经过y轴且速度方向与y轴负方向成45角。其后粒子在匀强磁场中偏转后垂直x轴返回 第象限。已知第、象限内匀强电场的电场强度Emg q 。重力加速度为g，求： (1) 粒子刚从发射器射出时的初速度及粒子发射器P的横坐标x； (2) 粒子从发射器射出到返回第象限上升到最高点所用的总时间。 解析： (1) 带电粒子从发射器射出后做平抛运动，设初速度为v0，沿水平方向，xv0t1 沿竖直方向， 1 2d 1 2gt 1 2 tan 45 vy v0， vygt1 解得：t1 d g， v0dg，xd。 (
13、2) 如图所示， 带电粒子进入垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的 匀强电场中，受竖直向上的电场力，qEmg， 在洛伦兹力作用下作匀速圆周运动，有qvBm v 2 R 粒子在匀强磁场中运动的线速度v2v02dg 由几何关系得，粒子作匀速圆周运动的半径R 2 2 d 粒子在匀强磁场中运动的时间t2 5 8T 其中周期T 2m qB 联立解得：t2 5 8 d g 设粒子返回到第象限后上升到最大高度所用时间 t3 v g 2d g 所以，粒子从射出到返回第象限上升到最高点所用的总时间 tt1t2t3 d g 5 8 d g 2d g 12 5 8 d g。 答案： (1) dgxd(2)12 5 8
14、 d g 4.(2017 全国卷) 如图，两水平面 ( 虚线 ) 之间的距离为H，其 间的区域存在方向水平向右的匀强电场。自该区域上方的A点将质量 均为m、电荷量分别为q和q(q0)的带电小球M、N先后以相同的 初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离 开。已知N离开电场时的速度方向竖直向下；M在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能 为N刚离开电场时动能的1.5 倍。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求： (1)M与N在电场中沿水平方向的位移之比； (2)A点距电场上边界的高度； (3) 该电场的电场强度大小。 解析： (1) 设小球M、N在A点水平射出
15、时的初速度大小为v0，则它们进入电场时的水平 速度仍然为v0。M、N在电场中运动的时间t相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向， 大小均为a，在电场中沿水平方向的位移分别为s1和s2。由题给条件和运动学公式得 v0at0 s1v0t1 2at 2 s2v0t1 2at 2 联立式得 s1 s2 3 (2) 设A点距电场上边界的高度为h，小球下落h时在竖直方向的分速度为vy，由运动 学公式 vy 22gh Hvyt1 2gt 2 M进入电场后做直线运动，由几何关系知 v0 vy s1 H 联立式可得 h 1 3H (3) 设电场强度的大小为E，小球M进入电场后做直线运动，则 v0 vy qE
16、mg 设M、N离开电场时的动能分别为Ek1、Ek2，由动能定理得 Ek1 1 2m (v0 2 vy 2) mgH qEs1 Ek2 1 2m (v0 2 vy 2) mgH qEs2 ? 由已知条件 Ek11.5Ek2 ? 联立? ? 式得 E mg 2q。 答案： (1)3 1 (2) 1 3H (3) mg 2q 5如图甲所示，水平放置的平行金属板A和B的距离为d，它们的右端安放着垂直于 金属板的靶MN，现在A、B板上加上如图乙所示的方波形电压，电压的正向值为U0，反向电 压值为 U0 2 ，且每隔 T 2变向 1 次。现将质量为 m的带正电且电荷量为q的粒子束从AB的中点O 以平行于金
17、属板的方向OO射入，设粒子能全部打在靶上，而且所有粒子在A、B间的飞行 时间均为T。不计重力的影响，试求： (1) 定性分析在t0 时刻从O点进入的粒子，在垂直于金属板的方向上的运动情况。 (2) 在距靶MN的中心O点多远的范围内有粒子击中？ (3) 要使粒子能全部打在靶MN上，电压U0的数值应满足什么条件？( 写出U0、m、d、q、 T的关系式即可) 解析： (1)0 T 2时间内，带正电的粒子在垂直金属板方向受到向下的电场力而向下做加 速运动，在 T 2 T时间内，粒子受到向上的电场力而向下做减速运动。 (2) 当粒子在0、T、2TnT(n0,1,2 ) 时刻进入电场中时，粒子将打在O点下
18、方最 远点，在前 T 2时间内，粒子竖直向下的位移： y1 1 2a 1 T 2 2qU 0T 2 8md 在后 T 2时间内，粒子竖直向下的位移： y2vT 2 1 2a 2 T 2 2 其中：va1T 2 qU0T 2md ，a2 qU0 2md 解得：y2 3qU0T 2 16md 故粒子打在距O点正下方的最大位移： yy1y25qU 0T 2 16md 当粒子在 T 2、 3T 2 nT 2 (n0,1,2 ) 时刻进入电场时，将打在O点上方最远点， 在前 T 2时间内，粒子竖直向上的位移： y1 1 2a 1 T 2 2qU 0T 2 16md 在后 T 2时间内，粒子竖直向上的位移： y2vT 2 1 2a 2 T 2 2 其中：va1T 2 qU0T 4md ，a2 qU0 md 解得：y2 0 故粒子打在距O点正上方的最大位移： yy1y2 qU0T 2 16md 击中的范围在O以下 5qU0T 2 16md到 O以上 qU0T 2 16md 。 (3) 要使粒子能全部打在靶上，需有： 5qU0T 2 16md d 2 解得：U08md 2 5qT 2。 答案： (1) 见解析(2)O以下 5qU0T 2 16md 到O以上 qU0T 2 16md (3)U0 8md 2 5qT 2