江苏2018届高考数学总复习专题7.1关系与不等式解法基本不等式及应用试题含解析.pdf

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1、专题 7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用 【三年高考】 1 【201.7 高考江苏】某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买吨，运费为6 万元 / 次，一 年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 【答案】 30 【解析】总费用为 600900 464()42900240xx xx ，当且仅当 900 x x ，即 30x 时 等号成立 【考点】基本不等式求最值 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基 本不等式中“正” ( 即条件要求中字母为正数) 、“定” ( 不等式的另一边必须为定值) 、 “等” (

2、等号取得的条件) 的条件才能应用，否则会出现错误 2. 【2015 高考江苏， 7】不等式 2 24 xx 的解集为 _. 【答案】 ( 1,2). 【解析】由题意得： 2 212xxx ，解集为 ( 1,2). 3. 【2013 江苏，理11】已知f(x) 是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f(x) x 2 4x，则不 等式f(x) x的解集用区间表示为_ 【答案】 ( 5,0) (5 ， ) 【解析】函数f(x)为奇函数，且x0 时，f(x) x 24x，则 f(x) 2 2 4 ,0, 0,0, 4 ,0, xx x x xx x 原 不等式等价于 2 0, 4, x xxx 或 2

3、0, 4, x xxx 由此可解得x 5或 5x0. 故应填 ( 5,0) (5 ， ) . 4. 【 2017 山东，理7】若0ab，且1ab，则下列不等式成立的是 （A） 2 1 log 2 a b aab b （B） 2 1 log 2 a b aba b （C） 2 1 log 2 a b aab b （D） 2 1 log 2 a b aba b 【答案】 B 【考点】 1. 指数函数与对数函数的性质.2. 基本不等式 . 【名师点睛】比较幂或对数值的大小, 若幂的底数相同或对数的底数相同, 通常利用指数函数 或对数函数单调性进行比较, 若底数不同 , 可考虑利用中间量进行比较. 本

4、题虽小，但考查的知 识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 5【2017 天津， 理 8】 已知函数 2 3,1, ( ) 2 ,1. xxx fx xx x 设aR， 若关于x的不等式( )| 2 x f xa 在 R上恒成立，则a的取值范围是 （A） 47 ,2 16 （B） 47 39 , 16 16 （C） 2 3,2（D） 39 2 3, 16 【答案】A 22 22 22 xx xx （当2x时取等号）， 所以2 32a， 综上 47 2 16 a故选 A 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足( ) 2 x f xa转化为( )( ) 22

5、xx f xaf x 去解决，由于涉及分 段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范 围，利用极端原理，求出对应的的范围. 6 【2017 天津，理12】若,a bR，0ab，则 44 41ab ab 的最小值为 _. 【答案】 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab ， （前一个等号成立条件是 22 2ab， 后 一 个 等 号 成 立 的 条 件 是 1 2 ab， 两 个 等 号 可 以 同 时 取 得 ， 则 当 且 仅 当 22 22 , 24 ab时取等号） . 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用

6、均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） 22 ,2a bR abab，当 且仅当ab时取等号；（2）,a bR ，2abab，当且仅当ab时取等号；首先要 注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作 乘法”“1 的妙用”求最值. 7 【2016 高考浙江理数改编】已知a，b，c是实数， 则下列命题 “若 |a 2+b+c|+| a+b 2+c| 1， 则a 2+b2+c2 ba ab 22 aabb 正确的是 【答案】 【解析】试题分析：因为0ab, 所以 11 ,1,1, ba ab ab 即 11 ba ab 均不成立；当 2 0c时， 22 a

7、cbc不成立；故填. 2. 已知定义域为R的奇函数yfx的导函数为yfx，当0x时， 0 fx fx x ，若 1111 ,22 ,lnln 2222 afbfcf ，则, ,a b c的大小关 系正确的是 _. 【答案】acb 【考点 3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】 对于一元二次方程 2 0(0)axbxca的两根为 12 xx、且 12 xx，设acb4 2 ，它的 解按照0， 0，0可分三种情况，相应地，二次函数 2 yaxbxc(0)a的 图像与 x轴的位置关系也分为三种情况 . 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 2 0axbxc(0)a或 2 0axbxc(0)a的解

8、集 . 2 4bac000 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图象 2 0 (0) axbxc a的根 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 【规律方法技巧】 1解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根

9、，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解 集与其系数之间的关系； 5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】 1. 已知关于 x的不等式 2 320axx的解集为1x xxb或 （1）求,a b的值； （2）当cR时，解关于 x的不等式 2 ()0axacb xbc（用表示） 的解集为 2xxc，当2c时，所求不等式的解集为2x cx，当2c时，所求 不等式的解集为. 2. 若不等式 222 2()yxc xxy对任意满足0xy的实数, x y恒成立，则实数的最大值 为 【答案】422 【考点 4】基本不等式及应用 【备考知识梳理】 1、 如果,Ra b，那么

10、22 2abab（当且仅当ab时取等号“=”） 推论： 22 ab 2 ab （,Ra b） 2、 如果0a，0b, 则 2abab， （当且仅当 ab时取等号“ =”） . 推论： 2 ab() 2 ab （0a，0b） ； 22 2 () 22 abab 3、 22 2 (0,0) 11 22 abab abab ab 【规律方法技巧】 1. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不 等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项， 并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等 2. 在用基本不等式求函数的最值时，

11、应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【考点针对训练】 1. 已知正数a，b，c满足 3ab2c0，则 ac b 的最大值为 【答案】 6 12 【解析】 6 3212 2 32 acacac bac ac ，当且仅当32 2 b ac时取等号，故 ac b 的最大值 为 6 12 2. 设实数, x y满足 2 2 1 4 x y，则 2 32xxy的最小值是 【答案】

12、 642 【解析】 令 2 x yt，则 1 2 x y t ，所以 1 1 1 2 t t xt t y ， ， ，则 22 2 4 326264 2xxyt t 【两年模拟详解析】 1【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017 届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的 ，都有，则实数的取值范围是_ 【答案】( 或) 【解析】整理不等式可得： . 问题等价于在区间上，过点斜率为的直线恒在抛物线 的上方，注意到点三点共线，据此可得实数a 的取值 范围是，即 1 2 【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知a，b均为正数，且 20abab，则 2 221 4 a b a

13、b 的最小值为 【答案】 7 【解析】，所以 （当且仅当时取等 号） 而（当且仅当时取等号）， 因此 （当且仅当时取等号），即的最小值为7. 3【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】在ABC中， ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 若 222 28abc，则ABC面积的最大值为 【答案】 2 5 5 【解析】 222222 222111()1(83) sin1 cos()() 222424 ABC abcc SabCabCabab ， 而 2222 28242ababcabc， 所以 2222 22221(83)11 5(16 5)2 5 (4)(165) 24445 2

14、 5 ABC ccc Sccc，当且 仅当 28 , 5 ab c 时取等号 4. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知函数)(xf是定义在R上的奇函数， 当0x时， xxxf4 2 )(，则不等式xxf)(的解集为 【答案】5,05, 【解析】当0x时，4)()( 2 xxxfxf，所以 xxx x 4 0 2 或 xxx x )4( 0 2 ， 解得5x或05x，解集为), 5()0,5(U 5. 【镇江市2017 届高三年级第一次模拟】不等式4 2 xx a lnlog（0a且1a）对任 意),( 1001x恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 1 4 0,1e , 【解析】)

15、100ln,0(ln)100, 1(xx，所以x xa xx a ln ln 4 ln 1 4lnlog 2 ，又 4ln ln 4 2ln ln 4 x x x x ， 当 且 仅 当)100ln,0(2ln x时 取 等 号 ， 因 此 104 ln 1 a a 或 4 1 ea 6. 【镇江市2017 届高三年级第一次模拟】已知不等式 2 22 )ln()(nmnm对任意 Rm，),(0n恒成立，则实数的取值范围为 【答案】1 【解析】不等式恒成立等价于直线xy上任一点到曲线xyln上任一点距离最小值不 小于 2 ，易得直线 1xy 与曲线 xyln 相切，所以11,2 2 |1| 7.

16、 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】对任意的 (0,) 2 ， 不等式 22 14 | 21| sincos x 恒成立，则实数x的取值范围是_. 【答案】 4,5 8. 【 2017 年第二次全国大联考江苏卷】实数, x y满足 0 1 xy xy ，使zaxy取得最大值 的最优解有两个，则zaxy的最小值为_. 【答案】 1 【解析】 如下图所示， 画出不等式组所表示的区域，zaxy取得最大值的最优解有两个， 11aa，当1x，0y或0x，1y时，zaxyxy有最小值 1 9. 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若tan,tan,tanABC依次成 等差数列，

17、则tantantanABC的取值范围为 【答案】 3 3,) 【解析】由题意得 tantan 2tantantan2tan()tantan2tantan 1tantan AC BACACACAC AC 因为锐角三角形ABC，所以tan0, tan0AC，因此tantan3AC， 2tan2 tantantan3BACB （当且仅当tantanAC时取等号），从而 tantantan3 3ABC . 10. 【2017 年第二次全国大联考江苏卷】已知,x yR且 22 231xxyy, 则 22 zxy 的最小值为_. 【答案】 51 4 【解析】由 22 231xxyy得 (3 )()1xyx

18、y , 可设 1 3,(0)xyt xyt t , 因此 2 2 22 22 5315 222 51 , 44884 tttt t ttt xyzxy , 当且仅当 2 5t 时 取等号 , 即 22 zxy的最小值为 51 4 . 11. 【2017 年第三次全国大联考江苏卷】已知 21 ,26x yxy xy R，则2xy的最 大值为 _ 【答案】4 【解析】令2(0)xym m，则 21 6m xy ，因为 2121214 ()(4) xyyx xyxymmxy 148 (42) y x mxym ，当且仅当 2xy时取等号，所以 28 6,680,24mmmm m ，即 2xy的最大值

19、为 4（当且仅当 22xy 时取 等号） 12 【2017 年高考原创押题预测卷01（江苏卷）】若，y满足不等式 2, 6, 20, x xy xy 则 y x 的最大 值是 【答案】2 【解析】在直角坐标系内作出不等式组 2 6 20 x xy xy ， 所表示的可行域如图阴影部分（含边界）， 其中 y x 表示可行域内点( ,)x y与原点O连线的斜率， 由图可知，OC斜率最大， 4 2 2 OC k， 所以 y x 最大值为2 13【2017 年高考原创押题预测卷02 （江苏卷）】 已知, , ,a b c dR 且满足1 2 3ln3 c d b aa ， 则 22 )()(dbca的

20、最小值为 . 【答案】 e 9 ln 5 9 【解析】由题设可得点QP,分别在曲线cdaab23,ln3上. 设点),(),(dcQbaP， 则问题转化为求曲线aabln3上的动点P与直线32cd上的动点Q之间的距离的最 小值的平方问题. 设点)ln3,(tttM是曲线aabln3的切点，因 a b 3 1 / ， 故在点M处 的切线的斜率 t k 3 1，由题意2 3 1 t ，即3t时，也即当切线与已知直线32cd平 行时，此时切点 )3ln33, 3(M 到已知直线32cd的距离最近，最近距离 | 633ln 33|63ln 3 55 d，也即 22 )()(dbca的最小值为 22 2

21、9(2ln 3)9 ln 553 e d. 14. 【2017 年高考原创押题预测卷03（江苏卷）】设0,0ab，点( , )P a b 在过点 (1, 1),(2, 3)AB的直线上，则 22 24Sabab 的最大值为 【答案】 5 4 15. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016 届高三第二次调研】设cba,是正实数，满 足acb，则 ba c c b 的最小值为 【答案】 1 2 2 【解析】 11 ,2, 22 cc bcabcab abbc abbc ， 2 bcbc cabcbc ， 令 1211121111 ,22 221221222122 b bctt tt c cbc

22、ttt 当且仅 当 21 2 t 时取“ =” ， 则 ba c c b 的最小值为 1 2 2 16 【江苏省清江中学数学模拟试卷】不等式 2 lnxxx的解集为 . 【答案】(1,) 【解析】当01x时， 2 xx，ln0x， 所以 2 lnxxx， 当1x时， 2 xx，ln0x， 所以 2 lnxxx，因此原不等式的解集为(1,) 17 【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知x，y 是正整数， 216 max, () tx y xy ，则 t 的 最小值为 . 【答案】 8 【解析】由题意只要考虑 16 ()y xy 是正数，即0xy的情形，因为 16 ()y xy 2 2 1664 ()

23、 2 yxy x ，所以 22 2 1664 max,max, () txx y xyx ，当 2 8x时， 2 2 64 8x x ，所以 min 8t 18【江苏省清江中学2016 届高三上学期周练数学试题】已知实数0yx，若以xy， 22 xy，x为三边长能构成一个三角形，则实数的范围为 【答案】122， 【解析】根据已知条件得： 22 22 22 xyxyx xyxxy xyxxy ， 2222 02yxxyxyxyxy，； 22 0xyxxy，对于任意0,0yx都成立； 由得， 2 11() yy xx ，令 2 2 11110 1 yt ttf tttft x t ，（ ）； （

24、）， ft在1（，）上单调递增；122,22f tf； 由得 2 11() yy xx ， 令 2 2 2 1 1110 1 ytt t tg tttg t x t ，（ ）； （ ）， g t（ ）在1（，）单调递增； 2 2 , 22 1,1,1 11 11 11 t g ttg tg t tt tt + ，（ ）， 综上即 的取值范围为 122， 19 【扬州市20152016 学年度第一学期期末检测试题】. 已知1ba且 7log3log2ab ba ，则 1 1 2 b a的最小值为 . 【答案】 3 【解析】令logabt，又 1ba得01t， 3 2log3log27 ab ba

25、t t 解得 1 2 t， 即 2 1 log, 2 ab ab， 2 11 113 11 aa ba ，当且仅当2a时取“ =” 20 【镇江市2016 届高三年级第一次模拟考试】已知函数f(x) 是定义在 R上的奇函数， 当x0 时，f(x) 1log2x，则不等式f(x)0 时，f(x) 1 log2x，f(x)0, 即 2 1log0x，解得2x，综上所述， 不等式f(x)0 的解集是 ( 2，0) (2， ) 21 【泰州市2016 届高三第一次模拟考试】若正实数,x y满足 2 (21)(52)(2)xyyy， 则 1 2 x y 的最大值为 【答案】 3 2 1 2 【解析】令

26、1 ,(0) 2 xtt y ， 则 222 ( 22 )( 52 ) (2 ) , ( 45 )( 8 8)8 0y tyytyty， 因此 222 3 2 (88 )32(45)0247001 2 ttttt ，当 3 2 1 2 t 时， 2 6 283524 244 00 45 1712 212216 t yx t ，因此 1 2 x y 的最大值为 3 2 1 2 22【江苏歌风中如皋办高三数学九月月考】若实数, x y满足0xy， 且 22 loglog1xy， 则 22 xy xy 的最小值为 . 【答案】 4 【解析】由已知 222 logloglog1xyxy，2xy，又0x

27、y，所以 222 ()2xyxyxy xyxy 4 ()xy xy 4 2 ()4xy xy （当且仅当2xy时取等号），所以最小值为4. 【一年原创真预测】 1. 若正实数,a b满足1ab，则 2 24 b a 的最大值为 . 【答案】 1 4 【解析】由题可得 2 242 b a ba , 因为222abababab 21 222 4 a ba b , 当且仅当1ab时, 2 24 b a 取得最大值 1 4 . 【入选理由】 】本题考查基本不等式和指数运算等基础知识，意在考查学生的运算能力，分析 问题、解决问题的能力，以及学生逻辑推理能力. 本题是基本不等式与指数函数结合，难度不 大，

28、故选此题. 2. 若关于 x的不等式0 x eaxb对任意实数x恒成立，则ab的最大值为 _. 【答案】 2 e 【入选理由】本题考查不等式恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，函数的极值与最值 问题等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能 力本题是一个综合题，考查了不等式的性质的应用，同时又是一个函数性质题，有一定的 难度，但构思比较巧，故选此题. 3. 已知| | 2ab，对任意xR，若不等式| 1axb恒成立，则a b的取值范围是 _. 【答案】 , 2 3 ，或 2 3, 【入选理由】本题考查向量的模，二次函数最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用 转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力本题是一个综合题，巧妙的把 向量，二次函数，不等式有机的结合在一起，难度中等，此题的解题妙处就在把向量的模的 问题转化为二次函数来处理，的确是一个好题，故选此题.