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1、扬州市 20162017 学年度第一学期期末调研测试试题 高 二 数 学 20171 （全卷满分160 分，考试时间120 分钟 ） 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1命题“0x，1xx”的否定为 2根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ( 第 2题 ) (第 3 题) (第 5 题) 3如图，四边形ABCD是一个 54 的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴 影部分内的概
2、率为 4抛物线 2 4yx上横坐标为3 的点P到焦点F的距离为 _ 5将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为 6函数 21 ( )f xx x 的图象在 1x 处的切线方程为 7若双曲线 2 2 2 1(0) x ym m 的一条渐近线方程为30xy，则m 8“3a”是“直线210xay和直线 (1)320axy平行”的 条件（填“充 要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 9已知函数 (0) ( ) 2 (0) x xex f x x x ，若函数( )( )g xf xm有 3 个零点，则m的取值范围 是 10圆心在x轴上且与直
3、线l：y = 2x+1 切于点(0,1)P的圆C的标准方程为 11函数( )f x 的定义域为R，且( 3)1f，( )2fx，则不等式( )27f xx的解集 为 12若直线2ykx与圆 22 1xy没有 公共点，则此直线倾斜角 的取值范围 是 13已知函数 2 ( )3 a f xxax x （ 0a ）. 若存在 0 x ，使得 0 ()0f x成立，则a的最小值为 14如图， 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F，过F的直线交 椭圆于,A B 两点，点C是点A关于原点O的对称点， 若CFAB且 CFAB，则椭圆的离心率为 二、解答题（本大题共6 小题，共计90 分
4、请在答题纸指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） 15 （本小题满分14 分） 已知命题p： 2 ,1xR xm；命题q：方程 22 1 22 xy mm 表示双曲线 . (1) 若命题p为真命题，求实数m 的取值范围； (2) 若命题“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数m 的取值范围 16 （本小题满分14 分） 某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况如 下表： 年 级 性别 高一年级高二年级高三年级 男520 y400 女x610 600 (1) 若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22 人，高三年级20
5、 人，再从这n 个人中随机抽取出1 人，此人为高三年级的概率为 10 33 ，求x、y的值 . (2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5 的样本，从这5 人中任取2 人， 求至少有1 人是男生的概率. 17 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左焦点为( 1,0)F，左顶点为A，上、 下顶点分别为,B C . (1) 若直线 BF经过 AC中点M，求椭圆E的标准方程； (2) 若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线 的距离 . 18 （本小题满分16 分） 某公园内直线道路旁有一
6、半径为10 米的半圆形荒地（圆心O在道路上， AB为直径），现要在荒 地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且 OD的长不超过20 米在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮已知种植花卉的 费用每平方米为200 元，铺设草皮的费用每平方米为100 元 (1) 设CODx（单位：弧度） ，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围； (2) 当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用 C A O B （第 18 题） D 19 （本小题满分16 分） 若圆C： 22 0xyDxEyF的半径为r，圆心C到直线l：0DxEyF的距离为d
7、， 其中 222 DEF ，且 0F (1) 求F的取值范围； (2) 求 22 dr的值； (3) 是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在， 请写出定圆M的方程， 并给出证 明；若不存在，请说明理由 20 （本小题满分16 分） 已知函数( )ln(1)f xxa x，( ) x g xe，其中e为自然对数的底数 (1) 当1a时，求函数( )yf x 的单调区间； (2) 求函数( )yf x 在区间 1, e 上的值域； (3) 若0a，过原点分别作曲线( )yf x 、( )yg x 的切线 1 l 、 2 l ，且两切线的斜率互为倒数， 求证： 2 11ee a ee 20
8、162017 学年度第一学期高二数学 期末试卷 参 考 答 案 20171 一、填空题 1. 0x ，1xx 215 3. 1 5 4. 4 5. 0.028 6. 1yx7.3 8. 充分不必要 9. ( 1 e ,0) 10. 5)2( 22 yx 11. (, 3) 12., 4 3 4 ,0 13. 16 14. 63 二、解答题 15对于任意 2 ,1 1xR x， 若命题p为真命题，则 2 min 1xm（），所以1m； 5 分 若命题q为真命题，则(2)(2)0mm，所以22m， 8 分 因为命题“pq为真命题，则 ,p q至少有一个真命题，“pq 为假命题， 则,p q至少有一
9、个假命题，所以,p q一个为真命题，一个为假命题. 10 分 当命题p为真命题，命题q为假命题时， 1 22 m mm 或 ，则 2m ， 当命题p为假命题，命题q为真命题时， 1 22 m m ，则12m， 综上，212mm或. 14 分 16依题意得： 2010 33n ，解得66n. 2 分 所以高一年级被抽取的人数为66 22 20 24. 所以 202422 1000520610xy ，解得680x，490y. 6 分 若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5 的样本， 设抽取男生的人数为m，则 400 5600400 m ，解得2m， 所以应抽取男生2 人，女生3 人，分别记作
10、 1 A 、 2 A ； 1 B 、 2 B 、 3 B . 8 分 方法一： 记“从中任取2 人，至少有1 人是男生”为事件A. 从中任取2 人的所有基本事件共10 个： （A1，A2） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，B3） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3） ， （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B2，B3） . 其中至少有1 人为男生的基本事件有7 个： （A1，A2） ， （A1，B1） ， （A1，B2） ， （A1，B3） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A2，B3）. 所以从中从中任取2 人，至少有1 人是男生的
11、概率为 7 10 . 13 分 方法二： 记“从中任取2 人，至少有1 人是男生”为事件A，则 A 表示“从中任取2人， 全是女生”，全是女生的基本事件有3 个： （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B2，B3）. 所以 37 ()1()1 1010 P AP A. 答：至少有1 人是男生的概率 7 10 . 14 分 17由题意，(,0),(0, ),(0,)AaBb Cb， 又( 1,0)F，所以1c，直线BF：ybxb. 2 分 M为AC的中点，所以(,) 22 ab M， 代入直线BFybxb，则3a，. 4 分 由 2222 1abcb，所以 22 8,9ba， 所以椭圆E的标
12、准方程是 22 1 98 xy . 6 分 因为直线BF的斜率为1，则1,2bca，所以椭圆 2 2 :1 2 x My， 8 分 又直线:1BFyx，则 2 2 1 2 1 x y yx ， 解得 0x （舍），或 4 3 x ， 11 分 因为右准线的方程为2x， 所以点D到右准线的距离为 410 2 33 . 14 分 18因为扇形AOC的半径为10 m，AOCx(rad) ， 所以扇形AOC的面积 2 (10 =50() 2 AOC x Sx 扇 ） ，0 3 x 3 分 在RtCOD中，OC10，CD10tan x， 所以COD 的面积SCOD 1 2 OCCD50tanx 5 分
13、从而y100SCOD200S扇形 AOC5000(tan22 )xx，0 3 x 8 分 （注：没有x的范围，扣1 分） 设( )tan22 ,0 3 f xxxx ，则 sin ( )22 cos x f xx x ， 222 22 cossin12cos ( )2 coscos xxx fx xx ，令( )0fx，解得 4 x， 11 分 从而当0 4 x时，( )0fx；当 43 x， / ( )0fx 因此( )f x在区间(0,) 4 上单调递减；在区间(,) 43 上单调递增 当 4 x时，( )f x取得最小值， 3 ()121 422 f 14 分 所以y的最小值为)7500
14、5000(元15 分 答：当 4 x时，改造景观的费用最低，最低费用为)75005000(元 16分 19因为 22 4DEF ，又 222 DEF ，且0F， 所以 2 4,FF 且0F，解得4F； 3 分 易得圆C的圆心 22 DE C,，半径 222 44 22 DEFFF r， 圆心C到直线l的距离 22 22 2 2 DE DEF F d DE ， 所以 2 2 2 22 42 1 22 FFF dr； 8 分 存在定圆M： 22 1xy满足题意，下证之： 10 分 1因为M(0 ，0) 到直线l的距离为 22 1 F R DE ，所以圆M与直线l相切； 2因为 22 00 222
15、DEF CM，且 2 4 11 2 FF R， 而 2 2 2 44 1140 2224 FFFFFF ， 故1CMR，所以圆M与圆C相离 由 1、2得，存在定圆M： 22 1xy满足题意 16 分 20当1a时，( )ln1f xxx，定义域为(0,) ， 11 ( )1 x fx xx 令( )0fx，得增区间为(0,1)；令( )0fx，得减区间为(1,) 2 分 1 ( ) ax fx x 当 1 a e 时，( )0fx，( )f x在1, e上为增函数，故(1)( )( )ff xf e， 从而( )f x的值域为0,1aae； 当1a时，( )0fx，( )f x在1, e上为减
16、函数，故( )( )(1)f ef xf， 从而( )f x的值域为1,0aae； 当 1 1a e 时， 1 (1, )x a 时( )0fx,( )f x递增； 1 (, )xe a 时( )0fx,( )f x递减 故( )fx的最大值为 1 ( )ln1faa a ；最小值为(1)f与( )f e中更小的一个， 当 11 1 a ee 时( )(1)f ef，最小值为(1)0f； 当 1 1 1 a e 时，( )(1)f ef，最小值为( )1f eaae 综上所述，当 1 a e 时，值域为0,1aae； 当 11 1 a ee 时，值域为0,ln1aa； 当 1 1 1 a e
17、时，值域为1,ln1aaeaa； 当1a时，值域为1,0aae 8 分 设切线 2 l对应切点为 0 0 (,) x x e，切线方程为 00 0 () xx yeexx， 将(0,0)代入，解得 0 1x， 0 2 x kee，从而 1 1 k e 设 1 l与曲线( )yf x的切点为 111 (,ln(1)xxa x， 1 1 11 ka xe ，得 1 11 a xe 切线 1 l方程为 111 1 ln(1)()yxa xxx e ，将(0,0)代入，得 1 11 ln(1) x xa x e 将代入，得 1 1 11 ln10x xe 令 11 ( )ln1m xx xe ，则 2 1 ( ) x m x x ， ( )m x在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)上单调递增 若 1 (0,1)x，由 11 ( )20me ee ， 1 (1)0m e ，则 1 1 (,1)x e 而 1 11 a xe 在 1 ( ,1) e 上单调递减，故 2 11ee a ee ； 若 1 (1 ,)x，因( )m x在区间(1,)上单调增，且( )0m e， 所以 1 11 0a xe ，与题设0a矛盾，故不可能 综上所述， 2 11ee a ee 16 分