《江苏省高考数学总复习练习：高考附加题加分练(五)空间向量与立体几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省高考数学总复习练习：高考附加题加分练(五)空间向量与立体几何.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、(五)空间向量与立体几何 1(2018盐城模拟) 如图，已知四棱锥PABCD的底面是正方形，PA平面ABCD，且PA AD2，点M，N分别在PD，PC上，PN 1 2NC ，PMMD. (1) 求证：PC平面AMN； (2) 求二面角BANM的余弦值 (1) 证明以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的 空间直角坐标系 又PAAD2， P(0,0,2)，D(0,2,0)， B(2,0,0)， M(0,1,1)，C(2,2,0) PC (2,2 ， 2) ，AM (0,1,1) PC AM 0 220， PCAM. 设N(x，y，z)，PN 1 2NC ，
2、求得N 2 3 ， 2 3， 4 3 . PC AN 4 3 4 3 8 30， ANPC. 又AMANA，AM，AN? 平面AMN， PC平面AMN. (2) 解设平面BAN的法向量为n (x，y，z) ， nAB 0， nAN 0， 即 2x0， 2 3x 2 3y 4 3z0， 令z 1，n(0,2 ， 1) PC (2,2 ， 2) 是平面AMN的法向量， cosn，PC nPC |n|PC | 15 5 . 由图知二面角BANM为钝二面角， 二面角BANM的余弦值为 15 5 . 2. 如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OBOC 2，E是OC 的中点
3、(1) 求异面直线BE与AC所成角的余弦值； (2) 求二面角ABEC的正弦值 解(1) 以O为原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,0) EB (2， 1,0) ，AC (0,2 ， 1) ， cosEB ，AC 2 5， 又异面直线所成的角为锐角或直角， 异面直线BE与AC所成角的余弦值为 2 5. (2)AB (2,0 ， 1) ，AE (0,1 ， 1) ， 设平面ABE的法向量为n1(x，y，z) ， 则由n1AB ，n1AE ， 得 2xz0， yz0， 取n1 (1,2,2)
4、， 平面BEC的法向量为n2(0,0,1)， cosn1，n2 2 3， 二面角ABEC的余弦值的绝对值为 2 3， sin 5 3 ， 即二面角ABEC的正弦值为 5 3 . 3. 三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB 2，AC4，AA13，D是BC 的中点 (1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值； (2) 求二面角B1A1DC1的正弦值 解(1) 由题意知，B(2,0,0)，C(0,4,0)，D(1,2,0)，A1(0,0,3)，B1(2,0,3)，C1(0,4,3)，则 A1D (1,2 ， 3)，A1C1 (0,4,0)，DB1 (1 ， 2,3)
5、 设平面A1C1D的一个法向量为n(x，y，z) 由nA1D x 2y3z0，nA1C1 4y0， 得y0，x 3z， 令z1，得x3，n (3,0,1) 设直线DB1与平面A1C1D所成的角为， 则 sin |cos DB1 ，n| |3 3| 1014 335 35 . (2) 设平面A1B1D的一个法向量为m(a，b，c)，A1B1 (2,0,0) 由mA1D a 2b3c0，mA1B1 2a0， 得a0,2b 3c， 令c2，得b3，m (0,3,2) 设二面角B1A1DC1的大小为 ， |cos | |cos m，n| |mn| |m|n| 2 65 ， sin 37 65 3455
6、 65 . 所以二面角B1A1DC1的正弦值为 3455 65 . 4. 如图，在三棱锥SABC中，底面是边长为23的正三角形，点S在底面ABC上的射影O 是AC的中点，侧棱SB和底面成 45角 (1) 若D为棱SB上一点，当 SD DB 为何值时，CDAB； (2) 求二面角SBCA的余弦值的大小 解连结OB，由题意得OS，OB，OC两两垂直 以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 由题意知SBO45，SO3. 所以O(0,0,0)，C(0 ，3，0) ，A(0 ，3，0)，S(0,0,3)， B(3,0,0) (1) 设BD BS (01)，连结OD
7、， 则OD (1 )OB OS (3(1 ) ， 0,3 ) ， 所以CD (3(1 ) ，3，3) 因为AB (3 ，3， 0) ，CDAB， 所以CD AB 9(1 ) 30，解得 2 3. 故当 SD DB 1 2时， CDAB. (2) 平面ACB的法向量为n1(0,0,1) 设平面SBC的法向量n2(x，y，z) ， 由 n2SB 0， n2SC 0， 得 3x3z0， 3y3z 0， 解得 xz， y3z， 取z1， 则n2 (1，3，1) ， 所以 cosn1，n2 103011 1 212 3 2 1 5 ， 显然所求二面角的平面角为锐角， 故所求二面角的余弦值的大小为 5 5 .