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1、阅读理解 1( 2017 威海 ) 阅读理解：如图1，O 与直线 a，b 都相切不论O如何转动，直线a，b 之间的距离 始终保持不变( 等于O 的直径 ) 我们把具有这一特性的图形称为“等宽曲线”图2 是利用圆的这一特 性的例子将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力就可以推动物体前进据说，古埃 及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的 图 1 图 2 拓展应用：如图3 所示的弧三角形(也称为莱洛三角形) 也是“等宽曲线”如图4，夹在平行线c，d 之间 的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变若直线c，d 之间的距离等于2 cm，则莱洛三角 形的周长为 _cm. 图 3
2、图 4 2( 2017 枣庄 ) 我们知道， 任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：npq(p，q 是正整数， 且 pq)， 在 n 的所有这种分解中，如果p， q 两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是 n 的最佳分解，并规定： F(n) p q. 例如 12 可 以分解成112，26 或 34，因为12162 43，所以 34 是 12 的最佳分解，所以 F(12) 3 4. (1) 如果一个正整数m是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m是完全平方数 求证：对任意一个完全平方数m ，总有 F(m) 1； (2) 如果一个两位正整数t ，t 10xy(1 xy9， x，y 为自然数 )
3、 ，交换其个位上的数与十位上的数得 到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； (3) 在 (2) 所得“吉祥数”中，求 F(t) 的最大值 3阅读材料： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a sin A b sin B c sin C . 利用上述结论可以求解如下 题目： 在ABC中， A、B、C的对边分别为a，b，c. 若A45， B30，a6，求 b. 解：在 ABC中， a sin A b sin B ， b asin B sin A 6sin 30 sin 45 6 1 2 2 2 32. 理解应用： 如图， 甲船以
4、每小时302海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时， 乙船位于甲船的北偏西105 方向的 B1处，且乙船从 B1处按北偏东15方向匀速直线航行，当甲船航行20 分钟到 达 A2时，乙船航行到 甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里 (1) 判断A 1A2B2的形状，并给出证明； (2) 乙船每小时航行多少海里？ 4( 2017 临沂 ) 数学课上， 张老师出示了问题：如图 1， AC， BD是四边形ABCD 的对角线，若 ACB ACD ABD ADB 60，则线段BC ，CD ，AC三者 之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长 CB到 E，
5、使 BECD ， 连接 AE.证得 ABE ADC ，从而容易证明 ACE是等边三角形故AC CE ， 所以 AC BC CD. 图 1 图 2 图 3 小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将 ABC绕着点 A逆时针旋转60，使AB与 AD重合，从而容易 证明 ACF是等边三角形，故AC CF，所以 AC BC CD. 在此基础上，同学们做了进一步的研究： (1) 小颖提出：如图4，如果把“ ACB ACD ABD ADB 60”改为“ ACB ACD ABD ADB 45”，其他条件不变，那么线段BC ，CD ，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请 你写出结论，并给出证明 图 4
6、 图 5 (2) 小华提出：如图5，如果把“ ACB ACD ABD ADB 60”改为“ ACB ACD ABD ADB ”，其他条件不变，那么线段BC ，CD ， AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你 写出结论，不用证明 5( 2017 济宁 ) 定义：点 P是ABC内部或边上的点( 顶点除外 ) ，在 PAB ，PBC ，PCA 中，若至少有 一个三角形与 ABC 相似，则称点P是ABC的自相似点 图 1 例如：如图1，点 P在ABC的内部， PBC A，BCP ABC ，则 BCP ABC ，故点P是ABC的自 相似点 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平
7、面直角坐标系中，点M是曲线 y3 3 x (x0) 上的任意一点，点N是 x 轴正半轴上的任意一点 (1) 如图 2，点 P是 OM 上一点， ONP M ，试说明点P是MON 的自相似点；当点M的坐标是 (3， 3)， 点 N的坐标是 (3，0) 时，求点P的坐标； 图 2 图 3 (2) 如图 3，当点 M的坐标是 (3 ，3) ，点 N的坐标是 (2，0) 时，求 MON的自相似点的坐标； (3) 是否存在点M和点 N，使 MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理 由 参考答案 12 2(1) 证明：对任意一个完全平方数m ，设 m n 2(n 为正整数 )
8、|n n| 0 为最小， nn 是 m的最佳分解 对任意一个完全平方数m ，总有 F(m) n n1. (2) 解：设交换t 的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ， 则 t 10yx， t为“吉祥数”， t t (1 0yx) (10x y) 9(y x) 36， y x4. 1xy9， x，y 为自然数， 满足条件的“吉祥数”有：15，26，37，48，59. (3) 解： F(15) 3 5，F(26) 2 13 ，F(37) 1 37， F(48) 6 8 3 4，F(59) 1 59， 3 4 3 5 2 13 1 37 1 59， 所有“吉祥数”中，F(t) 的最大值是 3 4.
9、 3解： (1) A1A2B2是等边三角形证明如下： 如图，连接A1B2. 甲船 以每小时302海里的速度向正北方向航行，航行20 分钟到达A2， A1A2302 1 310 2. 又A 2B2102，A1A2B260， A1A2B2是等边三角形 (2) 如图，B 1N A1A2， A 1B1N180B1A1A218010575， A1B1B2751560. A 1A2B2是等边三角形， A 2A1B260， A1B2A1A2102， B1A1B21056045. 在B1A1B2中， A1B2102，B1A1B245，A 1B1B260， 由阅读材料可知， B1B2 sin 45 A1B2 s
10、in 60 ， 故 B1B2 102 2 2 3 2 203 3 ， 所以乙船每小时航行 203 3 1 320 3( 海里 ) 4解： (1)BCCD 2AC. 证明：如图，延长CB到 E，使 BE CD ，连接 AE. ACB ACD ABD ADB 45， AB AD ，BAD BCD 180， ABC ADC 180. 又ABE ABC 180. ABE ADC ， ABE ADC ， AEB ACD 45， AEB ACB 45， CAE 90， 即ACE是等腰直角三角形， CE 2AC ，BC CD 2AC. 5解： (1) ONP M ，NOP MON ， ONP OMN ， 点
11、 P是MON 的自相似点 如图 1，过点 P作 PD x轴于 D点， 图 1 则 tan POD MN ON 3， MON 60. ONP OMN ， OPN MNO 90. 在 RtOPN中， OP ON cos 60 3 2 ， OD OP cos 60 3 2 1 2 3 4 ， PD OP sin 60 3 2 3 2 3 4，P( 3 4 ，3 4) (2) 如图 2，过点 M作 MH x轴于 H点， 图 2 M(3，3) ，N(2，0) ， OM 23，直线 OM 的表达式为y 3 3 x，ON MN 2. P1是MON 的自相似点， 当P 1ON NOM时， P1O P1N， 过
12、点 P1作 P1Q x轴于 Q点， OQ 1 2ON 1. 设 P1(1 ，y) ，点 P1在直线 OM 上， y 3 3 1 3 3 ，P1(1 ， 3 3 ) 当P2NM NOM时， P2N ON MN MO ， P2N 23 3 . 易知 MON OMN 30， ONM 120， 且 P2M P2N， P2Nx轴，P2的纵坐标为 23 3 . 设 P2(x ，2 3 3 ) ， 点 P2在直线 OM 上， 23 3 3 3 x， 解得 x2，P2(2 ， 23 3 ) 综上所述， MON的自相似点为 (1 ， 3 3 ) 或(2 ，2 3 3 ) (3) 存在， M( 3，3) ，N(23，0)