选修1-1圆锥曲线与方程测试题精选有答案..pdf

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1、圆锥曲线与方程测试题 一选择题（共10 小题，满分50 分，每小题5 分） 1 （5 分）椭圆的焦点坐标为（5，0）和（ 5，0） ，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 2 （5 分） （2012?泸州二模）方程所表示的曲线是（） A直 线B椭圆C双曲线D圆 3 （5 分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（） A BCD 4 （5 分） （2011?昌平区二模）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，点 P是平面 ABCD 内的 一个动点，且满足PM=2 ，P 到直线 A1D

2、1的距离为，则点 P 的轨迹是（） A两 个点B直线C圆D椭圆 5 （5 分） （2008?奉贤区二模）给出下列3 个命题： 在平面内，若动点M 到 F1（ 1，0） 、 F2（1，0）两点的距离之和等于 2，则动点M 的轨迹是以F1，F2为焦点 的椭圆； 在平面内，已知 F1（ 5， 0） ， F2（ 5， 0） ， 若动点 M 满足条件： |MF1| |MF2|=8， 则动点 M 的轨迹方程是； 在平面内，若动点M 到点 P（1，0）和到直线xy2=0 的距离相等，则动点M 的轨迹是抛物线 上述三个命题中，正确的有（） A0 个B1 个C2 个D3 个 6 （5 分） （2012?淮北一模

3、）已知圆的方程为x 2+y2=4，若抛物线过点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，且以圆的切线为准 线，则抛物线的焦点轨迹方程为（） A BCD 7 （5 分） （2014?福建）设P，Q 分别为圆x 2+（y6）2=2 和椭圆 +y 2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 （） A5 B+C7+D6 8 （5 分） （2014?江门一模）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 CC1的中点， F 是侧面 B1BCC1上的动 点，并且 A1F平面 AED1，则动点F 的轨迹是（） A圆B椭圆C抛物线D线段 9 （ 5 分） （2014?邯郸二模）过抛物线y 2=4x 焦

4、点的直线交抛物线于 A，B 两点，若 |AB|=8 ，则直线 AB 的倾斜角为 （） A BCD 10 （5 分） （2012?山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，与双曲线x 2y2 =1 的渐近线有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 二填空题（共5 小题，满分25 分，每小题5 分） 11 （5 分） （2014?安徽模拟）椭圆+=1 与双曲线=1 有相同的焦点，则实数m 的值是_ 12 （5 分） （2013?重庆模拟）已知实数m 是 2，8 的等比中项，则圆锥曲线=1 的离心率为_ 13 （

5、5 分）已知下列命题命题： 椭圆中，若 a，b，c 成等比数列，则其离心率； 双曲线 x 2y2=a2 （a0）的离心率且两条渐近线互相垂直； 在正方体上任意选择4 个顶点，它们可能是每个面都 是直角三角形的四面体的4 个顶点； 若实数 x，y 1，1，则满足 x 2+y2 1 的概率为 其中正确命题的序号 是_ 14 （5 分） （2014?马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论： 设 A、B 为两个定点， k 为非零常数，|=k，则动点P 的轨迹为双曲线； 过定圆 C 上一定点A 作圆的动点弦AB，O 为坐标原点，若=（+） ，则动点P 的轨迹为圆； 方程 4x 212x+5=0 的两根可

6、分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线=1 与椭圆+=1 有相同的焦点 椭圆 C：+y 2=1 上满足 ?=0 的点 M 有 4 个（其中 F1，F2为椭圆 C 的焦点） 其中正确结论的序号为_（写出所有正确结论的序号） 15 （5 分） （2012?茂名二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F1， F2，且它们在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，双曲线的离心率的值为 2， 则该椭圆的离心率的值为_ 三解答题（共6 小题） 16 （2015?洛阳一模）已知F1，F2是椭圆 C +=1 的左，右焦点，以线段

7、F1F2为直径的圆与圆C 关于直线x+y 2=0 对称 （l）求圆 C 的方程； （2）过点 P（ m，0）作圆 C 的切线，求切线长的最小值以及相应的点P 的坐标 17 （2015?兴国县一模）已知抛物线y 2=2px（p0） ，焦点为 F，一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，且 |AF|+|BF|=8 ， 且 AB 的垂直平分线恒过定点S（6，0） 求抛物线方程； 求ABS 面积的最大值 18 （2014?天津一模）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为 8 （1）求椭圆的方程； （2）四边形ABCD 的顶点在椭圆C 上，且对角线AC， BD 均过坐标原

8、点O，若 kAC?kBD= 求的范围； 求四边形 ABCD 的面积 19（2015?杨浦区一模） 如图，曲线 由曲线 C1： 和曲线 C2： 组成，其中点F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若 F2（2， 0） ，F3（ 6，0） ，求曲线 的方程； （2）如图，作直线l 平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点 A、B，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一 条渐近线上； （3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线l1过点 F4交曲线 C1于点 C、D，求 CDF1面积的最大值 20 （2014?福建）已知双曲线E：=1（a0，b0）

9、的两条渐近线分别为l1：y=2x ，l2：y=2x （1）求双曲线E 的离心率； （2）如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l1，l2于 A，B 两点（ A，B 分别在第一、第四象限），且 OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E 的方程，若 不存在，说明理由 21 （2013?江西）如图，椭圆C：经过点 P（1，） ，离心率e= ，直线 l 的方程为x=4 （1）求椭圆C 的方程； （2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P） ，设直线AB 与直线 l 相交于点M，记 PA，PB，PM 的斜率分别 为 k1，k2，k3

10、问：是否存在常数 ，使得 k1+k2= k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 圆锥曲线与方程测试题 参考答案与试题解析 一选择题（共10 小题，满分50 分，每小题5 分） 1 （5 分）椭圆的焦点坐标为（5，0）和（ 5，0） ，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 考点 ： 圆锥曲线的实际背景及作用 专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：根据椭圆的焦点坐标为（5，0）和（ 5， 0） ，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，可得椭圆的焦点在x 轴上， c=5，a=13，从而可求b，即可求出椭圆的方程 解答：解：

11、椭圆的焦点坐标为（5，0）和（ 5，0） ，椭圆上一点与两焦点的距离和是26， 椭圆的焦点在x 轴上， c=5，a=13， b=12， 椭圆的方程为+=1 故选： A 点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键 2 （5 分） （2012?泸州二模）方程所表示的曲线是（） A直 线B椭圆C双曲线D圆 考点 ： 椭圆的标准方程 专题 ： 计算题 分析：因为 k 是小于 9 的实数，得到两个分母25k、9k 都是正数，对照圆锥曲线标准方程的形式，可得 所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆，得到正确答案 解答：解： k 9 9k0 且 25 k0 且 25k 9k 所表示的

12、曲线是焦点在x 轴上的椭圆 故选 B 点评：本题给出一个含有字母参数的二次曲线，通过判断所对应的曲线类型，考查了椭圆的标准方程的知识点， 属于基础题 3 （5 分）已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（） A BCD 考点 ： 圆锥曲线的实际背景及作用；抛物线的简单性质 专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 由抛物线得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点和c，再利用离心率计算公式即可得出 解答： 解：由抛物线得准线方程为y=，因此双曲线的一个焦点为， c= 双曲线化为， a=1， 双曲线的离心率= 故选 C 点评：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，属于基础题 4

13、（5 分） （2011?昌平区二模）正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，点 P是平面 ABCD 内的 一个动点，且满足PM=2 ，P 到直线 A1D1的距离为，则点 P 的轨迹是（） A两 个点B直线C圆D椭圆 考点 ： 椭圆的定义 专题 ： 计算题 分析：过 P 作 PEAD 垂足为 E，过 E 作 ENA1D1，连接 PN，则可得PNA1D1可得，由 NE=2 ，可得 PE=1，由 PM=2 可得点 P的轨迹是以M 为圆心以2 为半径的圆，由PE=1 可得点 P 的轨迹是与AD 平行 且距 AD 的距离为1 的直线，两者的公共部分即为所求 解答：解：过

14、P作 PEAD 垂足为 E，过 E 作 ENA1D1，连接 PN，则可得PNA1D1 从而可得 所以 RtPNE 中， NE=2，所以 PE=1 由 PM=2 可得点 P 的轨迹是以M 为圆心以2 为半径的圆，由PE=1 可得点 P 的轨迹是与AD 平行且距AD 的距离为1 的直线 从而可得满足条件的点P的轨迹是直线与圆心公共部分即两个交点 故选： A 点评：本题以正方体的性质的应用为考查切入点，主要考查了正方体中线线垂足的相互转化，点的轨迹的求解等 知识的综合应用，属于知识的简单综合 5 （5 分） （2008?奉贤区二模）给出下列3 个命题： 在平面内，若动点M 到 F1（ 1，0） 、

15、F2（1，0）两点的距离之和等于 2，则动点M 的轨迹是以F1，F2为焦点 的椭圆； 在平面内，已知 F1（ 5， 0） ， F2（ 5， 0） ， 若动点 M 满足条件： |MF1| |MF2|=8， 则动点 M 的轨迹方程是； 在平面内，若动点M 到点 P（1，0）和到直线xy2=0 的距离相等，则动点M 的轨迹是抛物线 上述三个命题中，正确的有（） A0 个B1 个C2 个D3 个 考点 ： 椭圆的定义；抛物线的定义；双曲线的定义 专题 ： 综合题 分析：对选项一一进行分析：对于 在平面内，若动点M 到 F1（ 1，0） 、F2（1，0）两点的距离之和等于2， 而 2 正好等于两定点F1

16、（ 1，0） 、F2（1，0）的距离，则动点M 的轨迹是以F1， F2为端点的线段； 在 平面内，已知F1（ 5，0） ，F2（5，0） ，若动点M 满足条件： |MF1| |MF2|=8，则动点 M 的轨迹是双曲线 的一支，；对于 在平面内，若动点M 到点 P（ 1，0）和到直线x y2=0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知，动点M 的轨迹是抛物线 解答：解：对于 在平面内，若动点M 到 F1（ 1，0） 、F2（1，0）两点的距离之和等于2，而 2 正好等于两定 点 F1（ 1，0） 、F2（1，0）的距离，则动点M 的轨迹是以F1，F2为端点的线段故错； 在平面内，已知F1（ 5，0）

17、 ，F2（ 5，0） ，若动点 M 满足条件： |MF1|MF2|=8，则动点 M 的轨迹是双 曲线的一支，其方程是（x0） 故错； 对于 在平面内，若动点M 到点 P（1，0）和到直线xy2=0 的距离相等，根据抛物线的定义知，动点 M 的轨迹是抛物线正确 上述三个命题中，正确的有 ， 故选 B 点评：本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等基础知识，属于基础题 6 （5 分） （2012?淮北一模）已知圆的方程为x 2+y2=4，若抛物线过点 A（ 1，0） ，B（1，0） ，且以圆的切线为准 线，则抛物线的焦点轨迹方程为（） A BCD 考点 ： 椭圆的标准方程 专题 ：

18、计算题；压轴题 分析：设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和 b 的关系，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A， B 到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后求得x 和 y 的关系式 解答：解：设切点为（a，b） ， a 2+b2 =4，则切线为：ax+by4=0 设焦点（ x，y） ，由抛物线定义可得： （x 1）2+y 2= ， （ x+1） 2+y2 = ， 消去 a 得：故抛物线的焦点轨迹方程为（y 0） （依题意焦点不能与A，B 共线 y 0 ） 故抛物线的焦点轨迹方程为 故选 C 点评：本题主要考查了椭圆的标准方程考查了学生数形结合的思想及综合分

19、析问题的能力 7 （5 分） （2014?福建）设P，Q 分别为圆x 2+（y6）2=2 和椭圆 +y 2=1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 （） A5 B+C7+D6 考点 ： 椭圆的简单性质；圆的标准方程 专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q 两点间的最大距离 解答：解：设椭圆上的点为（x， y） ，则 圆 x 2+（y6）2=2 的圆心为（ 0， 6） ，半径为 ， 椭圆上的点与圆心的距离为= 5， P，Q 两点间的最大距离是5+=6 故选： D 点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属

20、于基础题 8 （5 分） （2014?江门一模）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 CC1的中点， F 是侧面 B1BCC1上的动 点，并且 A1F平面 AED1，则动点F 的轨迹是（） A圆B椭圆C抛物线D线段 考点 ： 抛物线的定义 专题 ： 计算题；空间位置关系与距离 分析：取棱 BB1的中点 N，棱 B1C1的中点，证明平面A1NM 平面 AED1，F 是侧面 B1BCC1上的动点，可得F 是线段 MN 上的点时， A1F平面 AED1，即可得出结论 解答：解：取棱BB1的中点 N，棱 B1C1的中点，则MN BC1， BC1 AD1， MN AD1， MN ? 平

21、面 AED1，AD1? 平面 AED1， MN 平面 AED1， 同理， A1N平面 AED1， MN A1N=N ， 平面 A1NM 平面 AED1， F 是侧面 B1BCC1上的动点， F 是线段 MN 上的点时， A1F平面 AED1， 故选： D 点评：本题考查轨迹问题，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 9 （ 5 分） （2014?邯郸二模）过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，若 |AB|=8 ，则直线 AB 的倾斜角为 （） A BCD 考点 ： 抛物线的标准方程 专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：分 =90 时，易知不成

22、立，当90 时，设直线方程为：y=tan （x1） ，与抛物线方程联立，再由韦达定理 和抛物线过焦点的弦长公式求得其倾斜角 解答：解：当 =90 时， |AB|=4 不成立 当 90 时，设直线方程为：y=tan （x1） 与抛物线方程联立得： （tan ） 2x2（ 2（tan ）2+4）x+（tan ）2=0 由韦达定理得：x1+x2= |AB|=x1+x2+p= +2=8 tan = 1 = 故选： B 点评：本题主要考查直线与抛物线的位置及弦长公式，特别是抛物线过焦点的弦，要灵活地选择公式，提高解题 效率 10 （5 分） （2012?山东）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，与双

23、曲线x 2y2 =1 的渐近线有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（） A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 考点 ： 圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质 专题 ： 综合题 分析：由题意， 双曲线 x2y2=1 的渐近线方程为 y= x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2， 2）在椭圆C：+=1利用，即可求得椭圆方程 解答： 解：由题意，双曲线x 2y2=1 的渐近线方程为 y= x 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， （ 2，2）在椭圆 C：+=1（a b0）上 a 2=4b2 a 2=20，

24、b2=5 椭圆方程为：+=1 故选 D 点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键 二填空题（共5 小题，满分25 分，每小题5 分） 11 （5 分） （2014?安徽模拟）椭圆+=1 与双曲线=1 有相同的焦点，则实数m 的值是1 考点 ： 圆锥曲线的共同特征 分析：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得 解答： 解：椭圆得 c1= ， 焦点坐标为（，0） （，0） ， 双曲线：的焦点必在x 轴上， 则半焦距c2= 则实数 m=1 故答案为： 1 点评：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、

25、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的 应用，利用条件求出a，b，c 值，是解题的关键 12 （5 分） （2013?重庆模拟）已知实数m 是 2，8 的等比中项，则圆锥曲线=1 的离心率为5 考点 ： 圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质 专题 ： 综合题 分析：根据实数m 是 2， 8 的等比中项，确定实数m 的值，再利用离心率的公式，即可求得结论 解答：解：由题意，实数m 是 2，8 的等比中项， m2=2 8 m= 4 m=4 时，方程为，表示椭圆，离心率为； m=4 时，方程为，表示双曲线，离心率为 综上所述，圆锥曲线=1 的离心率为或 故答案为：或 点评：本题考查等比数列，考

26、查圆锥曲线的离心率，解题的关键是正确运用离心率公式 13 （5 分）已知下列命题命题： 椭圆中，若 a，b，c 成等比数列，则其离心率； 双曲线 x 2y2=a2 （a0）的离心率且两条渐近线互相垂直； 在正方体上任意选择4 个顶点，它们可能是每个面都 是直角三角形的四面体的4 个顶点； 若实数 x，y 1，1，则满足 x 2+y2 1 的概率为 其中正确命题的序号 是 考点 ： 圆锥曲线的共同特征 专题 ： 综合题；压轴题 分析： 根据 a，b，c 成等比数列得出a， b，c 的关系，进而可求得c 关于 a 的表达式，进而根据求得 e 由双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直

27、线垂直，推断出其斜率之积为1 进而 求得 a 和 b 的关系，进而根据c=求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得 找出正方体中的四面体的各种图形，例如侧棱垂直底面直角三角形的四面体即可判断 的正误； 用几何概型判断即可 解答： 解： 已知 a，b，c 成等比数列，ac=b2，椭圆的离心率，故正确； 双曲线 x 2y2=a2（ a0） ，则双曲线的渐近线方程为 y= x 两条渐近线互相垂直， a 2=b2， c=a e= =，故正确； 如四面体B1ABD ；故正确； 概率应为1，故错 故答案是 点评：本题主要考查了椭圆的基本性质，考查了双曲线的简单性质解答关键是学生转化和化归思想和对圆锥

28、曲 线的基础知识的把握程度 14 （5 分） （2014?马鞍山三模）对于圆锥曲线，给出以下结论： 设 A、B 为两个定点， k 为非零常数，|=k，则动点P 的轨迹为双曲线； 过定圆 C 上一定点A 作圆的动点弦AB，O 为坐标原点，若=（+） ，则动点P 的轨迹为圆； 方程 4x 212x+5=0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线=1 与椭圆+=1 有相同的焦点 椭圆 C：+y 2=1 上满足 ?=0 的点 M 有 4 个（其中 F1，F2为椭圆 C 的焦点） 其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号） 考点 ： 圆锥曲线的共同特征 专题 ： 综合题；圆锥曲线的定义、性质

29、与方程 分析： 不正确若动点P 的轨迹为双曲线，则|k|要小于 A、B 为两个定点间的距离； 设出定圆的方程，利用 代入法分析可知AB 中点 P的轨迹为圆（除去 A 点） ； 求出方程的两根即可得到答案； 双曲线=1 与椭圆+=1 有相同的焦点 （ 5，0） ； 椭圆 C：+y 2=1 上满足 ?=0 的点 M 有 2 个 （0， 1） 解答：解： 不正确若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于 A、 B 为两个定点间的距离当|k|大于 A、B 为两 个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线； 对于 ，设定圆C 的方程为x 2+y2+Dx+Ey+F=0 ，点 A（m，n） ，P（x， y） ，由

30、=（+） ，可知 P 为 AB 的中点，则B（ 2xm，2yn） ，因为 AB 为圆的动弦，所以B 在已知圆上，把B 的坐标代入圆 x 2+y2+Dx+Ey+F=0 得到 P 的轨迹仍为圆，当 B 与 A 重合时 AB 不是弦，所以点A 除外，所以 不正确； 因为 4x212x+5=0 的两根是1.25，0.5，椭圆的离心率范围是（0，1） ，双曲线的离心率范围是（1， +） ， 所以 正确； 双曲线=1 与椭圆+=1 有相同的焦点（ 5，0） ，正确； 椭圆 C：+y 2=1 上满足 ?=0 的点 M 有 2 个（ 0， 1） （其中 F1，F2为椭圆 C 的焦点），不正确 故答案为： 点评

31、：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题 15 （5 分） （2012?茂名二模）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F1， F2，且它们在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，双曲线的离心率的值为 2， 则该椭圆的离心率的值为 考点 ： 圆锥曲线的共同特征 专题 ： 综合题 分析： 利用离心率的定义，及双曲线的离心率的值为2，|PF1|=10，|F1F2|=|PF2|，可求得 |PF2|= ，再利用椭圆的离 心率 e2= ，可得结论 解答： 解：由题意知双曲

32、线的离心率e1= =2， 又 |PF1|=10，|F1F2|=|PF2|， |PF2|= 椭圆的离心率e2= = 故答案为： 点评：本题考查椭圆与双曲线的几何性质，解题的关键是正确运用离心率的定义，属于中档题 三解答题（共6 小题） 16 （2015?洛阳一模）已知F1，F2是椭圆 C +=1 的左，右焦点，以线段F1F2为直径的圆与圆C 关于直线x+y 2=0 对称 （l）求圆 C 的方程； （2）过点 P（ m，0）作圆 C 的切线，求切线长的最小值以及相应的点P 的坐标 考点 ： 椭圆的简单性质；圆的标准方程；直线与圆的位置关系 专题 ： 直线与圆 分析：（ 1）关键是求出以线段F1F2

33、为直径的圆的圆心关于直线x+y 2=0 对称的点即圆C 的圆心，半径是 =1； （ 2）切线、圆半径、点P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点P到圆心的距离最小 解答：解： （1）由题意知， F1（ 1，），F2（1， 0） ，线段 F1F2的中点坐标为原点 设点 0 关于直线x+y 2=0 对称的点C 坐标为（x0，y0） ，则， ， 解得，即 C（2，2） ， 半径为=1， 所以圆 C 的方程为：（ x2） 2+（y2）2=1； （ 2）切线长：， 当 |PC|最小时，切线长取得最小值， 当 PC 垂直于 x 轴，及点P 位于（ 2，0）处时， |PC|min=2， 此时切线长

34、取最小值 点评：本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题 17 （2015?兴国县一模）已知抛物线y 2=2px（p0） ，焦点为 F，一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，且 |AF|+|BF|=8 ， 且 AB 的垂直平分线恒过定点S（6，0） 求抛物线方程； 求ABS 面积的最大值 考点 ： 抛物线的标准方程；抛物线的简单性质 专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 利用点差法，确定AB 中点 M 的坐标，分类讨论，根据AB 的垂直平分线恒过定点S（6，0） ，即可求抛 物线方程； 分类讨论，求出ABS 面积的表达式，即可求得其最大值 解答：解： 设 A（ x1，y1） ，

35、 B（x2， y2） ，AB 中点 M（x0，y0） 当直线的斜率存在时，设斜率为k，则由 |AF|+|BF|=8 得 x1+x2+p=8， 又得， 所以 依题意， p=4 抛物线方程为y2=8x（ 6 分） 当直线的斜率不存在时，2p=8，也满足上式，抛物线方程为y2=8x 当直线的斜率存在时，由（2，y0）及 ， 令 y=0，得 又由 y 2=8x 和 得： =（ 12 分） 当直线的斜率不存在时，AB 的方程为x=2，|AB|=8 ，ABS 面积为 ， ABS 面积的最大值为 点评：本题考查抛物线的标准方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题 18 （2014?天津一模

36、）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为 8 （1）求椭圆的方程； （2）四边形ABCD 的顶点在椭圆C 上，且对角线AC， BD 均过坐标原点O，若 kAC?kBD= 求的范围； 求四边形 ABCD 的面积 考点 ： 椭圆的简单性质 专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程 分析：（ 1）利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、a2=b2+c2即可得出； （ 2） （i）设直线AB 的方程为y=kx+m ，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、 数量积运算即可得出； （ ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边形的面积公式即可得出

37、 解答： 解： （1）由已知可得：， 于是 c=2，b=2，a 2=8， 椭圆的方程为 （ 2）当直线AB 的斜率不存在时，=2，的最大值为2 当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立，得（ 1+2k2）x2+4kmx+2m 28=0， =16k 2m24（1+2k2） （2m28） =8（8k 2 m2+4） 0， ， ， = y1y2=（kx1+m） （kx2+m）=， ， 4k2+2=m2， =x1x2+y1y2= =， ， 因此，综上可得： 设原点到直线AB 的距离为d，则 则 SAOB= = = =， 又 4k2m

38、2=2， SAOB=2 S四边形 ABCD=4SAOB= 点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜 率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计 算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题 19（2015?杨浦区一模） 如图，曲线 由曲线 C1： 和曲线 C2： 组成，其中点F1，F2为曲线 C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线 C2所在圆锥曲线的焦点， （1）若 F2（2， 0） ，F3（ 6，0） ，求曲线 的方程； （2）如图，作直线l 平行于曲线C2的

39、渐近线，交曲线C1于点 A、B，求证：弦AB 的中点 M 必在曲线 C2的另一 条渐近线上； （3）对于（ 1）中的曲线 ，若直线l1过点 F4交曲线 C1于点 C、D，求 CDF1面积的最大值 考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 ： 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析： （ 1）由 F2（2， 0） ，F3（ 6，0） ，可得，解出即可； （ 2） 曲线 C2的渐近线为， 如图，设点 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， M （ x0， y0） ， 设直线 l： y=， 与椭圆方程联立化为2x 22mx+（m2a2）=0， 利用 0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，

40、即可 （ 3）由（ 1）知，曲线C1：，点 F4（6， 0） 设直线l1的方程为 x=ny+6 （n0） 与 椭圆方程联立可得（5+4n2） y2+48ny+64=0 ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基 本不等式的性质即可得出 解答：（ 1）解： F2（2，0） ，F3（ 6，0） ， ， 解得， 则曲线 的方程为和 （ 2）证明：曲线C2的渐近线为， 如图，设直线l：y=， 则，化为 2x2 2mx+（m2a 2）=0， =4m 28（m2a2） 0， 解得 又由数形结合知 设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ， 则 x1+x2=m，x1x2

41、= ， =， ，即点 M 在直线 y=上 （ 3）由（ 1）知，曲线C1：，点 F4（6， 0） 设直线 l1的方程为x=ny+6 （n0） ，化为（ 5+4n2）y 2+48ny+64=0 ， =（48n） 24 64 （5+4n2） 0，化为 n21 设 C（x3，y3） ，D（ x4，y4） ， ， |y3y4|= =， =， 令 t=0， n2=t 2+1， =，当且仅当t=，即 n=时等号成立 n=时，= 点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、 弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属

42、于难题 20 （2014?福建）已知双曲线E：=1（a0，b0）的两条渐近线分别为l1：y=2x ，l2：y=2x （1）求双曲线E 的离心率； （2）如图， O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l1，l2于 A，B 两点（ A，B 分别在第一、第四象限），且 OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E 的方程，若 不存在，说明理由 考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题 专题 ： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （ 1）依题意，可知=2，易知 c=a，从而可求双曲线E 的离心率； （ 2）由（ 1）知，双曲线E 的方程为=1，

43、设直线l 与 x 轴相交于点C，分 l x 轴与直线l 不与 x 轴垂直讨论，当lx 轴时，易求双曲线E 的方程为=1当直线 l 不与 x 轴垂直时，设直线l 的方程 为 y=kx+m ， 与双曲线 E 的方程联立，利用由 SOAB= |OC|?|y1y2|=8可证得：双曲线 E 的方程为=1， 从而可得答案 解答：解： （1）因为双曲线E 的渐近线分别为l1：y=2x ，l2： y=2x， 所以=2 所以=2 故 c=a， 从而双曲线E 的离心率e= = （ 2）由（ 1）知，双曲线E 的方程为=1 设直线 l 与 x 轴相交于点C， 当 lx 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点

44、，则|OC|=a，|AB|=4a， 所以|OC|?|AB|=8 ， 因此a?4a=8，解得 a=2，此时双曲线E 的方程为=1 以下证明：当直线l 不与 x 轴垂直时，双曲线E 的方程为=1 也满足条件 设直线 l 的方程为y=kx+m ，依题意，得k2 或 k 2； 则 C（，0） ，记 A（ x1，y1） ，B（x2， y2） ， 由得 y1= ，同理得y2=， 由 SOAB= |OC|?|y1 y2|得： |?|=8，即 m 2=4|4k2|=4（k24） 因为 4k20， 所以 =4k 2m2+4（4 k2） （m2 +16）=16（ 4k 2m216） ， 又因为 m2=4（k24）

45、 ， 所以 =0，即直线l 与双曲线 E 有且只有一个公共点 因此，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E，且 E 的方程为=1 点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能 力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想 21 （2013?江西）如图，椭圆C：经过点 P（1，） ，离心率e= ，直线 l 的方程为x=4 （1）求椭圆C 的方程； （2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P） ，设直线AB 与直线 l 相交于点M，记 PA，PB，PM 的斜率分别 为 k1，k2，k3问：是否存在

46、常数 ，使得 k1+k2= k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题 ： 综合题；压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： （ 1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e= ，将 a， b 用 c 表示出来代入方程，解得c，从而解得a， b，即可得到椭圆的标准方程； （ 2）方法一：可先设出直线AB 的方程为y=k （x1） ，代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程， 设 A（x1，y1） ，B（ x2，y2） ，利用根与系数的关系求得x1+x2= ，再求点M 的 坐标，分别表示出k1，k2，k3比较 k1+k2= k3即可求得参数的值； 方法二：设B（x0，y0） （x0 1） ，以之表示出直线 FB 的方程为，由此方程求得M 的 坐标，再与椭圆方程联立，求得A 的坐标，由此表示出k1， k2，k3比较 k1+k2= k3即可求得参数的值 解答： 解： （1）椭圆 C：经过点 P （1，） ，可得 由离心率e= 得=，即 a=2c，则 b2=3c2 ，代入 解得 c=1，a=2，b= 故椭圆的方程为 （ 2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k，则直线AB 的方程为y=k （x1） 代入椭圆方程并整理得（ 4k 2 +3）x 28k2x+4k2