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1、金山中学 2015 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷 （考试时间：90 分钟满分： 100 分） 一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分 1. 计算： 13 2 lim n n n _ 2. 若 5 3 sin，且), 2 (，则tan= 3. 利用数学归纳法证明“ 2 21 1 1(1) 1 n n a aaaanN a ，” ，在验证1n成立时， 等号左边是 . 4. 函数xy 2 sin2的最小正周期为_. 5. 已知2tan，则 cossin2 cos2sin . 6. 函数xya
2、rccos在 2 1 ,1(x的值域是 . 7 . 设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为)0(qq，所有项和为1，则首项 1 a的取值范围 是 . 8. 已知数列 n a满足：1 21aa， 4 1 2321n n aaaa aNnn, 3， 则 6a 9. 对于函数)(xf和实数M，若存在 * ,Nnm，使)2()1()(mfmfmf Mnmf)(成立，则称),(nm为函数)(xf关于M的一个“生长点”若)2, 1(为函数 32 co s)(xxf关于M的一个“生长点” ，则M . 10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆， 设1OA, 则阴影部分的面
3、积是 . 11. 对任意的 2 ,0，不等式12 cos 4 sin 1 22 m 恒成立， 则实数 m的取值范围是 . 12已知函数 *sin ( )() sin n nx fxnN x ，关于此函数的说法正确的序号是 . ( )() n fxnN为周期函数；( ) () n fxnN有对称轴； (0) 2 ，为 ( ) () n fxnN的对称中心； * ( )() n fxn nN. 二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3 分，否则一律得零分 13. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别
4、为 a，b，c，则“a b”是“AbBacoscos” 的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14. 同时具有性质： 最小正周期是； 图像关于直线 3 x对称； 在区间, 6 5 上是 “单 调递增函数”的一个函数可以是（） Acos() 26 x y Bsin(2) 6 yx Ccos(2) 3 yx Dsin(2) 6 yx 15. 已知数列 n a，对于任意的正整数n， )2017( .) 3 1 (2 )20161 (1 2016 n n a n n ， ，设 n S表示数列 n a的 前n项和下列关于 n n Slim的结论，正确的是
5、（） A1lim n n S B2015lim n n S C )2017(.1 )20161 (2016 lim n n Sn n ， （*Nn） D以上结论都不对 16德国数学家科拉茨1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将 它减半( 即 2 n ) ；如果n是奇数，则将它乘3 加 1(即31n) ，不断重复这样的运算，经过有 限步后，一定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研 究：如果对正整数n ( 首项 ) 按照上述规则施行变换后的第6 项为 1（注： 1 可以多次出现 ) ， 则n的所有不同值的个数为（） A3 B4 C5 D
6、32 三、解答题 （本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤 17 （本题满分8 分） 已知, 0, 5 1 cossin求2sin和cossin的值 解： 18 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，且 CbBcAacoscoscos2 （1）Acos的值； （2）若4 22 cb，求ABC的面积 解： 19 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知等差数列 n a满足7 3 a
7、，26 75 aa，其前n项和为 n S. （1）求 n a的通项公式及 n S； （2）令 1 () n n bn Sn N，求数列 n b的前n项和 n T，并求 n n Tlim 的值 . 解： 20 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知函数)()cos(sincos2)(Rmmxxxxf， 将)(xfy的图象向左平移 4 个单位后 得到)(xgy的图象，且)(xgy在区间 4 ,0内的最大值为 2 （1）求实数m的值； （2）求函数)(xgy与直线1y相邻交点间距离的最小值. 解： 21 （本题满分14 分，共有2 小题，第1 小题满分
8、4 分，第 2 小题满分4 分, 第 3 小题满分6 分） 正项数列 :*),4(, 21 Nmmaaa m ，满足 : *),(, 1321 Nkmkaaaaa kk 是公差 为d的等差数列， kkmm aaaaa, 111 是公比为2 的等比数列 （1）若8,2 1 kda，求数列 m aaa, 21 的所有项的和 m S； （2）若2016,2 1 mda，求m的最大值； （3）是否存在正整数k，满足)(3 121121mmkkkk aaaaaaaa?若存在， 求出k的值；若不存在，请说明理由 解： 金山中学2015 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试卷 （考试时间：90 分钟满分：
9、 100 分） 一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，每个空格填对得3 分，否则一律得零分 1. 计算： 13 2 lim n n n _0 2. 若 5 3 sin，且), 2 (，则tan= 4 3 3. 利用数学归纳法证明“ 2 21 1 1(1) 1 n n a aaaanN a ，” ，在验证1n成立时， 等号左边是 . 2 1aa 4. 函数xy 2 sin2的最小正周期为_. 5. 已知2tan，则 cossin2 cos2sin . 3 4 6. 函数xyarccos在 2 1 ,1(x的值域是 . ), 3 7 .
10、 设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为)0(qq，所有项和为1，则首项 1 a的取值范围 是 . )1 , 0( 8. 已 知 数 列 n a满 足 ：1 21 aa， 4 1 2321n n aaaa aNnn,3， 则 6a 16 3 9. 对于函数)(xf和实数M，若存在 * ,Nnm，使)2()1()(mfmfmf Mnmf)(成立，则称),(nm为函数)(xf关于M的一个“生长点”若)2, 1(为函数 32 co s)(xxf关于M的一个“生长点” ，则M_ _. 2 1 10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆， 设1OA, 则阴影部分的面积
11、是 . 4 2 11. 对任意的 2 ,0，不等式12 cos 4 sin 1 22 m恒成立， 则实数 m的取值范围是 .5 ,4 12已知函数 *sin ( )() sin n nx fxnN x ，关于此函数的说法正确的序号是 . ( ) () n fxnN为周期函数；( ) () n fxnN有对称轴； (0) 2 ，为( ) () n fxnN 的对称中心； * ( )() n fxn nN. 二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3 分，否则一律得零分 13. 在ABC中，角A，B，
12、C所对的边分别为 a，b，c，则“a b”是“AbBacoscos” 的（ C ） A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 14. 同时具有性质： 最小正周期是； 图像关于直线 3 x对称； 在区间, 6 5 上是 “单 调递增函数”的一个函数可以是（ D ） Acos() 26 x y Bsin(2) 6 yx Ccos(2) 3 yx Dsin(2) 6 yx 15. 已知数列 n a ，对于任意的正整数n， )2017( .) 3 1 (2 )20161 (1 2016 n n a n n ， ，设 n S 表示数列n a 的 前n项和下列关于 n
13、 n Slim的结论，正确的是（ B ） A1lim n n S B2015lim n n S C )2017(.1 )20161 (2016 lim n n Sn n ， （*Nn） D以上结论都不对 16 德国数学家科拉茨1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果n是偶数，就将 它减半 ( 即 2 n ) ；如果n是奇数，则将它乘3加 1( 即31n) ，不断重复这样的运算，经过有限步后， 一定可以得到1对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整 数n ( 首项 ) 按照上述规则施行变换后的第6 项为 1（注： 1 可以多次出现 ) ，则n的所有
14、不同值的个 数为（ A ） A3 B4 C5 D32 三、解答题 （本大题满分74 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤 17 （本题满分8 分） 已知, 0, 5 1 cossin 求2sin和cossin的值 . 解： 5 1 cossin， 25 1 2sin1， 25 24 2sin 又,0，0sin，0cos , 2 ， 25 49 2sin1cossin 2 5 7 cossin 8分 18 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知顶点在单位圆上的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c
15、，且 CbBcAacoscoscos2 （1）Acos的值； （2）若4 22 cb ，求ABC的面积 解： （1）2 coscoscosaAcBbC， 2sincossincossincosAACBBC， 2sincossin()AABC， 2分 ABC，sin()sinBCA， 2sincossinAAA 3分 0A，sin0A， 2cos1A， 1 cos 2 A 5分 （2）由 1 cos 2 A，得 3 sin 2 A， 6 分 由2 sin a A ，得2sin3aA 7分 222 2cosabcbcA， 222 431bcbca， 8分 1133 sin 2224 ABC Sbc
16、A 10分 19 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知等差数列 n a满足7 3 a，26 75 aa，其前n项和为 n S. （1）求 n a的通项公式及 n S； （2）令 1 () n n bn Sn N，求数列 n b的前n项和 n T，并求 n n Tlim的值 . 解： （ 1）设等差数列 n a的公差为d， 由26 75 aa，得 6 13a， 又 63 36aad，解得2d 1 分 所以 3 (3)72(3)21 n aandnn 3分 所以 2 1 321 2 22 n n aan Snnnn 5分 （ 2）由 1 n n b
17、 Sn ，得 2 1111 (1)1 n b nnn nnn 7分 设 n b的前n项和为 n T， 则 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 nn Tn 1 1 1 n 9分 1lim n n T 10分 20 （本题满分10 分，共有2 小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题满分5 分） 已知函数)()cos(sincos2)(Rmmxxxxf，将)(xfy的图象向左平移 4 个单位后 得到)(xgy的图象，且)(xgy在区间 4 ,0内的最大值为 2 （1）求实数m的值； （2）求函数)(xgy与直线1y相邻交点间距离的最小值. 解：（ 1）mxxxxf)cos(sin
18、cos2)( mxx12cos2sinmx1) 4 2sin(2 所以，)(xgmx1) 4 2sin(2 2分 x 4 ,0， 4 3 , 44 2x 当 24 2x时，即 8 x时，函数 )(xg 取得最大值 212m ， 则1m 5分 （2）)(xg1) 4 2sin(2x， 2 2 ) 4 2sin( x 4 2 4 2kx或 4 3 2 4 2kx 7分 解得 11 kx或 4 22 kx， 12 ,k kZ. 8分 因为 44 )( 2121 kkxx，当 12 kk时取等号 , 相邻交点间距离的最小值是 4 10分 21 （本题满分14 分，共有2 小题，第1 小题满分4 分，第
19、 2 小题满分4 分, 第 3 小题满分6 分） 正项数列 :*),4(, 21 Nmmaaa m ，满足 : *),(, 1321 Nkmkaaaaa kk 是公差 为d的等差数列， kkmm aaaaa, 111 是公比为2 的等比数列 （1）若8,2 1 kda，求数列 m aaa, 21 的所有项的和 m S； （2）若2016,2 1 mda，求m的最大值； （3）是否存在正整数k，满足)(3 121121mmkkkk aaaaaaaa?若存在， 求出k的值；若不存在，请说明理由 解： （1）由已知 * 8 ,2 ,16 nk km kNan aa， 1分 故 * 1231 ,(,)
20、 kk a aaaakm kN为：2，4，6，8，10，12，14，16； 111 , mmkk a aaaa 公 比为 2，则对应的数为2，4，8，16， 从而 12 , m a aa即为： 2，4，6，8，10，12， 14，16，8，4； 此时 8 216 10,8484 2 m mS 4分 （2） * 1231 , kk a a aaakm kN是首项为2，公差为 2 的等差数列， 故 * ,2 n km kNan，从而2 k ak， 而 111 , mmkk a aaaa首项为 2，公比为2 的等比数列且 2 2 m k k a， 故有 2 22 m k k；即 1 2 m k k,
21、 即k必是 2 的整数幂 又 1 22 mk k，要m最大，k必需最大，2016km，故k的最大值为 10 2， 所以 11034102410210 222222 10 m ，即m的最大值为1033 8分 （3）由数列 1231 , kk a aaaa 是公差为d的等差数列知， 1 1 k aakd，而 111 , mmkk a aaaa 是公比为2 的等比数列，则 km k aa 1 1 2，故 km adka 1 11 2) 1(， 即 1 1 121 mk kda， 又 12111 3 kkkkmm aaaaaaaa， 1 2 m aa，则 11 112 13 2 212 m k kak kda ，即 1 111 1 213221 2 mkmk k akaa，则 )12(6 2 1 2 2 1 1kmkm kk，即12262 11kmkm kk 显然6k，则 11218 21 66 mkk kk ，所以6k，将1,2,3,4,5k，代入验证知， 当4k时，上式右端为8，等式成立，此时6m， 综上可得：当且仅当6m时，存在4k满足等式 14分