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1、函数专题 1、函数的基本性质 复习提问： 1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。 2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题） 3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些） 4、如何求函数的值域。 （常见题型对应的常见方法） 5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题） 6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用 7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类 一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域 C 和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域 的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此， 定义域和对应法则为函数的两
2、个基本条件，当且仅当两个函 数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1） f（x）= 2 x，g（x）= 33 x； （2） f（x）= x x| ，g（x）= ; 01 ,01 x x （3） f（x）= 1212nn x，g（x）=（ 12n x） 2n1（nN*） ； （4） f（x）=x1x，g（x）=xx 2 ； （5） f（x）=x22x 1，g（t）=t 22t1. 二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域： (1) 2 2 1 x (2) 4 2 2
3、x x (3) xx y 1 (4) 241xx (5) 3 1 4 2 x x (8) 3ax （为常数） 2、 （1）已知 f(x)的定义域为 1，2 ，求 f (2x-1)的定义域； （2）已知 f (2x-1)的定义域为 1，2 ，求 f(x)的定义域； 3、若函数 )(xfy 的定义域为 1，1，求函数 ) 4 1 (xfy) 4 1 (xf 的定义域 5、已知函数68 2 kxkxy的定义域为R，求实数k 的取值范围。 三、函数的解析式 求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、 1、换元（或代换）法： 1、已知, 11 ) 1 ( 2 2 xx x x
4、x f 求)(xf. 2、已知（ x ） x ，求 ( ) 的解析式 3、已知函数 2 (1)4f xxx，求函数( )f x，(21)fx的解析式。 2、待定系数法 1、已知函数（）是一次函数，且满足关系式3（ 1）（1），求( )的解析式 2、已知( )f x是二次函数，且 2 (1)(1)24f xf xxx，求( )f x的解析式。 3、解方程法 (1) 、已知函数)(xf满足x x fxf3) 1 (2)(，求)(xf （2） 、已知函数)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，且)(xf+)(xg= 1 1 x 求)(xf 、 )(xg 3、已知函数( )f x满足2( )()34f x
5、fxx，则( )f x= 。 4、设( )f x是 R 上的奇函数，且当0,)x时， 3 ( )(1)f xxx，则当(,0)x时( )f x=_ _ ( )f x在 R 上的解析式为 5、设( )f x与( )g x的定义域是|,1x xRx且，( )f x是偶函数，( )g x是奇函数，且 1 ( )( ) 1 f xg x x ， 求( )f x与( )g x的解析式 四、函数值域的求法 1、配方法：对于求二次函数 2 (0)yaxbx c a或可转化为形如 2 ( )( )( )(0)f xa g xbg xc a的函数的值 域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解. 例
6、1：求二次函数 2 42yxx（1,4x）的值域 . 例 2：求函数 34 2 xx ey的值域 . 例 3：求函数421, 3,2 xx yx的最大值与最小值。 2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化 高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易 于求值域的函数进行求解. 例 6： （整体换元）已知0,2x，求函数 1 2 ( )43 25 x x f x的值域 . 3、不等式法： 例 11：求函数 52 ( ) 1 xx f x x （1x）的值域 . 例 14：求函数 1
7、 22 2 x xx y的值域 . 7、数形结合法： 例 29：求函数13yxx的值域 . 例 30：求函数31yxx的值域。（答案：4,4 题型补充： 五、函数的单调性 1函数单调性的定义： 2.证明函数单调性的一般方法: 定义法：设 2121, xxAxx且；作差)()( 21 xfxf（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式 的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。 用导数证明：若)(xf在某个区间A 内有导数，则( )0fx ，)xA（ )(xf在 A 内为增函数；)0)(Axxf，（ )(xf在 A 内为减函数。 3.求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。 4.复合函数)
8、(xgfy在公共定义域上的单调性： 若 f 与 g 的单调性相同，则)(xgf为增函数； 若 f 与 g 的单调性相反，则)(xgf为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 5一些有用的结论： 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 增函数)(xf增函数)(xg是增函数； 减函数)(xf减函数)(xg是减函数； 增函数)(xf减函数)(xg是增函数； 减函数)(xf增函数)(xg是减函数。 函数)0,0(ba x b axy在, bb aa 或上单调递增； 在,00 bb aa 或，上是单调递 减。 1、函数24)( 2 axxx
9、f在区间)6,(为减函数，则实数a的取值范围是（） A3a B3a C3a D3a 2、函数axxxf2)( 2 与函数 1 )( x a xf在区间 1 ，2 上都是减函数，则实数a的取值范围是（） A)1 ,0()0 , 1( B 1 ,0()0, 1( C)1 ,0( D 1 ,0( 3已知函数 1log 1.) 12( )( xx xaxa xf a 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（） A) 2 1 , 0( B)1 , 2 1 ( C) 2 1 , 3 1 D)1 , 3 1 6、写出函数 2 1 2 log23yxx的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性 9、 11、已知
10、函数( )f xx x a 有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，a上是减函数，在a，) 上是增函数 （1）如果函数( )fxx x b 2 （x0）的值域为6，)，求b的值； （2）求函数( )f xx c x (c0)在区间1,2上的最小值； （3）研究函数( )fx 2 x 2 x c （常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由； （4）对函数( )f xx x a 和( )f x 2 x 2 x a （常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究 推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） 12、 已知cxxf 2 )(，且)1()( 2 xfxff。 （1）设 g
11、（x） =ff （x），求 g（x）的解析式； （2）设 )()()(xfxgx ，试问是否存在实数 ，使 )(x 在（-，-1）递减，且在（ -1，0）上递增？ 六、对称性和周期性 函数的对称性 (1).函数)(xf关于直线x=a 成轴对称的充要条件是：)-(2xafxafxafxf或(与函数的周期性区分 开). (2)函数)(xf关于点 (a,b)对称的充要条件是：bxafxf2)2()(或bxafxaf2)()( (3)与函数)(xfy关于直线ax对称的函数解析式为：)2(xafy. (4). 与函数)(xfy关于点（ a,b）对称的函数解析式为：)2(2xafby. 函数周期性 1 周 期 函 数 的 定 义 :对 于 函 数)(Dxxf,若 存 在 一 个 不 为 零 的 常 数T,使 得Dx的 每 一 个值 都 有 )()(xfTxf成立 ,则称)(xf为周期函数 ,常数 T叫做)(xf的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期, 则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期. 2根据函数的对称性判断函数的周期 1.若)()(babcxfacxf，则函数)(xf是周期函数，b-a 是它的一个周期。 2若)()(xfaxf，则函数)(xf是周期函数， 2a 是它的一个周期。 一、对称性练习 1已知是奇函数，当时，, 求的解析式 .