高考数学(人教a版,理科)题库：椭圆(含答案).pdf

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1、第 4 讲椭圆 一、选择题 1中心在原点， 焦点在x轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的方程是 ( ) A. x 2 81 y 2 721 B. x 2 81 y 2 9 1 C. x 2 81 y 2 451 D. x 2 81 y 2 361 解析依题意知： 2a18，a9,2 c1 32a，c3， b 2 a 2 c 281972，椭圆方程为 x 2 81 y 2 721. 答案A 2椭圆 x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2. 若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为() A

2、. 1 4 B. 5 5 C.1 2 D.52 解析因为 A， B 为左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|ac， |F1F2| 2c，|F1B|ac. 又因为 |AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列， 所以(ac)(ac)4c2，即 a25c2. 所以离心率 ec a 5 5 ，故选 B. 答案B 3已知椭圆 x 2my21 的离心率 e 1 2，1 ，则实数 m 的取值范围是 () A. 0， 3 4 B. 4 3， C. 0， 3 4 4 3， D. 3 4，1 1， 4 3 解析椭圆标准方程为 x 2y 2 1 m 1.当 m1时，e 211 m 1 4，1 ，解得

3、 m 4 3； 当 0b0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b) ，且左焦点为F，FAB 是以角 B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) A. 31 2 B. 51 2 C. 15 4 D. 31 4 解析 根据已知 a 2 b 2 a 2( ac)2，即 c2aca20，即 e2e10，解 得 e1 5 2 ，故所求的椭圆的离心率为 51 2 . 答案B 6已知椭圆 C：x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 .双曲线 x 2y21 的渐近线与 椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆 C 的方程为() A. x 2 8 y 2 2

4、1 B. x 2 12 y 2 6 1 C. x 2 16 y 2 4 1 D. x 2 20 y 2 5 1 解析因为椭圆的离心率为 3 2 ，所以 e c a 3 2 ，c 23 4a 2，c23 4a 2a2b2， 所以 b21 4a 2，即 a24b2.双曲线的渐近线方程为 y x，代入椭圆方程得 x 2 a 2 x 2 b 21，即 x 2 4b 2 x 2 b 2 5x 2 4b 21，所以 x2 4 5b 2，x2 5b，y 24 5b 2，y2 5b，则 在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为 2 5b， 2 5b ，所以四边形 的面积为 4 2 5b 2 5b 16

5、5 b 216，所以 b25，所以椭圆方程为 x 2 20 y 2 5 1. 答案D 二、填空题 7设 F1、F2分别是椭圆 x 2 25 y 2 161 的左、右焦点， P为椭圆上一点， M是 F 1P的 中点， | OM | 3，则 P点到椭圆左焦点的距离为 _ 解析 由题意知 | OM | 1 2| PF 2| 3，| PF2| 6. | PF1| 2564. 答案 4 8在等差数列 an中，a2a311，a2a3a421，则椭圆 C：x 2 a6 y 2 a51 的离 心率为 _ 解析由题意，得a410，设公差为d，则 a3a2(10d)(102d)20 3d11，d3，a5a4d13

6、，a6a42d16a5，e 1613 4 3 4 . 答案 3 4 9. 椭圆 312 22 yx =1的焦点为 F1和 F2，点 P在椭圆上 . 如果线段 PF1的中点在 y 轴 上，那么 | PF1| 是| PF2| 的_倍 解析 不妨设 F1（3，0） ，F2（3，0）由条件得 P （3， 2 3 ） ，即| PF2|= 2 3 ， | PF1|= 2 147 ，因此 | PF1|=7| PF2|. 答案 7 10.如图， OFB 6，ABF 的面积为 2 3，则以 OA 为 长半轴， OB 为短半轴， F 为一个焦点的椭圆方程为 _ 解析设标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(

7、ab0)， 由题可知， |OF|c，|OB|b， |BF|a， OFB 6， b c 3 3 ，a2b. SABF1 2 |AF| |BO| 1 2(ac) b 1 2(2b 3b)b23， b22，b2，a2 2，椭圆的方程为 x 2 8 y 2 2 1. 答案 x 2 8 y 2 2 1 三、解答题 11如图，设 P是圆 x 2y225 上的动点，点 D是 P 在 x 轴上的投影， M为 PD 上一点，且 | MD | 4 5| PD |. (1) 当P在圆上运动时，求点 M的轨迹C的方程； (2) 求过点 (3,0) 且斜率为 4 5的直线被 C所截线段的长度 解(1) 设 M的坐标为

8、(x，y) ，P的坐标为 ( xP ，y P) ， 由已知得 xPx， yP 5 4 y， P在圆上， x 2 5 4y 225， 即C的方程为 x 2 25 y 2 161. (2) 过点(3,0) 且斜率为 4 5的直线方程为 y 4 5( x3) ， 设直线与 C的交点为 A( x1，y1) ，B(x2，y2)， 将直线方程 y4 5(x3) 代入 C的方程，得 x 2 25 x 2 25 1， 即 x 23x80. x 13 41 2 ，x 2 341 2 . 线段 AB的长度为 | AB | x1x2 2 y1y2 2 116 25 x1 x 2 2 41 2541 41 5 . 1

9、2设 F1，F2分别为椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点，过F2的直线 l 与 椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 ，F1到直线 l 的距离为 2 3. (1)求椭圆 C 的焦距； (2)如果AF2 2F2B ，求椭圆 C 的方程 解(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1到直线 l 的距离3c2 3，故 c2. 所以椭圆 C 的焦距为 4. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF2 2F2B 及 l 的倾斜角为 60 ，知 y10， 直线 l 的方程为 y3(x2) 由 y3 x2 ， x 2 a 2y 2 b

10、21 消去 x， 整理得 (3a2b2)y24 3b2y3b40. 解得 y1 3b222a 3a 2b2，y2 3b222a 3a 2b2. 因为AF2 2F2B ，所以 y12y2， 即 3b 2 22a 3a 2b22 3b222a 3a 2b2，解得 a3. 而 a2b24，所以 b25. 故椭圆 C的方程为 x2 9 y 2 5 1. 13 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 3 2 ，以原点为 圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy20 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P(0,1)，Q(0,2

11、)设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直 线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上 (1)解由题意知， b 2 2 2. 因为离心率 ec a 3 2 ，所以 b a 1 c a 21 2. 所以 a2 2. 所以椭圆 C 的方程为 x 2 8 y 2 21. (2)证明由题意可设 M，N 的坐标分别为 (x0，y0)，(x0，y0)， 则直线 PM 的方程为 yy 01 x0 x1， 直线 QN 的方程为 y y02 x0 x2. 法一联立解得 x x0 2y03，y 3y04 2y03， 即 T x0 2y03， 3y04 2y03 .由 x 2 0

12、 8 y 2 0 2 1，可得 x2084y20. 因为 1 8 x0 2y03 21 2 3y04 2y03 2x 2 04 3y04 2 8 2y03 2 84y 2 04 3y04 2 8 2y03 232y 2 096y072 8 2y03 28 2y 03 2 8 2y03 21， 所以点 T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上 法二设 T(x，y)，联立解得 x0 x 2y3，y 03y4 2y3. 因为 x 2 0 8 y 2 0 2 1，所以 1 8 x 2y3 21 2 3y4 2y3 21. 整理得 x 2 8 3y4 2 2 (2y3)2， 所以 x 2

13、8 9y 2 2 12y84y 212y9，即x 2 8 y 2 2 1. 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上 14如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x 轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1， F2，线段 OF1，OF2的中点分别为 B1，B2， 且AB1B2是面积为 4 的直角三角形 (1)求该椭圆的离心率和标准方程； (2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB2，求直线 l 的方程 解(1) 如图，设所求椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)，右焦点为 F2(c,0) 因AB1B2是直角三角形， 又|AB1|AB2|

14、， 故B1AB2为直角， 因此|OA|OB2|，得 bc 2. 结合 c 2a2b2 得 4b 2a2b2， 故 a25b2，c24b2，所以离心率 e c a 2 5 5. 在 RtAB1B2中，OAB1B2， 故 SAB1B21 2 |B1B2| |OA|OB2| |OA|c 2 bb 2.由题设条件 SAB1B24 得 b 24，从而 a25b220.因此所求椭圆的标准方程为： x 2 20 y 2 4 1. (2)由(1)知 B1(2,0)，B2(2,0)由题意知直线 l 的倾斜角不为 0，故可设直线 l 的方程为 xmy2.代入椭圆方程得 (m25)y24my160. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1，y2是上面方程的两根， 因此 y1y2 4m m 25，y1 y2 16 m 25， 又B2P (x12，y1)，B2Q (x22，y2)， 所以B2P B2Q (x12)(x22)y1y2 (my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)16 16 m 21 m 25 16m 2 m 2516 16m 264 m 25， 由 PB2QB2，得B2P B2Q 0， 即 16m2640，解得 m 2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x2y20 和 x2y20.